上午差分方程722模型

差分方程模型第一讲差分方程第二讲蛛网模型第三讲商品销售量预测第四讲养老保险第五讲减肥计划第六讲按年龄分组的种群增长第七讲差分方程平衡点的稳定性1、差分方程简介tt规定t

只取非负整数，记

yt

为变量在t

点的取值，则称

Dyt

=

yt

+1

-

yt

为yt

的一阶向前差分，称D2

y

=

D(Dy

)

=

Dy

-

Dy

=

y

-

2

y

+

yt

t

t+1

t

t+2

t

+1

t为yt

的二阶差分。由t

、yt

及

yt

的差分给出的方程称为

yt的差分方程。其中含

的最y

高阶差分的阶数称为该差分方程的阶数。差分方程也t

可以写成不显含差分的形式，例如二阶差分t

t

tyt

+2

-

yt

+1

+

yt

=

0D2

y

+Dy

+y可=以0

写成方程满足一阶差分方程的序列yt

称为差分方程的解，若解中含有独立的常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。称如下形式的差分方程a0

yt

+n

+

a1

yt

+n

-1

++

an

yt

=

b(t)为n阶常系数线性差分方程，其中数，a0

„0。其对应的齐次方程为a0

,a1

,,an是常a0

yt

+n

+

a1

yt

+n

-1

++

an

yt

=

0求非齐次常系数线性差分方程的通解的步鄹：1.先求解对应的特征方程0

1

nn

-1n+

a

l

++

a

=

0a

l1

1

n

nk

-1

t(c1

++

ck

t

)l2.根据特征根的不同情况，求解齐次方程的通解若特征方程有

n

个不同的实根l1

,,ln，则齐次方程的通解为c

lt

++c

lt若l

是特征方程的k

重实根，则齐次方程的通解ttc

r

cosj1

1t

+

c

r

sinjtj

=

arctan

ba若特征方程有单重复根l

=a

–ib

，则齐次方程的通解为

，其中r

=

a

2

+

b

2

为l

的模，为l

的幅角；；为

；若特征方程有k重复根l

=a

–ib

，则方程(2)的通解为明：若b不是特征根，则方程(1)有形如

的特解，也是t的k次多项式；若b是r重特征根，则方程(1)有形如btt

r

-1q

(t)的特解。进而可以用待定系数法求出qk

(t)，从k而得到方程(1)的一个特解。tktk

-1(c1

++

ck

t)r

cosj

)r

sinj1k

-1

tt

+

(c

++

c

t3.求非齐次方程的一个特解yt

，若

yt

为齐次方程的通解，则非齐次方程的通解为

yt

+

yt

。对特殊形式的特解b(t)可以使用待定系数法求非齐次方kkkbt

q

(t)程的特解。例如b(t)

=

bt

p

(t)，p

(t)

为t的k次多项式时可以qk

证(t)例1.

求解两阶差分方程

yt

+2

+

yt

=

t解对应齐次方程的特征方程为l2

+1

=0，其特征根2

21,2

t

1

2为l

=

–i，故齐次方程的通解为y

=

c

cos

p

t

+

c

sin

p

t，原方程有形如at

+b

的特解，带入原方程求得a

=1/2,b

=-1/2

，所以原方程的通解为c1

cos

2

t

+

c2

sin

2

t

+

2

t

-

2在应用差分方程研究问题时，需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性差分方程，若不论其对应齐次p

p

1

1时t

，fi

+¥方程的通解中的任意常数如何取值，当

，则称yt方fi程0的解是稳定的。2、常系数线性差分方程的

Z

变换解法¥采用上述解析解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，下面介绍Z

变换，将差分方程转化为代数方程去求解设有离散序列x(k

),k

=0,1,，则x(k

)的Z

变换定义为X

(z)

=

Z

(

x(k

))

=

x(k

)z

-kk

=0其中z

是复变量，上式右端的级数的收敛域是某个圆的外部X

(z)的Z

反变换记作x(k

)

=

Z

-1[

X

(z)]几个常用离散函数的Z

变换(3)

单边指数函数f

(k

)=ak

的Z

变换(a

为不等于1的正常数)k

=0(1)

单位冲激函数d(k)的

Z

变换¥Z[d(k

)]

