线性代数辅导

线性代数辅导第一页，共五十四页，编辑于2023年，星期三行列式的概念第一部分行列式主要内容二阶行列式：三阶行列式:第二页，共五十四页，编辑于2023年，星期三(2)对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．第三页，共五十四页，编辑于2023年，星期三由个数构成的，记作阶行列式第四页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第五页，共五十四页，编辑于2023年，星期三行列式的性质与计算性质1行列式与它的转置行列式相等.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.性质3行列式的某一行（列）中的所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.第六页，共五十四页，编辑于2023年，星期三性质4行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变.性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则等于两个行列式之和.第七页，共五十四页，编辑于2023年，星期三定义在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作.叫做元素的代数余子式.第八页，共五十四页，编辑于2023年，星期三定理2行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

推论

行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即或,,第九页，共五十四页，编辑于2023年，星期三4.

克莱姆法则

如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，即第十页，共五十四页，编辑于2023年，星期三那么，方程组(1)有唯一解

,…,,其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即第十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期三定理3如果线性方程组(1)的系数行列式，则(1)一定有解，且解是唯一的.定理3′如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.定义5线性方程组（1）右端的常数项不全为零时，线性方程组（1）叫做非齐次线性方程组，当全为零时，线性方程组（1）叫做齐次线性方程组.第十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期三对于齐次线性方程组(2)一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组（2）的零解.如果一组不全为零的数是（2）的解，则它叫做齐次线性方程组(2)的非零解.第十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期三定理4如果线性方程组（2）的系数行列式，则齐次线性方程组（2）没有非零解.定理4′如果线性方程组（2）有非零解，则系数行列式必为零.

第十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第二部分矩阵叫做m行n列矩阵（简称m×n矩阵），记为．其中叫做矩阵A的第i行第j列元素．1．矩阵的定义由m×n个数排成m行n列的数表第十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期三当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵．n阶矩阵与n阶行列式是两个截然不同的概念．只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量;只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量．行数、列数均相等的矩阵称为同型矩阵．设与是同型矩阵，且（i=1,2,…,m；j=1,2,…,n），则称它们相等，记作A=B．第十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期三2．特殊矩阵设中每个元素都是零，则称它为零矩阵，记作或O．

时，称为n阶单位矩阵，记作En或E．设方阵中，（），则称A为对角矩阵，记为；特别地，当时，即第十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期三形如的n阶方阵A称为上三角形矩阵．形如的n阶方阵称为下三角形矩阵．第十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期三矩阵的运算1.矩阵相加2.数乘矩阵3.矩阵相乘第十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期三特别注意矩阵乘法的下列特性(1)矩阵乘法无交换律，即AB≠BA；特别地，EA=AE=A，即单位矩阵在矩阵乘法中相当于数1在数的乘法中的作用，注意这里的两个单位矩阵可能不同阶。(2)若AB=O，绝不能认为必然有A=O或B=O．例如,,(3)矩阵乘法无消去律，即若

AB=AC，绝不能认为必然有

B=C．

第二十页，共五十四页，编辑于2023年，星期三4.矩阵A的行列式，记作|A|或detA．特别注意｜A±B｜≠｜A｜±｜B｜A≠｜A｜|AT|=|A|，|A|=

|A||AB|=|A||B|=|B||A|矩阵的行列式满足（设A、B为n阶方阵，为数）第二十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期三5.矩阵的转置设，

称为A的转置矩阵，记为AT．则矩阵矩阵转置的运算律（设运算均可行）(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT(AB)T=BTAT;(kA)T=kAT满足条件AT=A的矩阵A称为对称矩阵（其元素以主对角线为对称轴对应相等）．满足条件AT=-A的矩阵A称为反对称矩阵．第二十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期三6．逆矩阵定义:设A为n阶方阵，若存在同阶方阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵A可逆，称B为A的逆矩阵，记为A－1=B．若A是可逆的，则它的逆矩阵A－1存在且唯一．方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0．运算律:设A、B均是同阶可逆矩阵，则(A－1)－1=A；(AB)－1=B－1A－1AT

