信号与系统拉普拉斯变换

第四章拉普拉斯变换

u1当前第1页\共有134页\编于星期二\2点优点：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。2当前第2页\共有134页\编于星期二\2点本章内容及学习方法

本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据它们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍系统稳定性问题。注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。3当前第3页\共有134页\编于星期二\2点一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换则1．拉普拉斯正变换4当前第4页\共有134页\编于星期二\2点2．拉氏逆变换5当前第5页\共有134页\编于星期二\2点3．拉氏变换对6当前第6页\共有134页\编于星期二\2点二．拉氏变换的收敛

收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；7当前第7页\共有134页\编于星期二\2点u部分s平面收敛的情况：8当前第8页\共有134页\编于星期二\2点u9当前第9页\共有134页\编于星期二\2点10当前第10页\共有134页\编于星期二\2点例4时限信号的拉氏变换(如门信号)。整个s平面收敛的情况：这里只要不是无穷大，上式的分子就不等于无穷大，拉氏变换就存在。故其收敛域为整个s平面。例5下列信号的拉氏变换：

，故在整个s平面都不收敛。整个s平面都不收敛的情况：11当前第11页\共有134页\编于星期二\2点uuuuuu:12当前第12页\共有134页\编于星期二\2点13当前第13页\共有134页\编于星期二\2点一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。14当前第14页\共有134页\编于星期二\2点三．一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛3.单位冲激信号15当前第15页\共有134页\编于星期二\2点4．tnu(t)16当前第16页\共有134页\编于星期二\2点5.复指数函数17当前第17页\共有134页\编于星期二\2点4.3

拉氏变换的基本性质u18当前第18页\共有134页\编于星期二\2点uuuuuu19当前第19页\共有134页\编于星期二\2点“周期信号”的拉氏变换第一周期的拉氏变换时移特性无穷级数求和20当前第20页\共有134页\编于星期二\2点时移特性例题【例1】已知【例2】21当前第21页\共有134页\编于星期二\2点用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换22当前第22页\共有134页\编于星期二\2点23当前第23页\共有134页\编于星期二\2点复频移特性举例24当前第24页\共有134页\编于星期二\2点25当前第25页\共有134页\编于星期二\2点例：两边取拉氏变换：整理得：26当前第26页\共有134页\编于星期二\2点电感元件的s域模型电感元件的s模型应用原函数微分性质设27当前第27页\共有134页\编于星期二\2点28当前第28页\共有134页\编于星期二\2点电容元件的s域模型电容元件的s模型29当前第29页\共有134页\编于星期二\2点30当前第30页\共有134页\编于星期二\2点31当前第31页\共有134页\编于星期二\2点32当前第32页\共有134页\编于星期二\2点初值定理33当前第33页\共有134页\编于星期二\2点终值存在的条件:证明：根据初值定理证明时得到的公式终值定理34当前第34页\共有134页\编于星期二\2点初值定理举例

即单位阶跃信号的初始值为1。例2例135当前第35页\共有134页\编于星期二\2点4.4

拉普拉斯逆变换

由象函数求原函数的三种方法

部分分式法求拉氏逆变换

两种特殊情况36当前第36页\共有134页\编于星期二\2点F(s)的一般形式ai,bi为实数，m,n为正整数。分解零点极点37当前第37页\共有134页\编于星期二\2点拉氏逆变换的过程38当前第38页\共有134页\编于星期二\2点部分分式展开法(m<n)1.第一种情况：单阶实数极点2.第二种情况：极点为共轭复数3.第三种情况：有重根存在39当前第39页\共有134页\编于星期二\2点第一种情况：单阶实数极点(1)找极点(2)展成部分分式(3)逆变换求系数40当前第40页\共有134页\编于星期二\2点如何求系数k1,k2,k3``````？41当前第41页\共有134页\编于星期二\2点第二种情况：极点为共轭复数共轭极点出现在42当前第42页\共有134页\编于星期二\2点求f(t)43当前第43页\共有134页\编于星期二\2点例题44当前第44页\共有134页\编于星期二\2点F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法求下示函数F(s)的逆变换f(t)：解：求得另一种方法45当前第45页\共有134页\编于星期二\2点3.第三种情况：有重根存在如何求k2?46当前第46页\共有134页\编于星期二\2点如何求k2?设法使部分分式只保留k2，其他分式为047当前第47页\共有134页\编于星期二\2点逆变换48当前第48页\共有134页\编于星期二\2点一般情况求k11，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式49当前第49页\共有134页\编于星期二\2点F(s)的两种特殊情况非真分式——

