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2022年北京天通苑学校高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知函数y=f(x)的图象与函数y=logax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,如果函数g(x)=f(x)[f(x)﹣3a2﹣1](a>0,且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,那么a的取值范围是()A.[0,] B.[,1) C.[1,] D.[,+∞)参考答案:B【考点】对数函数的图象与性质.【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】由已知函数g(x)=ax(ax﹣3a2﹣1)(a>0且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,令ax=t,利用换元法及二次函数性质能求出a的取值范围.【解答】解:∵函数y=f(x)的图象与函数y=logax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,∴f(x)=ax(a>0,a≠1),∵函数g(x)=f(x)[f(x)﹣3a2﹣1](a>0,且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,∴函数g(x)=ax(ax﹣3a2﹣1)(a>0且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数令ax=t,则g(x)=ax(ax﹣3a2﹣1)转化为y=t2﹣(3a2+1)t,其对称轴为t=>0,当a>1时,t≥1,要使函数y=t2﹣(3a2+1)t在[1,+∞)上是增函数则t=≤1,故不存在a使之成立;当0<a<1时,0<t≤1,要使函数y=t2﹣(3a2+1)t在(0,1]上是减函数则t=≥1,故≤a<1.综上所述,a的取值范围是[,1).故选:B.【点评】本题考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意换元法及二次函数性质的合理运用.2.若函数有最小值,则a的取值范围是(

).A

B

C

D参考答案:C.解析:当时,是递减函数,由于没有最大值,所以没有最小值;当时,有最小值等价于有大于0的最小值.这等价于,因此.3.已知集合,若,则实数的取值范围为(

)A、

B、

C、

D、参考答案:C略4.已知两条互不重合直线a,b,两个不同的平面,,下列命题中正确的是(

A.若a//,b//,且a//b,则//

B.若a⊥,b//,且a⊥b,则⊥C.若a⊥,b/,且a//b,则//

D.若a⊥,b⊥,且a⊥b,则⊥参考答案:D略5.圆心角为1350,面积为B的扇形围成一个圆锥,若圆锥的表面积为A,则A:B等于

A.

B.

C.

D.参考答案:A略6.下列各组函数中和相同的是A.

B.C、

D.参考答案:B7.直线xtan的倾斜角是 (

A.

B.-

C.

D.参考答案:A8.设,为两个不共线的向量,若与共线,则(

)A.

B.

C.

D.参考答案:A略9.如下图所示,对应关系是从A到B的映射的是(

参考答案:D略10.已知向量则()A.23

B.57

C.63

D.83参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列{an}中,公比为q,为其前n项和.已知,则的值为

.参考答案:212.若,则y的最小值为

.参考答案:4由题意得,所以,当且仅当,即时等号成立.

13.函数,若,则方程f(x)=a在[0,4π]内的所有实数根之和为.参考答案:【分析】先化简f(x)解析式,然后作出其草图,根据图象的对称性可得答案.【解答】解:数=sinx+==,作出函数f(x)[0,4π]内的草图,如图所示:由图象可知f(x)=a在[0,4π]内有4个实根,x1,x2,x3,x4,由图象的对称性知,=,故答案为:.14.设奇函数的定义域为,当时的图象,如右图,不等式的解集用区间表示为

.参考答案:15.圆上的点到直线的最大距离与最小距离之差是_________.参考答案:略16.已知集合,,则__________。参考答案:17.关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R),有下列命题:①y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x﹣);②y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数;③y=f(x)的图象关于点(﹣,0)对称;④y=f(x)的图象关于直线x=﹣对称.其中正确的命题的序号是

.参考答案:①③【详解】∵f(x)=4sin(2x+)=4cos()=4cos(﹣2x+)=4cos(2x﹣),故①正确;∵T=,故②不正确;令x=﹣代入f(x)=4sin(2x+)得到f(﹣)=4sin(+)=0,故y=f(x)的图象关于点对称,③正确④不正确;故答案为①③.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知,在区间[1,3]上的最大值为g(a),最小值为h(a),令P(a)=g(a)-h(a).(1)求P(a)的表达式。(2)判断P(a)的单调性,并求出P(a)的最小值。参考答案:略19.已知不共线,向量,且,求k的值.参考答案:【分析】由向量平行,得存在,使得,再利用不共线可得.【详解】∵,∴由共线向量,知存在,使得,即不共线,,即.【点睛】本题考查平面向量共线定理,掌握平面向量共线的充要条件是解题基础.20.如图,已知正四棱锥V﹣ABCD中,AC与BD交于点M,VM是棱锥的高,若AC=6cm,VC=5cm.(1)求正四棱锥V﹣ABCD的体积;(2)求直线VD与底面ABCD所成角的正弦值.参考答案:【考点】直线与平面所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】(1)利用勾股定理计算棱锥的高VM,代入棱锥的体积公式计算;(2)∠VDM是直线VD与底面ABCD所成角,在Rt△VDM中计算sin∠VDM.【解答】解:(1)∵正四棱锥V﹣ABCD中,ABCD是正方形,∴MC=AC=BD=3(cm).且S正方形ABCD=AC×BD=18(cm2).Rt△VMC中,VM==4(cm).∴正四棱锥的体积为V==(cm3).(2)∵VM⊥平面ABCD,∴∠VDM是直线VD与底面ABCD所成角,∵VD=VC=5,在RT△VDM中,sin∠VDM=.所以直线VD与底面ABCD所成角的正弦值为.21.已知集合,集合.()化简集合并求,.()若全集,求.参考答案:见解析()∵,∴,∵,∴,.()∵或,∴.22.(12分)已知函数f(x)=x2﹣2ax+5(a>1).(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;(2)若f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,且对任意的x∈[1,a+1],总有f(x)≤0,求实数a的取值范围.参考答案:【考点】二次函数的性质.【分析】(1)由f(x)的对称轴是x=a知函数在[1,a]递减,根据定义域和值域均为[1,a],列出方程组即可求得a值;(2)由f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数得a≥2,由函数在区间[1,a+1]上总有f(x)≤0,可得,解得a的取值范围即可.【解答】解:(1)∵f(x)=(x﹣a)2+5﹣a2

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