广东省汕头市华阳中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

广东省汕头市华阳中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数构造函数，定义如下：当，那么（

）A．有最小值0，无最大值

B．有最小值-1，无最大值C．有最大值1，无最小值

D．无最小值，也无最大值参考答案：B2.给出两个命题:p:|x|=x的充要条件是x为非负实数;q:奇函数的图象一定关于原点对称,则假命题是(

)A.p或q

B.p且q

C.

D.参考答案：D3.若x，y满足，则的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞） C．[﹣2，﹣1] D．[﹣4，3]参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合直线的斜率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点（3，4）的斜率由图象知z大于等于PA的斜率，z小于等于PB的斜率，∵A（2，1），B（4，0），∴=≥3；则=≤﹣4，即，（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）．故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．4.

在某次数学测验中，学号的四位同学的考试成绩，满足，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为（

）

(A)4种

(B)5种

(C)16种

(D)24种参考答案：答案：B5.某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

A.3种B.6种C.9种D.18种参考答案：C

【知识点】计数原理的应用．J1解析：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C【思路点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果.6.三个数之间的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B试题分析：由于，，，，所以，故答案为B考点：指数函数和对数函数的图象和性质7.已知向量，若向量与平行，则实数的值为（

）A．2

B．－2

C．

D.－参考答案：B由题意知，，若向量与平行，则，解得.故选B.8.已知a＜0，则“ax0=b”的充要条件是（）A．?x∈R，ax2﹣bx≥ax02﹣bx0 B．?x∈R，ax2﹣bx≤ax02﹣bx0C．?x∈R，ax2﹣bx≤ax02﹣bx0 D．?x∈R，ax2﹣bx≥ax02﹣bx0参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a＜0，令f（x）=ax2﹣bx，利用导数可得：x=函数f（x）的极大值点即最大值点，即可判断出结论．【解答】解：a＜0，令f（x）=ax2﹣bx，则f′（x）=ax﹣b，令f′（x）=0，解得x=．∴x=函数f（x）的极大值点即最大值点，∴?x∈R，ax2﹣bx≤ax02﹣bx0，∴a＜0，则“ax0=b”的充要条件是：?x∈R，ax2﹣bx≤ax02﹣bx0，故选：C．9.设成等差数列，成等比数列，则的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B10.中，角的对边为，向量，若，且，则角的大小分别为（

）A．

B． C．

D．

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.）若的展开式中含项，则最小自然数是

.参考答案：712.若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是

（只写出所有正确命题的序号）①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）是偶函数；③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．参考答案：②③④【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据抽象函数的定义和关系式结合函数奇偶性的定义即可判断①②，利用赋值法可以判断③④．解：令x1=1，x2=0，f（1+0）+f（1﹣0）=2f（1）f（0），即2f（1）=2f（1）f（0），∵f（1）=，∴f（0）=1．令x1=0，x2=x，则f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x）=2f（x），则f（﹣x）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故②正确，①错误．∵f（1）=，∴f（1+1）+f（1﹣1）=2f（1）f（1），即f（2）=2f2（1）﹣f（0）=2×（）2﹣1=，f（2+1）+f（1）=2f（1）f（2），即f（3）=2f（1）f（2）﹣f（1）=2××﹣=，同理f（4）=，由归纳推理得对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）正确；故③正确，令x1=x2=x，则由f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）得f（2x）+f（0）=2f（x）f（x）=2f2（x），即f（2x）+1=2f2（x）≥0，∴f（2x）+1≥0，即f（2x）≥﹣1．∴对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．故④正确．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数奇偶性的定义是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．13.曲线与直线有两个不同交点的充要条件是

.参考答案：知识点：直线与圆的位置关系解析：表示上半圆，圆心（0,1），半径为2，左边边界点为（-2,1），直线过定点（2,4），当直线过（-2,0）时，二者有两个交点，此时当直线与圆相切时，二者有一个交点，此时结合图像知：若二者有两个交点，则。14.若二次函数有，则________。参考答案：c略15.已知函数，若，则________．参考答案：

