凯利公式详细推导

wordword资料L求解的问题考虑一个赌局，需要考思的问题是如何自己的资金在皓博过程中以最快的速度增长*记:与：赌者的本金心在赌过第k次之后的资金额，k=l2…R,：第k次赌的毛收益率（1）有：（1）氏二感匕一1对上式进行循环迭代，容易得到：A=A-%-X…冬■鸟■修网边取对数得到：ln（XQ=ln（%）+W1加国）由对数函数的性质,有：侬堂）=汇1并凡）四边同除以k，得现：国（年）二：工二由〔为）也即：侬以加困）容易理解（今产是赌者本金在k欢赌博中的几何平均毛增氏率:斐y二4a_/&，」电卡¥l/N©Byidlator假设：毛收益率凡是•个平稳独立的随M过程，换言之r即对『k=l二……七独立同分区|1：该假设,有：E（lii贯］）=£（ln7?2）=…=EQn&）=5。11尺上_J二…记；g=Eln&，k=l.2.,..由大数定理可知:］k口血不工；=足（凡）二口也即:求住汇金以最快的速度增反,等同于是求最快的儿何平均毛增k率，也即考虑的问题是求:y1-Iq

这等价于求：Y1四以寸皿」了］X。C1G(J1)由式，缶无力名欢的赌博中，也即上一＞十工和，该问题乂等价十求:Max(_g)(12)上式为我们求使本金增长最快的投资比例提供了极大的便利,仔细品位（12）式的含义，它指电，为了求解住本金最快的投资比例，我们只需要考虑使赌局的对数期望收益率星大的赌法口换言之,我们不需要去考虑我们将赌几次，而只需要考虑赌一次的对数期里收益率.2/N ©Byidlator例子，假想有这样一个赌局，赢的概率『06输的概率L，p=0.4,赢的净收益率为L输的毛收益率为“a也即，如果赢T则每赌1元可以赢得1元，如果输，凰每赌1元将输掉1元.记；赌者每次F的赌注占赌资的比率为人对该赌局IK己1卜公式为：y-1也即，技照K虱ly公式r使赌资增长最快的卜注比例f=2M0mi=23%一现在利用卜一面的(12》式来求解。对于该赌局，容易看"I：M=Cl-6lnkl+/)-H0.4111(1-/)求解，A/m[0,6ln(l—/)—0一41Ml-/)]•阶条件为：Ofx—乂一^二01+71-/二阶条件为；一舟一言武由一阶条件可以解得最优的投道比例为/=20%,这与用Kelly公式得到的结果是一致的口3/N ©ByidlatDr2.赌局的性质与资金增长最快的投资七例在思路继续白卜走之前.先来讨论一下投资比例与卿局的性质之间的关系.应3理解，我这里的“赌局、’一词，与“证券二“交易系统”、“投资项目”……等词是等价的，为便于讨论，把上面的例子一般化，但赌局还是只考虑两种结果：赢或输.记『赢的概率为P，输的概率为1-P，减的净收益率为，…输的净收益率为一内(这样•"F；>0、则,(13)(14)S=pin。十一-G十Q-P)ln(l-/百)求解呼x(g),容易得到最优的投强比例f为，j_p,。-0-p)(13)(14)或者写成:(15)4/N ©Byidlator

(1)两条黄金推机记一个赌局的期望收益率为则对于上囿的赌局,W：E(f)=P。一。一声〉(一%)=P几一。一切当所以(14)式其突也可以写作：f=组 (1<5>“15我在闽发的帖子中曾多次提到期望收益率在投资投机中的重要性e其实(16)式可以对这一点做出『.常直观的解释。从(16)式,很显然有:女果期望收益率E(r)<0^if<0;［如果期望收益率石(,”①则/…意味着是“做步。f<0意味着是反手“做空:这也就是说,对户赌徒.旧说…只有当嘴局的期望收益率为正的时候,才应该参赌！如果期望收益率为负，则最优的选择是转换『I」的角色去坐•庄，如果不能改而坐庄或者反手做空,U最好的选择是退出不参9。这就是在投资.投机或者赌I#中长期生存的第一东黄金准则；黄金准则一：如果一个赌局的期望收益率为负，则最优的选择是不参与.5/N ©Byidlator蔚蓝：兄好！毛收益率理论上是而实际上不是，或者说应该不是独立同分布的。当操作者是人的时候，前次的将通过对操作者的影响而对是产生某种影响，尤其当前次的或非常大或非常小的时候，同样在大的投机市场，还有受市场普遍平均收益率影响的可能。蔚蓝兄好，这里的讨论是假定一个赌局的性质已经给定，毛收益率由赌局的性质所确定。