=

d(k

)z

-k

=

[1·

z

-k

]

=1k

=0(2)单位阶跃函数U

(k

)的Z

变换Z[U

(k

)]

=¥¥z

-11· =

z

(|

z

|>1)k

=0

k

=0z

-kU

(k

)z

-k

=Z[ak

]

=¥k

=0zz

-

a=

(|

z

|>

a)ak

z

-kZ

变换的性质(1)线性性质设N

-1Z[x1

(k

)[=X

1

(z),Z[x2

(k

)]=X

2

(z)，则Z[ax1

(k

)

+

bx2

(k

)]

=

aX

1

(

z)

+

bX

2

(

z)(2)平移性质：设Z[x(k

)]=X

(z)，则Z[x(k

+1)]

=

z[

X

(z)

-

x(0)]Z[x(k

+

N

)]

=

z

N

[

X

(z)

-

x(k

)z

-k

]k

=0Z[x(k

-1)]

=

z

-1[

X

(z)

+

x(-1)z]-1Z[x(k

-

N

)]

=

z

-N

[

X

(z)

+

x(k

)z

-k

]k

=-N例2.求解齐次差分方程x(k+

2)

+

3x(k

+1)

+

2x(k

)

=

0,

x(0)

=

0,

x(1)

=1解

令

Z[x(k

)]

=

X

(z)

，对差分方程取

Z

变换得z2

X

(z)

-

z

+

3zX

(z)

+

2

X

(z)

=

0对上式取Z

反变换，便得差分方程的解为x(k

)

=

(-1)k

-

(-2)kX

(z)

==

-z2

+

3z

+

2

z

+1

z

+

2zz

z1、问题的提出在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波动的现象。在经济领域中，可以从自由集市上某种商品的价格的变化看到如下现象：在某一时期，商品的上市量大于需求，引起价格下跌，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其他商品，一段时间之后，随着产量的下降，供不应求又会导致价格上

升，又会有很多生产商进行该商品的生产，随之而来的是商品过剩，价格下降。在没有外界干预的情况下，这种现象会反复出现。如何从数学的角度来描述上述现象呢？2、模型假设设

k

时段商品数量为xk

，其价格为

yk

，这里把时间离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。同一时段的商品价格取决于该时段商品的数量，称yk

=

f

(

xk

)为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其价格就越低。故可以假设需求函数为一个单调递减函数。下一时段的商品数量由上一时段的商品价格决定，xk

+1

=

g(

yk

)称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假设供应函数是一个单调递增的函数。3、模型求解出在同一坐标系中同时做出供应函数和需求函数的图形，设两条曲线相交于P0

(x0

,y0

)则P0为平衡点。因为此时x0

=

g(

y0

),

y0

=

f

(

x0

)若某个

k

有

xk

=

x0

，则可推yl

=

y0

,

xl

=

x0

,l

=

k,(k

+1,)即商品的数量保持在x0

，价格保持在y0

。不妨假设x1

„x0下面考虑xk

,yk在图上的变化如右图所示。当x1给定后，价格y1

由f上的P1

点决定，下一时段的数量x2由g上的P2

点决定，y2又可由f

上的点P3

决定。

依此类推，可得一系列的点P1

(

x1

,

y1

),

P2

(

x2

,

y1

),

P3

(

x2

,

y2

),

P4

(

x3

,

y2

),图上的箭头表示求出Pk

的次序，由图知lim

Pk

(

x,

y)

=

P0

(

x0

,

y0

)即市场经济趋于稳定。PPf1kk

fi

¥供定示，得到的济并不是所有的需求g函数和应函数都趋于稳定，若给的f

和g

的图形如右图所P1

,

P2

,就不趋于P0

，此时市场经趋于不稳定。图1和图2中的折线

P1P2

,

P2

P3

,形如蛛网，故把这种模型称为蛛网模型。在进行市场经济分析中，f

取决于消费者对某种商品的需求程度及其消费水平，g

取决于生产者的生产、管理等能力。当已知需求函数和供应函数之后，可以根据f和g

的性质判断平衡点P0

的稳定性。当|

x1

-x0

|较小时，P0

的稳定性取决于

f

和

g

在点

P0

的斜率，即当时，P0

点稳定。当|

f

(

x0

)

|>|

g

(

y0

)

|时，

P0

点不稳定。|

f

(

x0

)

|<|

g

(

y0

)

|这一结论的直观解释是，需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利于经济稳定。设…………..0