-7

16.(坐标系与参数方程)在极坐标系中，定点A(2，π)，动点B在直线上运动，则线段AB的最短长度为

．

参考答案：17.如图，已知，，，则圆的半径OC的长为．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共12分）为了了解某校学生对社会主义核心价值观的背诵掌握情况，拟采用分层抽样的方法从该校的高一、高二、高三这三个年级中共抽取7个班进行调查，已知该校的高一、高二、高三这三个年级分别有18、12、12个班级。（Ⅰ）求分别从高一、高二、高三这三个年级中抽取的班级个数；（Ⅱ）若从抽取的7个班级中随机抽取2个班级进行调查结果的对比，求这2个班级中至少有1个班级来自高一年级的概率。参考答案：（1）解：班级总数为18+12+12=42，样本容量与总体中的个体数比为，所以从高一、高二、高三这三个年级中分别抽取的班级个数为3，2，2.

……4分（2）设为在高一年级中抽取的3个班级，为在高二年级中抽取的2个班级，为在高三年级中抽取的2个班级，从这7个班级中随机抽取2个，全部的可能结果有21种（列举出来），

……8分随机抽取的2个班级中至少有1个班级来自高一年级的结果有一共有15种（列举出来）．……10分所以概率为

……11分答：这2个班级中至少有1个班级来自高一年级的概率为。

……12分19.（12分）某次计算机考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可继续参加科目的考试，已知每个科目只有一次补考机会，两个科目均合格方可获得证书。现某人参加这次考试，已知科目每次考试成绩合格的概率为，科目每次考试成绩合格的概率为，假设每次考试合格与否均互不影响。（1）求他不需要参加补考就可获得证书的概率；（2）在这次考试中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求随机变量的分布列和数学期望。参考答案：20.椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．参考答案：（Ⅰ）由已知，又，解得，所以椭圆的方程为；………………4分(Ⅱ)根据题意，过点满足题意的直线斜率存在，设，联立，消去y得，，令，解得．

………………7分设、两点的坐标分别为，ⅰ）当为直角时，则，因为为直角，所以，即，所以，所以，解得．………………9分ⅱ）当或为直角时，不妨设为直角，此时，，所以，即……①又…………②将①代入②，消去得，解得或（舍去），将代入①，得所以，经检验，所求k值均符合题意。

………………11分

综上，k的值为和．

………………12分

略21.设函数,其中.（1）若在上有最小值,求实数的取值范围；（2）当,时,记,若对任意,总存在,使得,求的取值范围.参考答案：(1)；(2).当时,,即,即,故,从而；综上所述,的取值范围为考点：二次函数、最值、绝对值不等式等有关知识的综合运用．【易错点晴】二次函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以与二次函数有关的解析式为背景,考查的是二次函数的图象和性质及不等式的性质有关知识的综合运用以及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时充分利用题设中提供的有关信息,第一问中先将中的,求出函数的解析式,再运用已知求出实数的取值范围为.第二问则运用分类整合的数学思想及不等式的性质进行推理论证,从而使得问题获解.22.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH=，设D为CC1中点，（Ⅰ）求证：CC1⊥平面A1B1D；（Ⅱ）求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】方法一：常规解法（I）由已知中，棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，易得CC1⊥A1B1，取A1B1中点E，可证出DE⊥CC1，结合线面垂直的判定定理可得CC1⊥平面A1B1D；（II）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K，结合（I）的结论，我们可得DH与平面AA1C1C所成角为∠HDK，解Rt△CFH与Rt△DHK，即可得到DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．方法二：向量法（I）以H为原点，建立空间直角坐标系，分别求出向量的坐标，根据坐标的数量积为0，易得到CC1⊥A1D，CC1⊥B1D，进而根据线面垂直的判定定理得到CC1⊥平面A1B1D；（II）求出直线DH的方向向量及平面AA1C1C的法向量，代入向量夹角公式，即可求出DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．【解答】证明：方法一：（Ⅰ）因为CC1∥AA1且正方形中AA1⊥A1B1，所以CC1⊥A1B1，取A1B1中点E，则HE∥BB1∥CC1且，又D为CC1的中点，所以，得平行四边形HEDC，因此CH∥DE，又CH⊥平面AA1B1B，得CH⊥HE，DE⊥HE，所以DE⊥CC1∴CC1⊥平面A1B1D解：（Ⅱ）取AA1中点F，连CF，作HK⊥