至于赌徒能不能实现这个，则是由他的操作水平所定。互相，要看比例和速度的具象，你可以自己设计一系列的赌局，然后分别计算一下各自的最优的比例和，同时也计算非最优的下的，多算几次，然后画个图，就会有直观的领悟。去也，这个比例本就是上个世纪的发明。最早的发明者是美国的工程师小 ，进行系统详细的讨论和发展的有 （这哥哥竟然就这个问题写了三本书，真服了他）、（就是《通向金融王国的自由之路》的作者）等等。国内我所知道的最早谈这个问题的是上个世纪年代的鲁晨光。鲁晨光把这个比例称为熵，据他说是他自己的发明，是对系统老三论之信息论的开山鼻祖 的信息熵的推广。而小 是在贝尔试验室的同事，他也说自己所发明这个比例，正是 的信息熵的推广应用。只不过在时间上，小 提出这一比例的时间要比鲁晨光早将近年。我在这里是想就这一理论做一个系统的整理，如果去也兄觉得有错漏之处，还请赐教补正。接着说第二条黄金准则,先罗朦一下输的净收益率的含义,一个赌局输的净收益率为-n*其含义就是，如果你下的注（也即股票期货中的仓位）为1元，则一旦输，你将输掉rr7t；如果=1.则-山输.你将输掉1心也即把你所下的赌注（,注意‘；是本金）飞输掠.清楚了―『，的含义，再回到.正题.如果：『之1（.也即输的停收益率W—1）,并且1—p>0〔也即发生输的概率不为零），则由式容易得到；/=更一111£<出<P<1 （17）F；几.4/<二1的含义即是所谓的不满仓，或者孤注一掷.所以（口）式的含义就是：黄金准则二：一个赌局，如果所下的贿注有全部输掉的可能,那不管这可能性多幺小，最优的选择是永不孤注一掷或者■永不满仓.重复一遍.准则二要求有两个条件同时成立，第一个条件是-*=-L也即如果输,所下的赌注主部输掉G第J条件是1-P>0,也即第一个条件发生的概率大于零。只有这两个条件同忙成立.满仓才会致命［相反.这两个条件中只要有一个条件不成立，满仓或者孤注一掷，即使可以导致重伤、休克，日一定X会致死.6/N ©Byidlator巴非特不会研究这些东西索罗斯估计要看懂它也够呛总结起来，第一条黄金准则说的只有期望收益率大于零的赌局才值得参与；第二条黄金准则说的是，即使对于那些期望收益率大于零的赌局，也要注意仓位问题：如果赌局输的净收益率并且输的概率大于零，则无论这种概率多么小，最优的选择永远不会满仓。事实上，以上两条准则中的任何一条准则，只要违背的次数足够多，最后的结果一定（概率）是本钱输光或者暴仓。正因如此，所以我把它们称为是投资、投机或者赌博中长期生存所必须遵守的两条黄金准则。只要不违背这两条准则中的任何一条，则无论如何输、赔、亏损累累，但最起码可以保得不死，青山可永在，绿水可长流，他日翻身的希望永远不会消失。，你低估巴菲特了。老巴在沃顿商学院、内布拉斯加大学读的本科，在哥伦比亚大学金融系读的硕士。而今的中国，倘若有人有跟巴菲特同样的学历学位，估计都是眼睛往天上看的主。但是我知道伟大的投机客杰西利沃默是没有研究或看懂它，所以他最后死了。必然的结局。下面一部分将讨论风险，表述会有些罗嗦，现在只能将就这样了。

出于讨论的需要,不妨曲足赌局的助望收行L率为常数.不妨设常数d1E[r)=p-r^.~(I-p)•r=E[r)=p-r^.~(I-p)•r=《境收益率常数圈下5把门5)式胃到的最优投资比例/代入到＜13)经过整理，就可以得到资金最快增氐速度耳，她门93式口我们把葡面用(16)式表示的最优的投蜜比例/和崔金曷快的塔匕速度境收益率常数圈下5现在要引入一个新的概念，输和a(两种情况下的收益率之间的差距，记为a,先回顾一下,我们这里所考虑的赌局中，赢的净收益率为％,输的净收益率为-勺(记住不是记为心上所以：△=匕—〔一7]}二。+『冷。对于该赌局，容易it算其收益率的方差为网口为；如⑺=p(l—十疗=讯1”〕公所以，给定其它条件不变，差项A越大，该赌局的收益率方差也越大，容易理解，它说明该赌局的风险也越大(天实」.4匕方差匕理。)一样，本身就是对赌局风险灼一个足度LA(18)式中,通过简单变换j可以得到工工=(1一pi,△+e TO)■-21)71=p-A-e■-21)由于在这个赌局中〃>0,利用T1)式，工以得到尹以一f>0，也即八由(20)和⑵〉式可以得到：,#,今-[(1-/<j■A- ■A- ；22}{23)%二(—〉)•《十『{23)阡 p-\—e即Ji)疝1即Ji)疝1=2(1- ■A-(2/?-1)■；■2(\—p)-c— —V)s=e>Q意即；差项A越大，％?也越大。由(23)式，通过简单的微分运算可以得到：今—J二——I「v0 (25Jc^A(p『A-意即：差项A超大，上越小e8/N ©&yidlaior