0ba

=|

f

¢(

x

)

|,

1

=|

g¢(

y

)

|0在

P

点附近取

f

和

g

的线性近似，于是得yk

-

y0

=

-a

(

xk

-

x0

)xk

+1

-

x0

=

b

(

yk

-

y0

)从上两式中消去yk

得xk

+1

=

-abxk

+

(1

+

ab)x02(-ab

)xk

=

(-ab)

xk

-1

+

(-ab)(1

+

ab)x00+

(-ab

)2

(1

+

ab)x(-ab

)2

x

=

(-ab)3

xk

-1

k

-2=

(-ab

)k

x

+

[1

-

(-ab

)k

]x1

0若P0

是稳定点，则应有lim

xk

=x0，所以P0

点稳定的条件是k

fi

¥ab

<1同理P0

点不稳定的条件是ab

>10123

2

0(-ab

)k

-2

x

=

(-ab

)k

-1

x

+

(-ab

)k

-2

(1

+

ab)xab)

(1

+

ab)xx

+

(-k

-1k(-ab

)k

-1

x

=

(-ab

)1

0以上k

个式子相加，有kab

)

x

+

(1

+

ab)x

[1

+

(-x

=

(-k

-1k

+1ab)

++

(-ab

)

]4、模型修正在上述模型的基础上，对供应函数进行改进。下面在决定商品的生产数量xk

+1

时，不仅考虑前一时期的价格yk

，而附近取线性近于是得yk

-

y0

=

-a

(

xk

-

x0

)yk

-1

-

y0

=

-a

(

xk

-1

-

x0

)将上述两式整理得到二阶线性差分方程k

-12k

+1且考虑了价格

y

，取x似，则有0=g(yk

+yk

-1

)，在P2k

+1

0

kx

-

x

=

b

(

y

+

y

-

2

y

)k

-1

02xk

+1

+abxk

+abxk

-1

=

2(1

+ab)x0

,(k

=

2,3,)其特征方程为2l2

+

abl

+

ab

=

04经计算得其特征根-ab

–

(ab)2

-

8abl1,2

=结论：若方程的特征根均在单位圆内，则P0

为稳定点。当ab

>8

时，该特征方程有两个实根，因4l2

=ab<

-4-ab

-

(ab)2

-

8ab244则有|

l2

|>

2，故此时P0

不是稳定点。当

ab

<

8

时，特征方程有两个共轭复根，共轭复根的模的绝对值为1/

2ab=(ab)28ab

-(ab)2

|

l1,2

|=

+要使P0

点为稳定点只需与前面的模型的结果相比，a

,b

的范围扩大了。这是由于经营管理者的水平提高带来的结果。ab

<

2商品销售量预测在利用差分方程建模研究实际问题时，常常需要根据统计数据并用最小二乘法来拟合出差分方程的系数。其系统稳定性的讨论要用到代数方程的求根。例3

某商品前五年的销售量见右表1。现希望根据前五年的统计数据预测第六年起该商品在各季度中的销售量。第一年第二年第三年第四年第五年11112131516216182024253252627303241214151517由于该问题的数据少，用回归分析效果不一定好。如果认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或者前几年同期销售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。以第一季度为例，以yt表示第t年第一季度的销售量，建立形式如下的差分方程yt

=

a1

yt

-1

+

a2

yt

-2

+

a3上述差分方程不一定能使所有统计数据吻合，较为合理的办法是用最小二乘法求一组总体吻合较好的数据。即选取a1

,a2

,a3使得t

=3最小。根据这一方程可以迭代求解以后各年第一季度销售量52[

yt

-

a1

yt

-1

-

a2

yt

-2

-

a3

]的预测值y6

=21,y7

=19,。第7年销售量预测值居然小于第

6年的，稍作分析，不难看出，如分别对第一季度建立差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程，为此，将季度编号为t

=1,2,20，令yt

=a1

yt

-4

+a2

yt

-8

+a3，利用全体数据来拟合求拟合得到最好的系数。即求a1

,a2

,a3使得201

2

3

t

1

t

-4

2

t

-8

3Q(a

,

a

,

a

)

