现代控制理论章

现代控制理论章第一页，共七十七页，编辑于2023年，星期三6.1引言一、什么是最优控制问题6-1电动机的运动方程为在时间区间[0，tf]内，电动机从静止起动，转过一定角度后停止，使电枢电阻上的损耗最小，求Km为转矩系数；JD为转动惯量；TF为恒定的负载转矩；第二页，共七十七页，编辑于2023年，星期三令：有初始状态末值状态控制不受限制性能指标最优控制问题是：在数学模型的约束下，寻求一个控制ID(t)，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标E为最小。第三页，共七十七页，编辑于2023年，星期三问题6-2对于问题6-1中的直流他励电动机，如果电动机从初始时刻的静止状态转过一个角度又停下，求控制（是受到限制的），使得所需时间最短。这也是一个最优控制问题：系统方程为初始状态末值状态≤（5）性能指标（6）最优控制问题为：在方程的约束下，寻求最优控制将转移到，使J为极小。≤第四页，共七十七页，编辑于2023年，星期三二、最优控制问题的一般性提法为系统状态方程为初始状态为其中，x为n维状态向量；

u为r维控制向量；f为n维向量函数，它是x、u和t的连续函数，并且对x、t连续可微。最优。其中是x、u和t的连续函数寻求在上的最优控制或，以将系统状态从转移到或的一个集合，并使性能指标最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。第五页，共七十七页，编辑于2023年，星期三

三、泛函与变分法（一）泛函与变分1、泛函的基本定义：如果对于某个函数集合中的每一个函数，变量J都有一个值与之对应，则称变量J为依赖于函数的泛函，记作可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数”例如：第六页，共七十七页，编辑于2023年，星期三泛函如果满足以下条件时，称为线性泛函：1），其中c为任意常数；2）对于一个任意小正数，总是可以找到，当时，就称泛函在处是连续的。2、泛函的变分所谓泛函的宗量的变分是指两个函数间的差。定义：设是线性赋泛空间上的连续泛函，其增量可表示为其中，是关于的线性连续泛函，是关于的高阶无穷小。则称为泛函的变分。第七页，共七十七页，编辑于2023年，星期三3、泛函变分的规则1）2）3）4）泛函的变分公式第八页，共七十七页，编辑于2023年，星期三定理：设是在线性赋泛空间上某个开子集D中定义的可微泛函，且在处达到极值，则泛函在处必有4、泛函的极值设是在线性赋泛空间上某个子集D中的线性连续泛函，，若在的某领域内在时，均有≥0≤0或则称在处达到极大值或极小值。第九页，共七十七页，编辑于2023年，星期三（二）欧拉方程：定理：设有如下泛函极值问题：其中，及在上连续可微，和给定，已知，，，则极值轨线满足如下欧拉方程及横截条件注意：满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。第十页，共七十七页，编辑于2023年，星期三欧拉方程简证：第十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期三第十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期三条件极值的欧拉方程：设有如下泛函极值问题：其中，及在上连续可微，和给定，已知，，，及横截条件第十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期三第十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期三6.2用变分法求解最优控制问题6.2.1末值时刻固定、末值状态自由情况下的最优控制非线性时变系统状态方程为初始状态其中，x为n维状态向量；

u为r维控制向量；f为n维向量函数。要求在控制空间中寻求一个最优控制向量，使以下性能指标沿最优轨线取极小值（带末值状态的性能指标，因其自由）。第十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期三引入拉格朗日乘子将性能指标改写为其等价形式（类似于求极值的拉格朗日方法，同时把状态方程看成极值满足的约束条件）定义哈密顿函数则第十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期三对（11）式中的第三项进行分部积分，得当泛函J取极值时，其一次变分等于零。即可以变分的量：不可以变分的量（实际上λ（t）也可以变分，但结果一样）：求出J的一次变分并令其为零第十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期三将上式改写成由于未加限制，可以选择使上式中和的系数等于零。于是有

由于是任意的变分，根据变分法中的辅助引理，由式得

称为伴随方程称为横截条件称为最优控制第十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期三几点说明：1）实际上上述过程可由欧拉方程得到。

2）是泛函取极值的必要条件是否为极小值还需要二次变分来判断，则泛函J取极小值。但实际上不易判断，考虑到实际问题的极值是存在的，大多数不判断。第十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期三初始条件例6-1系统状态方程为性能指标试求最优控制，使J取极小值。解哈密顿函数由伴随方程因为称为横截条件第二十页，共七十七页，编辑于2023年，星期三由控制方程即将代入状态方程解为当时，代入上式，求得，所以当时，最优性能指标为第二十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期三6.2.2末值时刻固定，末端状态固定情况下的最优控制非线性时变系统状态方程为