前面说了这幺多，现在终于可以得出结论了。把前面的分析总结起来仃:告3誓'由此可以得也为。r 2/>0，——<0，由此可以得出：—<0和小cA 也机一）父0的意思就他：对于期望枚益率为正的赌局.赌局的风险越大.最优的投资比例理小.■：0的意思就是；对于期更收益率为正的赌局.赌同向风险越大.资金的增长速度越慢.♦宫蔽之，风除将限制每次投入的资金量以及资金的增长速度.也假设期重收益率相同的条件卜，方差小的投资组合要优于方差大的组合，因为方差代表看风险.但是这一假设其中的逻辑是模糊和可以质疑的.匕面的分析则清楚表明,期望收就率相同的条件下,参与方差小的赌局，资金的增氏速度要慢口因此是对Markowit工检设的一个明确的解说口所以在选择要参与的赌局的时候，我门首先有两条标推：第一条标准是决定要不要参：7的问逐，标港是期望收益率大于零？第二条标准是决定要参与哪一个赌局的问题.标准是比粒各个赌局之间的风险大小，在第一条标准满足的条件下,两个期望收益率相差不足够大的赌局中,还是应该选择风险小的那个赌局.g/bl©Bvidlatort上面帖子中的一个笔误，应该是：期望收益率相同的条件下，参与方差大的赌局，资金的增长速度要慢。举个例子例子：假想用期望收益率大于零这一标准筛选出了如下三个可以参与的赌局赢的概率P赢的净收益率q输的概率1-P输的净收益率F期里收益率差项N几十斗赌iA(r-0,6-10,23赌局B0.-0.6-3D.2B赌局C072.S0.3-5.20.48利用公式（16）和CIS）容易il算得到;1J赠同A：最优的投资比例力=10%,资金最快的增反速度g/=。,箝%2）赌局B：最优的投资比例力=1.3E%,资金最快的增长速度且£=0.13%；3）赌同C：最优的投资比例/匚=二F%，资金最快的增长速度=0.跖氏.所以，如求陋工隔的净收益率.则赌局B要匕赌局A更诱人,但安陆，，参I聘局A”「以实现的资金增长速度却要快于参与赌局Bu即使是与赌局C相比，尽管赌局C的期望收益率是赌同A的2倍，但是参与徜局C资金所能实现的最快需长速度伤然小于参台赌局A.其中的原因，就在于参与赌同A,风险最小，所以每次可以下的注的比例最大.所以，赌局C星然有大利，但只能玩小钱，最后也就只能喘小钱；赌局A虽然是小利，但是可以玩大钱,所U赚到的还是大选所谓“薄利箸销？1DZN©Byidlator（）挑战风险是风险在限制每次应该投入的资金量以及资金的增长速度。利润就象一个无尽宝藏，我们之所以每次只能从中获取有限的收益、或者赔上老本，是因为这个宝藏也如同许多神话传说中的宝藏那样，有一个强大凶恶的守护者：风险。但是我们也应该感谢这个守护者，因为如果没有风险的守护，这世界到今天也就不会继续存在未开发的丰厚宝藏。只要能够战胜风险，宝藏就属于我们。正如传奇游戏中的新手只能去砍稻草人、而高手则一心一意要去挑教主，如果我有战胜风险的武功，那我也只会选择参与高风险、高收益的赌局。就我所知的范围，挑战风险并战而胜之的路子有两条，或许可以分别用武功中的内功和招数来比拟。内功摆在一个赌徒眼前的赌局无非三种状态：不确定、风险、确定。不确定状态是指赌徒对这个赌局缺乏了解，既不知赌局会有多少种可能的结果，也不知各种结果所发生的可能性;风险状态是赌徒对这个赌局，虽然不知道赌局最终的结果，但是了解该赌局最终结果的概率分布。确定状态是指赌徒确切知道赌局的最终结果。区分这三种状态的是赌徒对赌局的知识（用专业术语来说就是信息集）：赌徒对赌局一无所知或所知甚少就是不确定状态，有所知是为风险状态，全知是为确定状态。因此，战胜风险的道路之一自然是努力增进对赌局的认知直至达到全面认知的程度。