=

[

y

-

a

y

-

a

y

-

a

]2t

=9最小。于是得二阶差分方程为yt

=

0.8737

yt

-4

+

0.1941yt

-8

+

0.6957,(t

‡

21)由此式可得y21

=17.5869,y25

=19.1676，这个结果还是较为可信的。y0=[11

12

13

15

16]';y=y0(3:5);x=[y0(2:4),y0(1:3),ones(3,1)];z=x\y求得yt

=

-

yt

-1

+

3yt

-2

-

8y0=[11

16

25

1212

1826

14

13

20

2715

15243015

16

25

32

17]';y=y0(9:20);x=[y0(5:16),y0(1:12),ones(12,1)];z=x\y求得yt

=

0.8737

yt

-4

+

0.1941yt

-8

+

0.68571、问题的提出某保险公司的一份材料指出，在每月交费

200元至59岁年底，60岁开始领取养老保险金的约定下，男子若25岁开始投保，届时月养老金2282元；假定人的寿命为75岁，试求出保险公司为了兑现保险责任，每月应至少有多少投资收益率（也就是投保人的实际收益率）？2、模型的建立与求解设投保人在投保后第k

个月所交保险费及利息的累计总额为Fk

，那么得到数学模型为分段表示的差分方程Fk

+1

=

Fk

(1

+

r)

+

p,

k

=

0,1,,

N

-1Fk

+1

=

Fk

(1

+

r)

-

q,

k

=

N

,

N

+1,,

M

-1其中p,q

分别为60岁前所交月保险费和60岁起所领取的月养老金的数目（月），r

是所交保险金获得的利率，

N

,M

分别是自投保起至停交保险费和至停领取养老金的时间（月），这里p

=200,q

=2282,N

=420,M

=600，可推出差分方程的解（这里F0

=FM

=0

），得于是得到由于FN

+1

=FN

(1

+r)-q

，可得如下方程qpkkF

=

[(1

+

r)k

-1] ,

k

=

0,1,,

NrF

=

[1

-

(1

+

r)k

-M

] ,

k

=

N

+1,,

MrrNF

=

[(1

+

r

)

N

-

1]

prN

+1F

=

[1

-

(1

+

r)N

+1-M

]

qpr

r[1

-

(1

+

r)N

+1-M

]

q

=

[(1

+

r)N

-1]

(1

+

r)

-

q(1

+

r)M

-

(1

+

q

)(1

+

r)N

-M

+

q

=

0p

px

=

1

+

rx600

-12.41x180

+11.41

=

0x

=1.0049,

r

=

0.49%减肥计划——节食与运动在国人物质生活越来越好的条件下，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。许多医生和专家建议通过控制饮食和适当的运动来，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。下面建立一个简单的体重变化规律的模型，并由此通过节食与运动制定合理、有效的减肥计划。1、模型分析通常，当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化，人们通过饮食吸收热量，过多热量转化为脂肪，导致体重增加；而代谢和运动消耗热量，会使体重减小。只要做适当的简化假设就可得到体重变化的关系。通常，制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以这里采用离散时间模型：差分方程模型来讨论。2、模型假设根据上述分析，参考有关生理数据，作以下简化假设体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体重1kg；正常代谢引起的体重减小正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal到320kcal之间,这相当于重70kg的人每天消耗2000kcal到3200kcal运动引起体重减小正比于体重，且与运动形式有关为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不少于10000kcal

。基本假设记第k

周末体重为w(k

)，第k

周吸收热量为c(k

)，热量转换系数a

=1/8000kg

/kcal

，代谢消耗系数b（因人而异），则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为w(k

+1)

=

w(k

)

+ac(k

+1)

-

bw(k),

k

=

0,1,2,(1)增加运动时只需将b

改为b

+bt,bt

由运动的时间和形式确定。减肥计划的提出通过制定一个具体的减肥计划讨论上述模型(1)的应用。某人身高1.7m，体重100kg

，自述目前每周吸收热量20000kcal，体重长期不变，试为他按照以下方式制定减肥计划，使其体重减到75kg

并维持下去。在基本上不运动的情况下安排一下两阶段计划。

第一阶段：每周减肥1kg

，每周吸收热量逐渐减少，直至达到安全的下限10000kcal

；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标；若要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排第二阶段计划；给出达到目标后维持体重的方案。减肥计划的制订首先应确定该人的代谢消耗系数b