化为真分式＋多项式50当前第50页\共有134页\编于星期二\2点1.非真分式——真分式＋多项式作长除法51当前第51页\共有134页\编于星期二\2点2.含e-s的非有理式52当前第52页\共有134页\编于星期二\2点2*.已知某LTI系统的微分方程为若输入，，，求该系统的零状态响应、零状态响应及全响应。系统频域分析课堂练习：1.已知某LTI系统的阶跃响应，若输入，求该系统的零状态响应。53当前第53页\共有134页\编于星期二\2点4.5

用拉氏变换法分析电路、s域元件模型主要内容：

用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤微分方程的拉氏变换利用元件的s域模型分析求解瞬态电路54当前第54页\共有134页\编于星期二\2点一、用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤列s域方程(可以从两方面入手)

列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换直接按电路的s域模型建立代数方程求解s域方程，得到时域解答55当前第55页\共有134页\编于星期二\2点二、微分方程的拉氏变换

若采用0-系统，求拉氏变换时减去的是信号在0-时刻的值；若采用0+系统，求拉氏变换时减去的是信号在0+时刻的值。56当前第56页\共有134页\编于星期二\2点例4-4电路在t=0时开关闭合，求输出信号Vc(t)。两边取拉氏变换：列写微分方程：解得：求拉氏反变换：RCESVc(t)++--i(t)57当前第57页\共有134页\编于星期二\2点1358当前第58页\共有134页\编于星期二\2点59当前第59页\共有134页\编于星期二\2点60当前第60页\共有134页\编于星期二\2点61当前第61页\共有134页\编于星期二\2点结论：分析电路时，采用0-系统求解瞬态电路更为简便，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件起始状态，求出元件的s域模型。62当前第62页\共有134页\编于星期二\2点三、利用元件的s域模型分析瞬态电路求响应的步骤：画0-等效电路，求起始状态；电路元件的s域模型→电路的s域等效模型；采用KVL和KCL，列出s域方程(代数方程)；解s域方程，求出响应的拉氏变换U(s)或I(s)；拉氏反变换求u(t)或i(t)。63当前第63页\共有134页\编于星期二\2点元件的s域模型：64当前第64页\共有134页\编于星期二\2点65当前第65页\共有134页\编于星期二\2点

以上是电路定理的推广，对于线性稳态电路分析的各种方法都适用。66当前第66页\共有134页\编于星期二\2点【例4-5-1】如图所示，t<0开关S处于1的位置而且已经达到稳态；当t=0时,S由1转向2。＋－RCe(t)=-Ee(t)=E＋－ic(t)i(t)S2167当前第67页\共有134页\编于星期二\2点5-2168当前第68页\共有134页\编于星期二\2点69当前第69页\共有134页\编于星期二\2点70当前第70页\共有134页\编于星期二\2点71当前第71页\共有134页\编于星期二\2点例4-5-272当前第72页\共有134页\编于星期二\2点（4）求反变换73当前第73页\共有134页\编于星期二\2点求采用0-系统采用0+系统两种方法结果一致。使用0-系统使分析各过程简化。74当前第74页\共有134页\编于星期二\2点(3)对微分方程两边取拉氏变换采用0-系统75当前第75页\共有134页\编于星期二\2点采用0+系统(4)原方程取拉氏变换76当前第76页\共有134页\编于星期二\2点4.6