初始状态

末值状态

性能指标

寻求最优控制，在内，将系统从转移到，同时使性能指标J取极小值。由于末端状态固定，J仅有积分项第二十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期三引入哈密顿函数其中于是因为对上式右边第2项进行分部积分，可以得到上式中可以变分的量：不可以变分的量：第二十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期三令性能指标J的一次变分等于零，得

选择，使其满足

则

在末端状态固定情况下，不是任意的。只有在系统能控的情况下，才有控制方程第二十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期三矩阵和向量的微分规则：

第二十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期三例6-2设系统状态方程及边界条件为性能泛函试求使J最小的u(t)。第二十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期三第二十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期三6.2.3末值时刻、状态自由情况下的最优控制非线性时变系统状态方程为初始状态初始时刻固定，末值时刻是自由的。自由，性能指标

寻求最优控制以及，使性能指标J取极小值。为了求出最优控制，引入哈密顿函数其中第二十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期三于是可以变分的量不能变分的量对上式中进行分部积分，成为

注意此两处是tf时刻的值第二十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期三应当注意，末值时刻自由时，不等于或上式代入式第三十页，共七十七页，编辑于2023年，星期三性能指标取极值时，必有

选择使其满足

由于、是任意的，可得

称为横截条件1第三十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期三

而例6-3系统的状态方程为性能指标求最优控制和末值时刻，使性能指标泛函取极小值。解经判断系统是能控的1）构造哈密顿函数称为横截条件2第三十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期三2）由控制方程，得或3）由伴随方程4）将代入状态方程解为其中，、为积分常数，由，确定，得第三十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期三5）由于自由，，得到或第三十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期三6.3极小值原理6.3.1问题的提出用变分法求解最优控制时，认为控制向量不受限制。但是实际的系统，控制信号都是受到某种限制的。因此，应用控制方程来确定最优控制，可能出错。a)图中所示，H最小值出现在左侧，不满足控制方程。b)图中不存在第三十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期三6.3.2极小（大）值原理对于系统的状态方程：

初始时刻，初始状态

性能指标

要求在状态方程约束下，寻求最优控制及使系统从转移到，并使J取极小值。（已知，固定）第三十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期三极小值原理1）哈密尔顿函数：

2）系统状态方程：3）系统伴随方程：4）最优控制：第三十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期三极小值原理5）初始条件和横截条件

横截条件横截条件可能还有更负杂的见参考书第三十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期三6.3.3二次积分模型的快速控制状态方程

≤1

系统的初始状态为

末值状态为

性能指标为

第三十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期三要求在状态方程约束下，寻求满足式的最优控制，使系统从转移到，同时使J取极小值。因为在这个最优控制问题中，控制信号受限制，因此用极小值原理来求解。系统是能控的，其解存在且唯一。1）哈密顿函数为2）根据极值条件，来确定最优控制。只能用分析的方法确定u(t)，使哈密顿函数取极小值。显然，在u的限制条件下，选择u使H取得极小。有或第四十页，共七十七页，编辑于2023年，星期三3）伴随方程为如果的初始值为，，则

在[0，]内最多变号一次，最优控制函数有以下可能的4种情况第四十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期三4）由状态方程可知，当时，求得消去t得或写成为了形象地表示系统的运动形态，引用相平面方法，画出相轨迹如下图所示。相轨迹为两族抛物线。实线为u=1，虚线为u=-1，箭头表达相应于时间的变化方向。第四十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期三从到达的相轨迹只有两条、。≤0≥0将和合起来，曲线r将相平面分成两个区域和第四十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期三当初始状态位于：为（+1，－1）最优轨线：当初始状态位于：为（－1，+1）曲线r常称为转移曲线或开关曲线。开关曲线方程式为也称为开关函数。最优控制为当及，≤0当及，≥0最优控制系统的结构图，如下图所示注意此变化方向为可能达到原点唯一途径第四十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期三6.4用动态规划法求解最优控制问题右图为某小城镇交通路线图。起点站为S，终点站为F，站与站之间的里程标在图上，要求选择一条路线走法，使里程最短。这是一个最优控制问题。一种办法是将从S到F所有可能走法都列出来，并且把每种走法的里程标在各条路线上，找出最短的。6.4.1动态规划法的基本思想第四十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期三第二个办法：从最后一段开始，向前倒推。X1(3),X2(3)到F分别仅有一条路径，无法比较保留。X1(2)到F分别有两条路径，里程都为4，保留下部路径。X2(2)到F分别有两条路径，里程为6和5，保留里程为5路径。X1(1)到F分别有两条路径，里程为10和11，