，根据他每周吸收热量c

=20000kcal，由(1)式得w

=

w

+ac

-

bw,

b

=

ac

/

w

=

0.025相当于每周每公斤体重消耗热量20000/100=200kcal

，由假设(2)可以知道，该人属于代谢消耗相当弱的人。第一阶段要求体重每周减少b=1kg，吸收热量减至下限cmin

=10000kcal，即w(k

)

-

w(k

+1)

=

b,

w(k

)

=

w(0)

-

bk由基本模型可得c(k

+1)

=

1

[bw(k

)

-

b]

=

b

w(0)

-

b

(1

+

bk

)a

a

a将

a

,

b,

b

的数值代人，并考虑下限

cmin

，有c(k

+1)=

12000

-

200k

‡

cmin得k

£

10

，即第一阶段共10周，按照c(k

+1)

=

12000

-

200k,

k

=

0,1,,9(2)吸收热量，可使体重每周减少1kg

，至第10周末达到90kg。第二阶段要求每周吸收热量保持下限

cmin

，由基本模型可得为了得到体重减至75kg所需的周数，将(3)式递推可得w(k

+

n)=

(1

-

b

)n

w(k

)

+ac

[1

+

(1

-

b

)

++

(1

-

b

)n-1

]min=

(1

-

b

)n

[w(k

)

-ac

/

b

]

+ac

/

bmin

min已知w(k)=90

，要求w(k

+n)=75，再将的a

,b,cmin数值代入得75

=0.975n

(90

-50)

+50,即得n

=19w(k

+1)

=

(1

-

b

)w(k

)

+

acmin

(3)为了加速进程，第二阶段增加运动，经过调查资料得到以下各运动每小时每公斤体重消耗的热量记表中热量消耗，每周运动时间

t

，为利用基本模型，只需将b

改成b

+agtw(k

+1)

=

w(k

)

+ac(k

+1)

-(b

+agt)w(k

)(6)取b

+agt

=0.003，则b

+agt

=0.028，即若增加运动gt

=24（如每周跳舞8小时或自行车10小时），就可将第二阶段的时间缩短为14周。运动跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50m/min)热量消耗kcal7.03.04.42.57.9最简单的维持体重75kg

的方案，是寻求每周吸收热量保持某常数c，使w(k

)不变，所以得到若不运动，容易算出c

=15000kcal，若运动，则c

=16800kcal。w

=

w

+ac

-(b

+agt)w,

c

=

(b

+agt)w

/

a评注人的体重变化是有规律可循的，减肥也应科学化，定量化。这个模型虽然只考虑了一个非常简单的情况，但是这对专门从事减肥活动的人来说不无参考价值。减肥活动与每个人的特殊生理条件有关，特别是代谢消耗系数，不仅因人而异，而且即使同一个人在不同环境下也会有所变化。从上面的计算中我们看出，当由0.025增加到0.028时（变化约

12%），减肥所需时间就从19周减小到14周（变化约25%），所以应用这个模型时要对作仔细的核对。按年龄分组的种群增长1、模型建立将种群按年龄大小等间隔地分成n

个年龄组，比如每10岁或每5岁为1个年龄组，与年龄的离散化相对应，时间也离散为时段，并且时段的间隔与年龄区间大小相等，即以10年或5年为1个时段。种群是通过雌性个体的繁殖而增长的，所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便，下面提到的种群数量均仅指其中的雌性。n记时段k

第i年龄组的种群数量为xi

(k

),

k

=

0,1,;i

=1,2,,

n第

i

年龄组的繁殖率为

bi

，即第

i

年龄组每个雌性个体在1个时间段内平均繁殖的数量，第

i

年龄组的死亡率为

di

,

si

=1

-

di

称为存活率，这里我们假设bi

,di不随时段变化，在稳定的环境下这个假设是合理的，bi

和si

可由统计资料获得。xi(k

)的变化规律由以下事实得到：时段k

+1第1年龄组种群数量是时段k各年龄组繁殖数量之和，即x1

(k

+1)

