直线与平面垂直的判定典型

直线与平面垂直的判定典型课件第一页，共三十三页，编辑于2023年，星期三生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？实例引入旗杆与底面垂直第二页，共三十三页，编辑于2023年，星期三思考.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.ABα1.旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直.C1B1C2.直线AB垂直于平面内的任意一条直线．第三页，共三十三页，编辑于2023年，星期三如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作．平面的垂线直线l的垂面垂足定义直线与平面垂直第四页，共三十三页，编辑于2023年，星期三线面垂直的定义常这样使用简记：线面垂直，则线线垂直l^a第五页，共三十三页，编辑于2023年，星期三如果一条直线垂直于一个平面内的一条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？不一定两条呢？无数条呢？第六页，共三十三页，编辑于2023年，星期三问题直线与平面垂直除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？第七页，共三十三页，编辑于2023年，星期三准备一块三角形纸片,过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌上（BD、DC与桌面接触）.ABCD思考

(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？第八页，共三十三页，编辑于2023年，星期三BDCABD,CD都在桌面内，AD⊥CD,AD⊥BD,BD∩CD=D，直线AD所在的直线与桌面垂直mnP第九页，共三十三页，编辑于2023年，星期三判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．作用：判定直线与平面垂直直线与平面垂直判定定理简记为：线线垂直线面垂直第十页，共三十三页，编辑于2023年，星期三例1求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.已知：a//b，a求证:bab证明：设m是内的任意一条直线m可作定理使用第十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期三如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，？底面四边形对角线相互垂直．探究随堂练习第十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期三线面垂直判定定理的应用

例1：已知：如图1，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，取BC中点E，连接AE、DE，求证：BC⊥平面AED.图1

证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E为BC中点， ∴AE⊥BC，DE⊥BC.

又∵AE∩DE=E，∴BC⊥平面AED.第十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期三PABCO2.如图，圆O所在一平面为，AB是圆O的直径，C在圆周上,且PAAC,PAAB,求证：（1）PABC（2）BC平面PAC第十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期三证明：∵PA⊥⊙O所在平面，BC⊂⊙O所在平面，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O直径，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC,PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.

例3：如图6，已知PA⊥⊙O所在平面，AB为⊙O直径，C是圆周上任一点，过A作AE⊥PC于E，求证：AE⊥平面PBC.

图6第十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期三VABC.DVA=VC，AB=BC,ABCV-求证:VB⊥AC.中，在三棱锥1.如图，提示：找AC中点D,连接VD,BD第十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期三2.已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC异面的体对角线.求证：AC⊥BD′ABDCA′B′CD′′第十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期三∵正方体ABCD-A′B′C′D′∴DD′⊥正方形ABCD∴DD′⊥AC证明：连接BDABDCA′B′C′D′∵AC、BD为对角线∴AC⊥BD∵DD′∩BD=D∴AC⊥平面D′DB且BD′⊂面D′DB∴AC⊥BD′

第十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期三OPAα斜线斜足线面所成角（锐角∠PAO）射影关键：过斜线上一点作平面的垂线线面所成的角第十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期三斜线和平面所成的角1、直线和平面垂直<＝>直线和平面所成的角是直角直线和平面平行或在平面内<＝>直线和平面所成的角是0°2、直线与平面所成的角θ的取值范围是：___________第二十页，共三十三页，编辑于2023年，星期三1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:A1C1与面BB1D1D所成的角。A1D1C1B1ADCB45o第二十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期三2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角O第二十二页，共三十三页，编辑于2023年，星期三第二十三页，共三十三页，编辑于2023年，星期三求直线和平面所成的角，当直线和平面斜交时，常有以下步骤：①作——作出或找到斜线与射影所成的角；②证——论证所作或找到的角为所求的角；③算——常用解三角形的方法求角；④结论——说明斜线和平面所成的角值．第二十四页，共三十三页，编辑于2023年，星期三图5

1.如图5，在长方体ABCD－A1B1C1D1

中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1

与平面A1B1C1D1

所成角的正弦值为(

)第二十五页，共三十三页，编辑于2023年，星期三A2.若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍，则AB与α所成的角为()A．60°B．45°C．30°D．120°答案：D

解析：如图22，连接A1C1

，则∠AC1A1

为AC1

与平面A1B1C1D1

所成角．图22第二十六页，共三十三页，编辑于2023年，星期三(1)若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）A．有且只有一个B．可能存在也可能不存在C．有无数多个D．—定不存在

(2)正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA⊥平面ABCD，则在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC及△PBD中，为直角三角形有______个B课堂练习5第二十七页，共三十三页，编辑于2023年，星期三1．直线与平面垂直的概念（1）利用定义；（2）利用判定定理．3．数学思想方法：转化的思想空间问题平面问题知识小结2．直线与平面垂直的判定线线垂直线面垂直垂直与平面内任意一条直线（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面4．直线与平面所成的角.第二十八页，共三十三页，编辑于2023年，星期三P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影(2)若PA＝PB＝PC，则O是△ABC的_____；(3)若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的_____；(4)若P到△ABC三边的距离相等，且O在△ABC内部，则O是△ABC的______；(5)若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的_____．外心垂心内心垂心中第二十九页，共三十三页，编辑于2023年，星期三

解析：(2)如图23，∵PO⊥平面ABC， ∴PA、PB、PC在平面ABC上的射影分别是OA、OB、OC.又∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O是△ABC的外心．图23图24(3)如图24，∵PO⊥平面ABC，∴PA在平面ABC上的射影是OA.∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理可证AC⊥OB，∴O是△ABC的垂心．第三十页，共三十三页，编辑于2023年，星期三(4)如图25，图25P到△ABC三边的距离分别是PD、PE、PF，则PD＝PE＝PF.∵PO⊥平面ABC，∴PD、PE、PF在平面ABC上的射影分别是OD、OE、OF.∴OD＝OE＝OF，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴O是△ABC的内心．第三十一页，共三十三页，编辑于2023年，星期三∵PO⊥平面ABC，∴OA是PA在平面ABC上的射影．又∵PA⊥PB，PA