也可逆，且(AT)－1=(A－1)T

第二十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期三７．伴随矩阵设A为n阶矩阵，称为A的伴随矩阵对于任何一个n阶矩阵A与其伴随矩阵A*都有AA*=A*A=|A|E由此可见，A*可逆的充要条件是A可逆．第二十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期三８．矩阵的秩(1)矩阵的阶子式在矩阵中,任取行列,位于这些行列交叉处的个元素,按原来它们在A中所处的位置而得到的阶行列式,称为的阶子式.（2)矩阵的秩设在矩阵中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果有的话)都等于0,则称D为矩阵A

的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A).9.矩阵的初等变换(1)交换矩阵的两行或两列;(2)用一个非零数k乘以矩阵的某一行或某一列;(3)把矩阵某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第二十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期三10.初等方阵单位矩阵施行一次初等变换而得到的矩阵称为初等方阵.11.等价矩阵矩阵A经过初等变换而得到矩阵B,称矩阵A与矩阵B等价,记作A~B.重要结论存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵,使得.设是矩阵,秩,则第二十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期三典型例题解第二十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第二十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第三部分向量组的线性相关性

1.

维向量及其运算

2.线性组合与线性表示(1)线性组合设是一维向量组，是一组实数，称是A的一个线性组合．第二十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期三3线性相关性的概念及结论(1)线性相关、线性无关:设为个维向量,若存在个不全为零的数,使，则称线性相关．若由可推出全为零，则称线性无关.第三十页，共五十四页，编辑于2023年，星期三(2)维向量组线性相关的充要条件是其中有一个向量可以由其余向量线性表示；含有零向量的向量组一定线性相关．

(4)n维向量组线性相关的充要条件是齐次线性方程组有非零解．其中.特别地时,线性相关的充要条件是．

(3)线性无关，而线性相关，则可由唯一线性表示．第三十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期三例设向量组线性无关，则向量组也线性无关．令则有由向量组线性无关得，由第三十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第四部分线性方程组1．基本概念称为n个未知量m个方程的线性方程组，第三十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期三不全为0时，称(1)为非齐次线性方程组；当全为0时，称(1)为齐次线性方程组．称

(2)为（1）对应的齐次线性方程组或导出组

第三十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期三若记或，第三十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期三则（1）可写成矩阵形式

（3）或

（4）A称为方程组（1）的系数矩阵，为方程组（1）的增广矩阵.齐次线性方程组可表示为

或．注齐次线性方程组总有解；第三十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期三2．解的性质性质1

若是的解则也是的解；性质2

若是的解则也是的解；性质3

的解的任一线性组合，还是的解；性质4

若为的解，则为其导出组的解；性质5

若为的解为其导出组的解，则为的解．第三十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期三求非齐次方程组的通解方法(1)

对增广矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵；(2)

求出导出组的一个基础解系；(3)

求的一个特解（为简便，可令自由变量全为0）；(4)写出通解；其中为任意常数3．基本方法第三十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期三例求解方程组解:施行初等行变换对增广矩阵B第三十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第四十页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第四十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第四十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第五部分相似矩阵及二次型1．正交向量组与正交矩阵（1）向量的内积设维向量称为向量与的内积.特别地，当时，称向量与正交.第四十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期三（2）向量的长度称为维向量的长度（范数）.（3）正交向量组设为一组非零维向量，若它们两两正交，则称为一正交向量组.第四十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期三2．矩阵的特征值和特征向量（1）特征值与特征向量的概念设A是阶方阵，如果数和维非零列向量使成立，则称是方阵A的一个特征值，非零列向量是A的属于特征值的特征向量.对可写成如下形式这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是其系数行列式第四十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期三此式是以为未知数的次方程，称为方阵A的特征方程，其左端是的次多项式，记作,称为方阵A的特征多项式，易见A的特征值就是特征方程的根.第四十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期三（２）特征值和特征向量的求法①求特征方程的全部根,便得到A的全部特征值.②对于特征值，求它所对应的齐次线性方程组的全部非零解,得到A的属于的全部特征向量.第四十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期三３．二次型及其矩阵表示（1）二次型的定义含有个变量的二次齐次函数称为二次型.第四十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期三取