，保留里程为10路径.X2(1)到F分别有两条路径，里程为8和12，保留里程为8路径。S到F分别有两条路径，里程为13和14，保留里程为13路径。最后留下的路径即为最佳路径。第四十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期三从该例看出，这种解法有两个特点:第一，它把一个复杂的问题（即：决定一条路线的选择问题）变成许多个简单的问题（即：每次只决定向上走（p）还是向下走（q）的问题），因此问题的求解变得简单容易了。不变嵌入原理的含义是：为了解决一个特定的最优控制问题，而把原问题嵌入到一系列相似的但易于求解的问题中去。对于一个多级最优控制过程来说，就是把原来的多级最优控制问题代换成一系列单级最优控制问题。第四十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期三6.4.2最优性原理最优性原理——在一个多级决策问题中的最优决策具有这样的性质，不管初始级、初始状态和初始决策是什么，当把其中任何一级和这一级的状态再作为初始级和初始状态时，余下的决策对此必定构成一个最优决策。将最优性原理应用到离散系统中去，系统状态方程为初始状态为性能指标为要求确定，使性能指标最优，即即J最小第四十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期三一般认为，第k级决策与第k级以及k以前各级状态和决策有关与以后的决策无关（因果关系）对于任意级k，有应该指出，最优性原理所肯定的是余下的决策为最优决策。对以前的决策没有明确的要求。第四十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期三6.4.3用动态规划法求解离散系统最优控制问题系统状态方程为要求在状态方程约束下，寻求使可以受限制，也可以不受限制。第五十页，共七十七页，编辑于2023年，星期三例6-4线性定常离散系统的状态方程为初始状态为，性能指标为寻求最优控制序列，使（为了简单起见，设）解运用动态规划法来求解1）从最后一级开始，即这里不需要决策第五十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期三2）向前倒推一级，即因为不受限制，故可以通过下式求得第五十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期三3）再向前倒推一级，即注意：1、对一个多级决策过程来说，最优性原理保证了全过程性能指标最小，并不保证每一级性能指标最小。但是在每考虑一级时，都不是孤立地只把这一级的性能指标最小的决策作为最优决策，而总是把这一级放到全过程中间去考虑，取全过程的性能指标最优的决策作为最优决策。2、动态规划法给出的是最优控制的充分条件，不是必要条件。这和极小值原理是不同的。由，解得)0(211)2(*xcx+=第五十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期三6.5线性状态调节器6.5.1引言线性系统以二次型为性能指标的最优控制问题，已经在国内、外的工程实践中得到应用。原因如下：1）被控对象是线性的，最优控制问题容易求得解析解。2）线性系统最优控制的结果，可以在小信号条件下，应用于非线性系统。3）最优控制器是线性的，易于实现。4）线性、二次型性能指标的最优控制问题除了得到最优解外，还可以导出经典控制理论的一些特性。第五十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期三6.5.2有限时间状态调节器线性时变系统的状态方程为寻找一个最优控制，使为极小。其中，x为n维状态向量；u为r维控制向量，且u不受限制。其中，F为对称半正定常数阵；为对称半正定时变阵。为对称正定时变阵。tf固定第五十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期三求解这个最优控制问题，可以用极小值原理，也可以用动态规划法。这里用极小值原理来求解。1）哈密顿函数为2）伴随方程为3）控制方程为横截条件故J取极小值第五十六页，共七十七页，编辑于2023年，星期三4）将代入状态方程得初始状态为另外一种求解方式：设其中，为待定的时变阵式对t求导，并且将状态方程和最优控制代入第五十七页，共七十七页，编辑于2023年，星期三比较两个伴随向量微分方程可以得到称为Riccati微分方程。其边界条件为得到第五十八页，共七十七页，编辑于2023年，星期三状态反馈的闭环方程为其中两点说明：1）由于矩阵黎卡提微分方程的解为对称因此有个独立的非线性标量微分方程。2）最优性能指标为第五十九页，共七十七页，编辑于2023年，星期三第六十页，共七十七页，编辑于2023年，星期三例6-6系统状态方程为求最优控制，使性能指标取极小值。解矩阵的黎卡提方程为求解上面的微分方程，有第六十一页，共七十七页，编辑于2023年，星期三其中即最优控制为由最优轨线为第六十二页，共七十七页，编辑于2023年，星期三6.5.3无限时间状态调节器线性定常系统最优控制为常数阵满足如下黎卡提矩阵代数方程第六十三页，共七十七页，编辑于2023年，星期三最优性能指标当这个无限时间状态调节器满足以下条件时，状态反馈增益矩阵才为常数矩阵：1）系统为线性定常系统；2）系统为能控；3）末值时刻；4）Q，R为正定阵。第六十四页，共七十七页，编辑于2023年，星期三例6-7线性定常系统的状态方程为≥0求最优控制，使J取极小值。解检验系统能控性能控。第六十五页，共七十七页，编辑于2023年，星期三最优控制为第六十六页，共七十七