高数定积分概念与性质演示文稿

高数定积分概念与性质演示文稿当前第1页\共有32页\编于星期一\17点（优选）高数定积分概念与性质当前第2页\共有32页\编于星期一\17点第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的近似计算定积分的概念及性质四、定积分的性质当前第3页\共有32页\编于星期一\17点一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积矩形面积梯形面积

设函数yf(x)在区间[a,

b]上非负、连续.

由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.

当前第4页\共有32页\编于星期一\17点观察与思考

在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?

怎样求曲边梯形的面积？当前第5页\共有32页\编于星期一\17点解决步骤:1)分割.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)近似.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得当前第6页\共有32页\编于星期一\17点3)求和.4)取极限.令则曲边梯形面积当前第7页\共有32页\编于星期一\17点2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)分割.将它分成在每个小段上物体经2)近似.得已知速度n

个小段过的路程为当前第8页\共有32页\编于星期一\17点3)求和.4)取极限.上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限当前第9页\共有32页\编于星期一\17点二、定积分定义(P225)任一种分法任取总趋于确定的极限

I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称

f(x)在[a,b]上可积

.记作当前第10页\共有32页\编于星期一\17点积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即当前第11页\共有32页\编于星期一\17点定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和当前第12页\共有32页\编于星期一\17点可积的充分条件:取定理1.定理2.且只有有限个间断点(证明略)例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n

等分,分点为当前第13页\共有32页\编于星期一\17点注注注.当n较大时,此值可作为的近似值当前第14页\共有32页\编于星期一\17点[注]

利用得两端分别相加,得即当前第15页\共有32页\编于星期一\17点例2.用定积分表示下列极限:解:当前第16页\共有32页\编于星期一\17点三、定积分的近似计算根据定积分定义可得如下近似计算方法:将[a,b]分成n等份:1.左矩形公式例12.右矩形公式当前第17页\共有32页\编于星期一\17点推导3.梯形公式4.抛物线法公式当前第18页\共有32页\编于星期一\17点抛物线法公式的推导上作抛物线(如图)则以抛物线为顶的小曲边梯形面积经推导可得：当前第19页\共有32页\编于星期一\17点例3.

用梯形公式和抛物线法公式解:计算yi(见右表)的近似值.ixiyi00.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取n=10,计算时取5位小数)用梯形公式得用抛物线法公式得积分准确值为计算定积分当前第20页\共有32页\编于星期一\17点四、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)证:=右端当前第21页\共有32页\编于星期一\17点证:

当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取

c

为分点,于是当前第22页\共有32页\编于星期一\17点当a,b,c

的相对位置任意时,例如则有当前第23页\共有32页\编于星期一\17点6.若在[a,b]上则证:推论1.若在[a,b]上则当前第24页\共有32页\编于星期一\17点推论2.证:即7.

设则当前第25页\共有32页\编于星期一\17点例4.试证:证:

设则在上,有即故即当前第26页\共有32页\编于星期一\17点8.

积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7当前第27页\共有32页\编于星期一\17点说明:

可把故它是有限个数的平均值概念的推广.

积分中值定理对因当前第28页\共有32页\编于星期一\17点例5.计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:

已知自由落体速度为故所求平均速度当前第29页\共有32页\编于星期一\17点内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式