系统函数77当前第77页\共有134页\编于星期二\2点78当前第78页\共有134页\编于星期二\2点79当前第79页\共有134页\编于星期二\2点80当前第80页\共有134页\编于星期二\2点81当前第81页\共有134页\编于星期二\2点82当前第82页\共有134页\编于星期二\2点83当前第83页\共有134页\编于星期二\2点84当前第84页\共有134页\编于星期二\2点85当前第85页\共有134页\编于星期二\2点系统函数课堂练习：

某级联系统如下图所示，已知，

，，试求、、级联系统的系统函数及单位冲激响应。86当前第86页\共有134页\编于星期二\2点4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性

冲激响应h(t)与系统函数H(s)

从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。

在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。

主要优点：1．可以预言系统的时域特性2．便于划分系统的各个分量(自由/强迫，瞬态/稳态)3．可以用来说明系统的正弦稳态特性87当前第87页\共有134页\编于星期二\2点在s平面上，画出H(s)的零极点图：极点：用×表示，零点：用○表示1．系统函数的零、极点H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应88当前第88页\共有134页\编于星期二\2点89当前第89页\共有134页\编于星期二\2点90当前第90页\共有134页\编于星期二\2点91当前第91页\共有134页\编于星期二\2点92当前第92页\共有134页\编于星期二\2点极点在左半平面见教材P223结论93当前第93页\共有134页\编于星期二\2点94当前第94页\共有134页\编于星期二\2点瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着t增大，将消失。稳态响应＝完全响应－瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。22595当前第95页\共有134页\编于星期二\2点例4-7-2，教材习题2-6(1)给定系统微分方程试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。解：方程两端取拉氏变换96当前第96页\共有134页\编于星期二\2点零输入响应／零状态响应则

97当前第97页\共有134页\编于星期二\2点稳态响应／暂态响应，自由响应／强迫响应极点位于虚轴暂态响应稳态响应H(s)的极点E(s)的极点自由响应强迫响应极点位于s左半平面教材P22798当前第98页\共有134页\编于星期二\2点4.8

由系统函数零、极点分布决定频域特性99当前第99页\共有134页\编于星期二\2点H(s)和频响特性的关系频响特性系统的稳态响应——幅频特性——相频特性（相移特性）虚轴上的拉氏变换就是傅氏变换100当前第100页\共有134页\编于星期二\2点几种常见的滤波器101当前第101页\共有134页\编于星期二\2点102当前第102页\共有134页\编于星期二\2点103当前第103页\共有134页\编于星期二\2点104当前第104页\共有134页\编于星期二\2点讨论H(s)的几点位于s平面实轴的情况一阶系统只含有一类储能元件。转移函数仅一个极点且位于实轴，一般形式为或。二阶系统只含有两类储能元件。转移函数的两个极点都位于实轴。重点讨论105当前第105页\共有134页\编于星期二\2点例4-8-1确定图示系统的频响特性。106当前第106页\共有134页\编于星期二\2点频响特性分析X高通滤波器的截止频率点107当前第107页\共有134页\编于星期二\2点例4-8-2研究右图所示RC低通滤波网络的频响特性。写出网络转移函数表达式:108当前第108页\共有134页\编于星期二\2点频响特性

109当前第109页\共有134页\编于星期二\2点4.11

线性系统的稳定性一个稳定系统对于有界激励信号产生有界的响应函数稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励情况无关系统冲激响应和系统函数能表征系统的稳定性110当前第110页\共有134页\编于星期二\2点可忽略111当前第111页\共有134页\编于星期二\2点112当前第112页\共有134页\编于星期二\2点113当前第113页\共有134页\编于星期二\2点114当前第114页\共有134页\编于星期二\2点115当前第115页\共有134页\编于星期二\2点116当前第116页\共有134页\编于星期二\2点117当前第117页\共有134页\编于星期二\2点极点均在左半开平面118当前第118页\共有134页\编于星期二\2点119当前第119页\共有134页\编于星期二\2点120