2022年高考文科数学天津卷(含答案与解析)

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数学试卷第1页（共14页）数学试卷第2页（共14页）

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天津市2022年一般高等小学招生全国统一考试

文科数学

第I卷

本试卷分为第I卷（挑选题）和第Ⅱ卷（非挑选题）两部分，共150分，考试用时120分钟.参考公式：

·假如大事A，B互斥，那么()()()PA

BPAPB=+．

·棱柱的体积公式VSh=.其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．

·棱锥的体积公式1

3VSh=，其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高.

一、挑选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.设集合{1,2,3,4}A=，{1,0,2,3}B=-，{|12}Cxx=∈-”是“||2x>”的

（）

A.充分而不须要条件

B.须要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不须要条件

4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为

（）

A.1

B.2

C.3

D.45.已知37

log2a=，1

31()4b=，13

1log5c=，则a，b，c的大小关系为

（）

A.abc>>

B.bac>>

C.cba>>

D.cab>>

6.将函数sin25yxπ?

?=+???的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数

（）

A.在区间,44ππ??

-????

上单调递增

B.在区间,04π??

????上单调递减

C.在区间,42ππ??

????

上单调递增

D.在区间,2π??

π????

上单调递减

毕业小学_____________姓名________________考生号________________

_____________________________

在

此

卷

上

答

题

无

效

数学试卷第3页（共14页）数学试卷第4页（共14页）

7.已知双曲线22

221(0,0)xyabab

-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双

曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分离为1d和2d，且

126dd+=，则双曲线的方程为

（）

A.22

139xy-=

B.22

193xy-

=C.221412

xy-=

D.22

1124

xy-=8.在如图的平面图形中，已知1OM=，2ON=，120MON∠=?，2BMMA=，2CNNA=则BCOM的值为

（）

A.-15

B.-9

C.-6

D.0

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.i是虚数单位，复数

67i

12i

+=+．10.已知函数()exfxlnx=，()fx'为()fx的导函数，则

(1)f'的值为．11.如图，已知正方体1111–ABCDABCD的棱长为1，则四棱柱111–ABBDD的体积为．

12.在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为．

13.已知a，b∈R，且–360ab+=，则21

8ab

+的最小值为．14.已知a∈R，函数2222,0,()22,0xxaxfxxxax?++-?

=?-+->??≤．

若对随意)[3,x∈-+∞，()||fxx≤恒成

立，则a的取值范围是．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的同学志愿者人数分离为240，160，160.现采纳分层抽样的办法从中抽取7名学生去某敬老院参与献爱心活动.（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的同学志愿者中分离抽取多少人？

（Ⅱ）设抽出的7名学生分离用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名学生担当敬老院的卫生工作。

（ⅰ）试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；

（ⅱ）设M为大事“抽取的2名学生来自同一年级”，求大事M发生的概率.

16.（本小题满分13分）

在ABC△中，内角A，B，C所对的边分离为a，b，c．已知sincoπ

()6

sbAaB=-．（Ⅰ）求教B的大小；

（Ⅱ）设2a=，3c=，求b和sin2()AB-的值．

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17.（本小题满分13分）

如图，在四周体ABCD中，ABC△是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，2AB=

，AD=90BAD=?∠．（Ⅰ）求证：ADBC⊥；

（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

18.（本小题满分13分）

设{}na是等差数列，其前n项和为()nSn∈*N；{}nb是等比数列，公比大于0，其前n项和为*()nTn∈N．已知11b=，322bb=+，435baa=+，5462baa=+．

（Ⅰ）求nS和nT；

（Ⅱ）若12(4)nnnnSTTTab++++=+…，求正整数n的值．

19.（本小题满分14分）

设椭圆22221(0)xyabab+=>>的右顶点为A，上顶点为B.

，

||AB=

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线:(0)lykxk=解得2x>；由||2x>解得2x，所以“8x>”是“||2x>”

的充分而不须要条件。

【考点】不等式的求解、充分须要条件的判定4.【答案】B

【解析】输人2022NiT===，，，此时

10N

i=是整数，

则有011213Ti=+==+=，，此时不满足条件5i≥；接下来有20

3

Ni=不是整数，则有314i=+=，此时.不满足

条件5i≥；接下来有5N

i

=是整数，则有112415Ti=+==+=，，此时满足条件

5i≥，结束循环，输出2T=.

【考点】算法的程序框图.模拟程序框图的运行5.【答案】D

【解析】按照函数的图象与性质可知1

3

1

3333

1711loglog5loglog315244????=>>==>??????

，则cab>>.

【考点】代数值的大小比较、函数的图象与性质6.【答案】A

【解析】将函数πsin25yx??=+?

?

?的图象向右平移π10个单位长度得到ππsin2sin2105yxx??

??=-+=???????

