线代向量的内积长度及正交性

线代课件向量的内积长度及正交性第一页，共二十八页，编辑于2023年，星期三1.定义1内积一、内积的定义及性质说明1.维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．(Innerproduct)

第二页，共二十八页，编辑于2023年，星期三2.内积的运算性质第三页，共二十八页，编辑于2023年，星期三1.定义2

长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质(norm)第四页，共二十八页，编辑于2023年，星期三单位向量2.第五页，共二十八页，编辑于2023年，星期三解夹角第六页，共二十八页，编辑于2023年，星期三1、正交的概念２、正交向量组的概念正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．三、正交向量组的概念及求法(orthogonal)第七页，共二十八页，编辑于2023年，星期三证明３、

正交向量组的性质定理1第八页，共二十八页，编辑于2023年，星期三4、

正交单位向量组每个向量都是单位向量的正交向量组.5、

向量空间的正交基第九页，共二十八页，编辑于2023年，星期三例1

已知三维向量空间中两个向量正交，试求使构成三维空间的一个正交基.第十页，共二十八页，编辑于2023年，星期三即解之得由上可知构成三维空间的一个正交基.则有解第十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期三6、

规范正交基例如定义(标准)第十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期三第十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期三同理可知第十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期三7、

求规范正交基的方法下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidtorthogonalization’smethod）第十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期三(2)单位化,取(1)正交化

,取，第十六页，共二十八页，编辑于2023年，星期三例２用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解

先正交化，取施密特正交化过程第十七页，共二十八页，编辑于2023年，星期三再单位化，得规范正交向量组如下第十八页，共二十八页，编辑于2023年，星期三例解第十九页，共二十八页，编辑于2023年，星期三把基础解系正交化，即合所求．亦即取第二十页，共二十八页，编辑于2023年，星期三定义4四、正交矩阵与正交变换定理

A为正交矩阵的充要条件是

A的列向量都是单位向量且两两正交．例５

判别下列矩阵是否为正交阵．第二十一页，共二十八页，编辑于2023年，星期三解所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，由于例５

判别下列矩阵是否为正交阵．第二十二页，共二十八页，编辑于2023年，星期三所以它是正交矩阵．由于第二十三页，共二十八页，编辑于2023年，星期三正交矩阵的性质：第二十四页，共二十八页，编辑于2023年，星期三定义

若

P

为正交阵，则线性变换

y=Px称为正交变换．性质

正交变换保持向量的长度不变．证明第二十五页，共二十八页，编辑于2023年，星期三1．将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化．五、小结2．为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：第二十六页，共二十八页，编辑于2