微积分在金融中的一般应用例举

微积分在金融分析中的一般应用例举经济学院金融学沈沉0511751数学与金融学的结合是一个重要的进步，它使金融学由单纯的定性分析走向定性与定量分析相结合，由规范研究转变为以实证研究为主，由理论阐述变为理论研究与实用研究并重，由金融模糊决策向精确化决策发展。金融交易的决策是一个充满风险的过程，其间有太多的不确定因素。因此人们一直在努力寻找一种可以量化处理不定因素、计量收益和尽可能规避风险的方法，而数学方法的介入为此提供了方便，使金融分析有了飞跃式的发展。函数和微积分是数理金融分析中最基础的数学工具，用微积分法研究边际问题、最优化问题等是非常方便且容易理解的。下面我们就来看几个简单的例子，看看这种结合是如何说明问题的。例一.某生产赛车的跨国公司由两个部门组成，上游部门生产引擎，部门组装赛车。该赛车需求曲线为P=20000-Q.已知上游部门的成本为CE(QE)=2QE2,则上游部门的边际成本为MCE=4QE,下游部门的成本为CA=8000Q,求引擎的划拨价格PE，赛车的产量Q，引擎的产量QE和赛车的价格PA.在国际投资中划拨价格是指从事跨国公司经营的企业系统内部买卖中间产品时所执行的价格，它应以中间产品的成本CE为基础，且同时满足各部门（上游、下游）利润最大化。在这个问题中，上游部门产量为QE,下游部门产量为Q,成本是产量的函数，因此它们的成本函数分别为CE(QE)和CA(Q),其中下游部门的生产函数为Q=(L,K,QE),K、L是下游部门投入的资本和劳动力。引擎的划拨价格为PE,下游部门的销售收入为R(Q).公司总利润最大的条件是两个部门各自达到利润最大化。下面我们就来研究假设不存在中间产品外部市场时划拨价格的制定条件。设该企业的总利润为π(Q),则:π(Q)=R(Q)-CE(QE)-CA(Q).这是一个二元函数，为使π(Q)最大，可对上式求偏导，令π(Q)对QE偏导为零，即最后一单位上游部门生产的引擎的边际成本等于它给该公司带来的额外收益。=×－－×=(－)－根据经济意义可知，上式中为赛车生产的边际收益，即=MR.为下游部门的边际成本,即=MCA.为增加一个引擎生产能够带来的赛车的增量，定义为上游部门的边际产出，记作MP＇.(MR-MCA)是下游部门每增加一单位产量所带来的部门利润的增加。因此(MR-MCA)·MP＇为上游部门产量的年边际收益，记作NMRE.为上游部门的边际成本MCE.令=0，则有：(MR-MCA)·MP＇-MCE=0NMRE=MCE设上游部门利润为πE,则：πE=PEQE-CE(QE)为使πE最大，对上式求偏导，令πE对QE的偏导数为零，即：障=将P尘E亿-说=0挠殿垄跨P协E烧=方=脊MC住E丢由此些我们描就得姿出了汽划拨确价格尘的制逆定条迈件：防P绸E题=鸽MC参E苦=自NM估R汁E禽=(丰MR绿-M宵C吹A狂)宵·奔MP唉＇咬即当撇生产斯引擎兔的边型际成薄本等插于其半年边肢际收遇益时务确定蜡的价蚊格就勤是划泡拨价哨格。肾推出与了这挽个条斗件，遍上面辞这个宝看似若复杂凑没有明头绪半的问伐题就峡变得诞很简糖单了隔。要针求P咬E铲,首肤先要仓知道翻MR怠,概MC星A给和M建P＇土.由识于赛嫩车与帅引擎顶得数阁量是湿对应衬的，外所以毯MP清＇=每1,升Q=污Q前E桑.由园需求印函数唤可推览知收附益函某数：停R(孝Q)岭=Q轮P籍A母=Q篇(钩20握00拌0-喝Q)思=2掀00探00杆Q-朴Q缠2辞=2挤00池00遵Q梯E去-Q聚E夹2削可知碧边际离收益险为M没R=该20偶00浑0-索2膛Q抚E跃由C守A妻=8墓00坑0Q随可知默，M编C屋A裂=8果00鼠0.秩由C班E功(Q柔E秘)=魂2公Q谊E睡2巨可知挽，M济C派E宽=4弟Q惑E畜.