=

bi

xi

(k

)(1)i

=1时段k

+1第i+1年龄组的种群数量是时段k第i年龄组存活下来的数量，即记时段k按种群按年龄组的分布向量为x(k

)

=[x

(k

),

x

(k

),,

x

(k

)]T

(3)1

2

n由繁殖率

bi

和存活率

si

构成的矩阵xi

+1

(k

+1)

=

si

xi

(k

),i

=1,2,,

n

-1(2)于是得到x(k

+1)

=

Lx(k

)(5)(4)0

0bn

b1L

=

0

sn-1

0

b2

bn-1s1

0

0s2当矩阵

L

和按年龄组的初始分布向量x(0)已知时，可以预测任意时段种群按年龄组的分布为有了x(k

)，当然不难算出时段k

种群的数量。x(k

)

=

Lk

x(0),

k

=1,2,(6)2、稳定状况分析下面研究时间充分长后，种群的年龄结构及数量的变化。矩阵L中的元素满足0

<

si

£1,i

=1,2,,

n

-1(7)bi

‡

0,i

=1,2,,

n且至少一个bi

>

0(8)满足(7)(8)矩阵称为Leslie矩阵，容易看出x(k)的稳定形态完全由矩阵L决定，关于矩阵我们叙述下面两个定理。定理1

矩阵有唯一的正的特征根l1，且它是单重的其对应的正特征向量为1

1

1l2

ln-1lx*

=

[1,

s1

,

s1s2

,,

s1s2

sn-1

]T

(9)矩阵L的其他

n

-1

个特征根都满足。|

lk

|£

l1

,

k

=

2,3,,

n(10)该定理表明矩阵L的特征方程++

bn-1s1s2

sn-2l

+

bns1s2

sn-1

)

=

01

2

1n-2n

n-1+

b

s

ll

-(b

l1l1*

*，且容易验证

Lx

=

l

x只有一个正单根1x(k

)=

cx*

(13)limk

fi

¥lk定理2

若矩阵第一行有两项顺次的元素

bi

,bi

+1都大于零，则(10)式中仅不等号成立，即|

lk

|<

l1

,

k

=

2,3,,

n(12)且满足其中c

是由bi

,si

及x(0)

决定的常数。附带指出，对于种群增长来说该定理的条件通常是满足的。从上述定理可以对时间充分长后种群按年龄组的种群的分布x(k

)的性态做出如下分析（为简便起见记l1

为l

）。由(13)式直接有x(k

)

»

clk

x*

(14)这表明k

充分大时，种群按年龄组的分布趋向稳定，其各年龄组的数量占总量的比例，与特征向量x*中对应分量占总量的比例是一样的，即x*

就表示了种群按年龄组分布的状况，故称x*

为稳定分布，它与初始分布x(0)无关。由(14)式又可得到x(k

+1)»lx(k

)或者更清楚的写作xi

(k

+1)

»

lxi

(k

),i

=1,2,,

n(15)这表明k

充分大时，种群的增长也趋向稳定，其各年龄组的数量都是上一时段同一年龄组数量的l倍，即种群的增长完全由矩阵L的唯一正特征根决定，当l

>1时种群递增，当l

<1时种群递减，可称

l

为固有增长率。当l

=1

时，种群总量不变，由特征方程可知这个条件等价于b1

+

b2

s1

++

bn

s1s2

sn

-1

=1(16)若将(16)式左端记作R

=

b1

+

b2

s1

++

bn

s1s2

sn

-1

(17)由这个表达式可以知道，R

表示一个雌性个体在整个存活期内繁殖的平均数量，称为总和繁殖率，R

=1时，种群总量不变，由(9)式可知此时稳定分布为x*

=

[1,

s

,

s

s

,

s

s

s

]T

(18)1

1

2

1

2

n-1根据(14)式，这个结果表明xi

+1

(k

)

»

si

xi

(k

),i

=1,2,,

n

-1(19)即当k

充分大且R=1时，存活率si

等于相邻两年龄组的种群数量与之比。差分方程平衡点的稳定性1

对于一阶线性常系数差分方程xk

+1

+

axk

=

b,

k

=

0,1,2,,

(1)满足方程

x

+

ax

=

b

的解，称为上方程的平衡点。即平衡点为x*

=.1+

ab当k