线性时不变系统的变换分析

线性时不变系统的变换分析第一页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三变换表示：5.0引言LTI的离散系统可以用下述方法表示：差分方程：方便分析能够反映频域特性先进行z变换分析，然后利用下式变换到频域第二页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.1LTI系统的频率响应表示为极坐标：其中：

幅度响应（增益）相位响应（相移）如果上述增益和相移是我们不需要的，则称为幅度、相位失真。第三页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三一、DF按频率特性分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通，其特点为：（1）频率变量以数字频率表示，，为模拟角频率，T为抽样时间间隔；（2）以数字抽样频率为周期；（3）频率特性只限于范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。5.1.1理想频率选择性滤波器第四页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三0低通高通带通00第五页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三带阻全通00第六页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三二、DF的性能要求（低通为例）0通带截止频率阻带截止频率第七页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三通带阻带过渡带平滑过渡三、DF频响的三个参量

1、幅度平方响应2、相位响应第八页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三3、群延迟它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。第九页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.1.2相位失真和延迟线性相位失真，带来信号的输出延时。此类失真可以忍受。对延时我们可以将其他信号也延时，从而达到系统同步。延时的多少（群延迟）：群延迟是衡量相位线性度的标准。第十页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三例5.1衰减和群延迟的效果第十一页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三对于任何一个非线性的曲线，主要分割的足够小，每一段均可认为是线性的。因此，对于非线性相位的系统，可以认为在每一小段内都是线性的，每一小段对应于一个窄带信号。即对为各窄带信号的延迟都是相同的，每个窄带信号内包含若干频率分量，这些频率分量定义为一组（一群）信号。即对这一群信号的延迟是相同的，因此定义为群延迟。第十二页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.2用线性常系数差分方程表征系统的系统函数差分方程Z变换系统函数第十三页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三进行因式分解：M个零点：M个极点：0N个零点：0N个极点：零点：M+N个极点：M+N个第十四页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三例5.2（p201）第十五页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.2.1系统的稳定性因果性稳定性:收敛域包含单位圆；因果性：右边序列（收敛域）；例题5.3（p202）第十六页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.2.2逆系统系统与其逆系统级联后，总的系统响应为1。即

逆系统的幅度响应为原来系统的倒数（故对数幅度为原来的负值），相位响应和群延迟为原来的负值。第十七页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.2.2逆系统不是所有的逆系统都存在，如低通滤波器不存在逆系统。因无法恢复幅度响应为零的频率分量。第十八页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三逆系统和原系统零极点的关系零点是原来的极点；极点是原来的零点。问题：逆系统的收敛域，（因果稳定的系统，极点在单位圆内），逆系统的极点在单位圆内=原系统的零点在单位圆内。这样的系统称为最小相位系统。第十九页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.2.3有理函数的单位脉冲响应系统函数部分是展开其时域表示第二十页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.2.3有理函数的单位脉冲响应其时域表示根据上式可以将系统分为两类：FIR:h（n）是有限长的（只有前面的有限个累加项），没有非零极点。（例5.6，P204）IIR：h（n）是无限长的，有非零极点。（例5.7，P205）第二十一页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.3有理系统函数的频率响应对稳定的LTI系统第二十二页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三幅度响应幅度平方：第二十三页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三对数表示：零点极点相位响应：群延迟：第二十四页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三相位响应的主值记作：

为整数。第二十五页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三相位响应的主值的计算调整到主值范围内另一种求法：第二十六页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三群延迟的求法由连续相位求解除去主值跳变值，也可用主值或不确定相位求解：第二十七页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.3.1单个零点或极点的频率响应考虑一个最简单系统（单个零点或极点）。第二十八页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三幅度响应幅度响应对数表示第二十九页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三主值相位群延迟第三十页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三周期函数：时：幅度达到极小值；相位为零；群延迟极小；时：幅度达到极大值第三十一页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三上图分别为r=0.9和3种theta值时，单一零点的频率响应（1）对数幅度（2）相位（3）群延迟(1）对数幅度（2）相位（3）群延迟fig5_8.m第三十二页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三图解幅度相位第三十三页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三时：幅度达到极小值；相位为零；群延迟极小；时：幅度达到极大值第三十四页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三响应和r的关系r=1时幅度响应可以为0；相位出现跳变。群延迟极值。（1）对数幅度第三十五页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三上图分别为单个零点的频率响应，其中theta=pi，r=1，0.9，0.7和0.5（1）对数幅度（2）相位（3）群延迟（2）相位（3）群延迟fig5_11.m第三十六页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三第三十七页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三上面分析的是零点的例子。对于极点，是零点的倒数。幅度的对数表示，相位，群延迟均是零点的负值。幅度:

时，极小。时，极大。r=1时，幅度可以达到无穷大。第三十八页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.4幅度和相位之间的关系一般系统，幅度和相位之间没有制约。对于有理函数系统，幅度和相位之间有制约。以复数为例，给定复数的幅度和相位，复数确定。复数本身的幅度和相位之间没有联系。除非加上额外的限制，才能制约幅度和相位。例如加上系统零极点选择的限制。第三十九页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.4幅度和相位之间的关系例如：当幅度特性和零极点个数已知，则其相位特性仅有有限个选择。当相位特性和零极点个数已知，则除去幅度加权因子，其幅度特性仅有有限个选择。对于最小相位系统，幅度特性决定相位特性；相位特性决定除去加权因子外的幅度特性。第四十页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三首先研究幅度特性任何给定的系统总有另一个系统的幅度响应与其相同。因为：第四十一页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三z变换的关系零点：极点：第四十二页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三例5.11（p220）第四十三页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三例5.12（p221）如果不限制系数为实数，则选择更多。零极点的个数不加限制，系统则会无限多。第四十四页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三全通因子添加一个全通因子,增加一个极点、一个零点。零极点的个数不加限制，系统则会无限多。第四十五页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.5全通系统全通系统形如：分子、分母共轭，其模值相等。故幅度响应为1。全通系统：的系统。零点：极点：零点、极点共轭倒数第四十六页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三一般形式系统函数的系数为实数，则零点（极点）共轭出现零点、极点共额倒数第四十七页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三最简单全通系统的响应幅度响应为1；有3个向量，相位响应：第四十八页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三第四十九页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三例5.13下图示出一个极点在z=0.9（theta=0，r=0.9）和另一个极点在z=-0.9（theta=pi，r=0.9）的两个一阶全通系统的对数幅度、相位和群延迟特性曲线。对于这两个系统，极点的矢径都是r=0.9.因果全通系统，连续相位曲线在非正。（1）对数幅度第五十页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三上图分别为具有实极点z=0.9（实线）和z=-0.9（虚线）的全通滤波器的频率响应（1）对数幅度（2）相位（主值）（3）群延迟fig5_22.m（2）相位（主值）（3）群延迟第五十一页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三极点在和

的二阶全通系统的频率响应的各个特性（一）对数幅度第五十二页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三（三）群延迟（二）相位（主值）fig5_23.m上图分别为二阶全通系统的（一）对数幅度（二）相位（三）群延迟第五十三页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三相位非正性证明稳定的因果系统，r<1。其群延迟大于0。第五十四页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.6最小相位系统最小相位系统得名于该系统的相位性质。第五十五页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三 系统的零点为c，在单位圆内。5.6.1最小相位和全通分解任何一个有理系统函数都能表示为假设：系统有一个零点在单位圆外则注意全通系统的形式可以通过上述方法将所有单位圆外的零点移到单位圆内，故零点：在单位圆外极点：在单位圆内进行最小相位、全通分解时的全通系统第五十六页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三可以通过上述方法将所有单位圆外的零点移到单位圆内；全通系统的零点：在单位圆外。全通系统的极点：在单位圆内。因果稳定。第五十七页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三相反也可以通过全通系统将单位圆内的零点移到单位圆内；全通系统的零点：在单位圆内。全通系统的极点：在单位圆外。非因果稳定。第五十八页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三例5.14注意全通系统的形式将要分解系统的零点写成全通系统的形式第五十九页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.6.2频率相应的补偿系统的总响应sc[n]＝s[n]。即Hd(z)Hc(z)互为逆系统，所以只有Hd(z)为最小相位系统，Hd(z)Hc(z)系统满足稳定因果性。第六十页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三对于一般的Hd(z)。首先进行最小相位/全通分解。按照最小相位系统选取补偿系统则总的响应为：第六十一页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三例5.15FIR系统的补偿第六十二页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三第六十三页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三FIR最小相位全通系统fig5_27.mfig5_28.mfig5_29.m第六十四页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.6.3最小相位系统的性质逆系统引入的最小相位系统。性质：最小相位滞后性质最小群延迟性质最小能量滞后性质第六十五页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.6.3最小相位系统的性质已知全通系统的连续相位在区间总是负的。连续相位减小，即相位的负值增加（相位滞后）。最小相位系统——最小相位滞后系统第六十六页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三最小群延迟性质最小非负第六十七页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三最小能量滞后性质系数为实数的系统其零极点要么为实数，要么共轭出现全通系统可以将零点以共轭倒数形式进行搬移而不影响幅频特性所以有4组零点图满足5.107式第六十八页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三h(n)序列左端的样本值，最小相位系统的值最大。最小能量延迟第六十九页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三最小能量延迟对于所有因果的稳定系统都成立。总能量相同，根据帕斯瓦尔定理第七十页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三定义部分能量第七十一页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三第七十二页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三第七十三页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三零极点分布