茄因此裁：N研MR档E忌=2买00穗00掩-2苦Q振E斤-8而00嫩0.冶令N大MR洋E膀=拆MC胀E守,得通到：封12逆00稍0-暑2弊Q扛E弟=4袜Q娱E摆涝Q磨E颠=Q皮=2仰00丹0（垄台）隆战谷搏浓牧毁礼P轿E锻=俊MC赤E也=4触×陈20纷00帖=8目00跳0（灶元）呢帜适捏兰掘焰伏饺P宜A凡=2肤00删00叠-2榆00通0=冰18鼠00泡0（革元）晨该问半题得饰解。式从以浊上问兽题我宋们看毙出，眼两部垄门的图成本让、产塞量和呢收益膛均为近不定阶因素饭，它帮们之泥间又叨存在巡一定狸关联俱，单府纯的挖定性探分析粱是很赢难说照清的湖。微围分方功法的宾运用点，使缓该问循题变雁得简苹单且遮一目签了然宏。等再来霸看一境个积拼分方谎法应室用的洋例子茶：全例二亩.给慕定净慧投资敌率I饲(t伞)=贴14置0t稻,且随当t礼=0矮时初怒始资夏本存计量是俩15星0.约求资顺本函削数K搂,即膝时间榴路径铺K(冤t)召.胡首先霜要弄梳清一歼个概驶念：添净投绵资I拜指的贵是时茅间t杆内的挺资本龟存量悼构成挂K的聋变化喷率。土由此篇我们造知道沃，假傍如这揭个过陡程是根连续炎的，驰则I葱(t餐)=狱=K愚＇(湖t)货.根贼据投据资率士可以蓬估计尺资本偷存量剖的水怨平,瓦资本骨存量嚼就是驼净投涉资关数于时首间的趴积分旷：K傲t兔=麦=K暗(t套)+师c.螺这里贺c即诉为初则始的肤资本系存量阀K躺0苹.于读是有甩：击K=适=1顶40桶=1免40阻(亮)+侧c=侮80瞧+c蚊当t膏=0枝时,漆c=耕K件0佣=1敏50理.滨液K=课80芹+1键50咳问题日得解恰。粒更多姑的问牲题则峡要求速我们出同时尾使用凯微分棵和积摆分两顷种方薄法来砖解决子。针例三姻.在架垄断勉条件释下所减销售喜的数材量和仪市场暂价格垫是由陆需求括函数区决定敏的，疤设一幕个利堵益最硬大化肝的垄膨断者裁的需蚕求函酒数是哀P=隶27洋4-衡Q犁2刊.且蒙MC淹=4毯+3写Q.转求消质费者葡剩余姐。F(Q)PP0SQ0Q颠要研本究这译个问剑题，宰首先抽必须家清楚体消费捞者剩允余的效概念坑、实食质以筝及所扁涉及烦的经絮济变呢量。担我们和就最每简单盲的情F(Q)PP0SQ0Q训需求洋函数破P=壮f(黎Q)诊代表洗了在险市场富提供绳不同弯数量仰产品揉时消降费者叼愿意赴接受偿的价博格，瘦如果新市场诊均衡察发生骑在(斥Q垦0悉,P饭0旷)点遇，那标么愿电意支累付超轰过P住0要的消美费者仓就会介受益祖，S庭的面夕积即印为消巾费者眠剩余赌。如麦图所响示：随用定桶积分猴可以皇很容风易地获求出牺消费纽者剩爆余：惰消费崖者剩悄余=米因此铜我们宜知道谋，要斯求出赚消费铸者剩待余就也要先猜知道伸均衡赛产量调和价宇格。抵在上晋述问局题中渣，由却于是信垄断使市场琴，于膨是问崭题被里简化透了。抽Q寻0米，P钥0少要由项垄断贼者达拌到利联益最桃大化纠的条跌件求打得。佣已知济：P贷－2材74秤－Q运2汪，于翻是，偿TR皮＝P私Q＝奏（2伯74宜－Q朽2胆）＝龙27句4Q霜－Q骗3庙在M周C＝描MR省处垄阻断者次获得扇最大涌利润索；极27鼻4－辟3Q荡2掌＝4婚＋3机Q，饼3（施Q莲2役＋Q评－9缸0）寒＝0桌Q带01锡＝9每，Q突02纹＝－轿10扮（无云经济久意义虫，舍推）不Q按0见＝9博，P榜0拐＝1讽93储消费趋者较剩余赖＝＝翅以上星三例键只是述微积提分在漆金融印分析跌中最姥最基古本的童应用源，随故着学牺习的勇深入招，我蔑们可病以发玉现数置学对万于经屠济问糟题研扰究的那重要取作用激。掌答握好怕数学材这个词工具央，会最帮助厘我们拼更好启地理少解和澡分析屈各种害经济果现象田，进匙而开哄辟出咬一个梢更广绿阔的性天地荡。辜参考材书目擦：趟1．咬《数肠理金俘融》绍，中组国