由ππ2π22π+,22kxkk-+∈Z≤≤，解得

ππππ+,44kxkk-

+∈Z≤≤，当0k=时，则知函数在区间ππ,44??-????

上单调递增.【考点】三角函数图象的平移变换、三角函数的图象与性质7.【答案】A

【解析】由双曲线的离心率2c

ea

=

=，可得2ca=

，则知b=，将2xa=代人双曲线22

22

13xyaa-=，可得3ya=±，设点(2,3)(2,3)AdaBaa-，，双曲线的一条渐近线方

0y+=，

可得12dd====，，

所以126dd+=+==

，解得a，故双曲线的方程为

22

139

xy-=.【考点】双曲线的方程与几何性质、点到直线的距离公式8.【答案】C

【解析】按照题目可得:

22((33)3()33()33321cos120=31=6

BCOMACABOMANAMOMANAMOMMNOMONOMOMONOMOM=-=-=-==-=-=?????-）

【考点】平面对量的线性运算与数量积二、填空题9.【答案】4i-

【解析】由题可得67i(67i)(12i)205i4i12i

(12i)(12i)

5

++--===-++-.

【考点】复数的四则运算10.【答案】e

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【解析】因为()elnxfxx=则有1()elnexxfxxx'=+，所以111

(1)eln1ee1

f'=+=.【考点】导数及其应用、函数值的求解11.1

3

【答案】【解析】由题可知四棱锥111ABBDD

-，1的矩形，高为

，则四棱锥111A

BBDD-的体为11133

V=?=.【考点】空间几何体的性质、空间几何体的体积12.【答案】2220xyx+-=

【解析】因为圆经过三点(0,0)(1,1)(2,0)OAB，，，可知OAAB⊥，则知OB为圆的直径，

则圆心(1,0)C，半径1r=，可得圆的方程为22(1)1xy-+=，即2220xyx+-=.【考点】圆的方程

13.【答案】1

4

【解析】因为360ab

-+=；可得366a-=-，结合基本不等式可得

336311

22222222284

aa

babb+=+====≥，当且仅当322ab-=，

即33ab=-=-.【考点】基本不等式

14.【答案】1,28?

?????

【解析】当[]3,0-时，由()||fxx≤恒成立可得22xxax++-≤-即2

32xxa++-≤0，

结合图象可知9920

0020aa-+-??++-?

≤≤，解得2a≤；当·(0,)x∈+∞时，由()||fxx≤恒成

立可得2

22xxax-+-≤，即220xxa-+≥，结合图象可知2

412(1)041

a??--?≥，

解得a18a≥；综上分析可得1

28

a≤≤.

【考点】分段函数、函数的图象与性质、不等式恒成立三、解答题

15.【答案】（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的同学志愿者人数之比为3:2:2，

因为采纳分层抽样的办法从中抽取7名学生，因此应从甲、乙、丙三个年级的同学

志愿者中分离抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（ⅰ）解：从抽出的7名学生中随机抽取2名学生的全部可能结果为

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，

{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．

（ⅱ）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年

级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名学生中随机抽取的2名学生来自同一年级的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．

所以，大事M发生的概率为5

(2)1

PM=

．【考点】随机抽样、用列举法计算随机大事所含的基本领件数、古典概型及其概率计算

公式等基本学问

16.【答案】（Ⅰ）解：在ABC△中，由正弦定理

sinsinab

AB

=

，可得sinsinbAaB=，又由πsincos6bAaB??=-??

?

，

得πsincos6aBaB??=-??

?

，即πsincos6BB??=-??

?

，可得

tanB(0π)B∈，，可得π

3

B=

．（Ⅱ）解：在ABC△中，由余弦定理及23π

3

acB===

，，，有2222cos7bacacB=+-=

，故b=．

由πsincos

6bAaB??=-?

?

?

，可得sinA=．由于ac，可得2q=，故12nn

b-=.所以12

2112

n

nnT-==--.

设等差数列{}na的公差为d.由435baa=+，可得134ad+=.由5462baa=+，可得

131316,ad+=从而11,1ad==，故nan=，所以(1)

2nnnS+=.（II）解：由（I），知13

1

12(222)2

2.nnnTTTnn+++

+=++

+-=--

由12()4nnnnSTTTab+++

+=+可得

11(1)

2222

nnnnnn++++--=+，收拾得2340,nn--=解得1n=-（舍），或4n=.所以n的值为4.【考点】等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础学问

19.【答案】（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得2

259ca

=，又由222abc=+，可得23.ab=

由||AB,从而3,2ab==.所以，椭圆的方程为22

194

xy+=.

（II）解：设点P的坐标为11(,)xy，点M的坐标为22(,)xy，由题意，210xx>>，

点Q的坐标为11(,).xy--由BPM△的面积是BPQ△面积的2倍，可得||=2||PMPQ，从而21112[()]xxxx-=-