零极点均为实数分子：M个零点M个极点0分母：N个极点N个零点0第七十四页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三零极点为复数时以共轭形式出现可以保证为实数，即时域为实序列。由幅频响应决定的系统零极点为以共轭倒数形式成对出现。第七十五页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三全通系统零点 零点极点 极点零点极点共轭倒数第七十六页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三最小相位系统零点在单位圆内系统称为最小相位系统最小相位全通分解共轭倒数，以单位圆“对称”。即一个在单位圆内，则另一个在单位圆外。因此，对于非最小相位系统（单位圆外有零点），可以将单位圆外的零点可以利用共轭倒数关系引入一个单位圆内的零点第七十七页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三最小相位系统并入全通系统，则全通系统有一个与之成共轭倒数关系的极点，即单位圆内的极点。为了保持总的幅频响应不变，利用该极点抵消零点，并且带入一个单位圆内的零点。第七十八页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.7广义线性相位的线性系统希望的系统，在某个频带范围内幅频响应恒定，相频响应为零（即零相位，零延迟）。因果系统无法满足。线性相位，只引入延迟。非线性相位，即使幅频响应恒定，也会对信号形状造成很大影响。（主要是对不同频率信号的延迟不一）。第七十九页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.7.1线性相位系统线性相位系统响应幅度（全通系统）相位群延迟第八十页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三a为整数是分子＝0。时域第八十一页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三延迟为非整数的系统实现方法第八十二页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三非恒定幅度系统可化作两个系统的级连例如低通滤波器若即理想延迟。第八十三页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三例5.16具有线性相位低通滤波器的特点a为整数时单位脉冲响应以n=nd对称fig5_35.m第八十四页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三定义一个零相位系统等效将原来的系统左移得到偶序列第八十五页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三a＝4.5时单位脉冲响应以a点对称a＝4.3时不对称结论：2a为整数时单位脉冲响应以n=nd对称；否则不对称。不对称也可以是线性相位。fig5_35.m第八十六页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.7.2广义线性相位线性相位广义线性相位第八十七页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三考察广义线性相位系统的时域特点频域特性傅立叶变换：设h[n]为实序列的相位正切：第八十八页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三第八十九页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三可以找到h[n]为广义线性系统的充分条件，非必要。带入组合，使得组合项相加为0，则总和也为零第九十页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三5.7.3因果广义线性相位系统因果则h[n]为右边序列：同时利用广义线性系统关于a（M/2）对称,故n>M,时等于n<0。所以序列长度为M+1.第九十一页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三

M又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性相位FIRDF，如下所述。第九十二页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三n0123456789101、M为偶数的对称例如M=10，对称中心为第九十三页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三I类FIR线性相位系统

组合第九十四页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三例如M=9，对称中心为n01234567892、M为奇数时的偶对称第九十五页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三II类FIR线性相位系统组合第九十六页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三例如，M=10，对称中心为

n0123456789103、M为偶数时的奇对称第九十七页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三III类FIR线性相位系统第九十八页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三例如，M=9，对称中心为4.5，

4、M为奇数时的奇对称n0123456789第九十九页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三IV类FIR线性相位系统第一百页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三例5.17M=4,a=2幅度Ⅰ类系统的频率响应第一百零一页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三fig5_17.m相位群延迟第一百零二页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三例5.18M=5,a=2.5幅度Ⅱ类系统的频率响应第一百零三页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三fig5_18.m相位群延迟第一百零四页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三例5.19M=2,a=1幅度Ⅲ类系统的频率响应第一百零五页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三fig5_19.m相位群延迟第一百零六页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三例5.20M=1,a=1/2幅度Ⅳ类系统的频率响应第一百零七页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三fig5_20.m相位群延迟第一百零八页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三FIR线性相位系统零点的位置I、II类系统零点的分布规律如果零点则也是零点第一百零九页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三所以，如果是零点，则也一定是H（Z）的零点，h（n）为实数时，H（Z）的零点必成共轭对出现，即也一定是H（Z）的零点，也一定是H（Z）的零点。第一百一十页，共一百二十一页，编辑于2023年，星期三2、零点的位置（1）既不在实轴上，也不在单位圆上，则零