对赌局的认知越多，风险自然越小；如果达到全知的程度，风险也自然不复存在。一个题外的引申是，这个世界之所以有了商人，是因为同一种物产在不同的地区丰欠不一，使得价格高低有异，于是商人可以买东卖西，从中赚取差价。类似的是，对于同一个赌局，不同的赌徒的认知程度不一，也因而他们眼中的风险也大小不一，愿意为承担或摆脱风险而收取或者支付的价格也高低有异，所以风险本身也是无穷无竭、可贩卖赚差价的货物。想想银行、保险公司、交易所这些金融机构、中介是在做哪些生意？而风险无处不在，可做贩卖风险生意的也自然不限于金融业。但无论如何，在这种生意中，赚钱的自然是那些知识多（信息集大）以至于风险于他们而言小的人。所以说，知识产生利润。只不过，这个利润是由无知者所创造、供有知者拿取的。自然，社会公认的风险越高的赌局，社会愿意为此支付的价格也越高，如果你能对此赌局专心研究，从中可博取的差价自然也越大。也所以说，倘你自信有专心研究的志趣和资质，自然应该选择从事高风险的事业。）组合除内功之外，武功中还可以招数的精妙而致胜。挑战风险的道路，除了增进知识之外，同样有可凭招法巧妙而制胜的功夫，这项投资、投机、赌博的功夫叫做组合。正如同金庸笔下精妙绝伦的独孤九剑,投资世界中组合技术同样可以有无穷的变化，高手手中的组合手段，又何尝不是鬼斧神工，其精妙变化，绝对不会输于那传说中的独孤九剑”然我既无金庸先生的生花妙笔，也没有达到独孤求败的境地，却试图要描画出那独孤九剑般的组合手段，是以一时不知从何说起。但至少，我对组合的认知，已远远超越不把所有的鸡蛋放在一个篮子里的程度。这里且先姑妄说之，固然东鳞西爪的，但希望能抛砖引玉，引出一个独孤求败般的人物来。①仓位：最简单的组合先考虑一个经常被举例的赌局：输和赢的概率各为仇5（就好象是抛一个硬币），赢的净收益率为1〔％=］】，输的净收益率为用.311，=0.5八容易看U.这个赌局的期望收益率为：£（r）=05x1-0.5x0.5=0,25所以用期里收益率的标掂来衡量，这是一个值得参与的赌局.利用［13）式,可知该赌局下资金的增［3速度为：g-=0-5xl［i（l+/；+0r5xln（］-{）.5f）利用114）式.容易得到最优的下注比例为：相.向的最快的增任速度为：一=OfxInQ+0.5}+0.5xInCi-0,5xO,5）»5.59%也即每次将50%的资金用1•I：注.按此方法，知聘一次，资金平均增长（丁球-1）如果不相信这一套，而采用其它的下注比例，譬如/取为1（即满仓》或者取为L2（即杠杆交易）,则很容易算得：当『=1时，营=口.意思是上期而言，资金相氏速度为0，结果不好不赚；当了=］二时.E=—0Q64.说明资禽反而越赌越少口以上例子说明n期粗收益率大于事的赌局，并不是随便怎么赌都会赚钱的，不会贿，同样会寸钱.这类例子指出了投贽投机中仓位的重要性.但是，我们的认识如果只停留在仓位这一点」一，还是远远不够的工11/N ©Byidlatai上面例子中的仓位选择，实际上是组合的一种技术。思考一下，最优的投资比例 ，是说每次只将资金的 用于下注。这固然是一个仓位问题，但再思考一下，那另外的资金是什么？是拿在手中的现金。所以 实际上也是一个组合：赌注和现金的组合。在上面的例子中，如果不使用组合技术，也即在参与赌局的时候，不将资金分成现金和赌注两个部分，或者只持有现金，或者全部用于下注，则容易看到，资金最终都将不会出现增长。但是，在把资金变成赌注和现金的组合之后，资金就可以实现增长。值得思考的一个问题是，我们知道，现金不产生任何收益，但是在上面的例子中，为什么把一部分的资金以现金的方式拿在手中，反而能够促使资金总额实现增长？这表面上，似乎是现金导致了资金的增长。是不是有点费解？其中的道理，如果把赌局这个词改成股票或者期货，就容易理解得多（我在前面已经说明，在我这里，赌局与证券、交易系统、投资项目等等概念的内涵是等价的）。因为现金和赌注的组合比例是一个固定的比例，如果股票价格升高，则总资金中投在股票上的金额所占的比例也升高，这时为了保持固定不变，就需要卖出一部分股票以变成现金；如果股价价格下降，则总资金中投在股票上的金额

所占的比例也下降，为了保持固定不变，就拿出一部分现金用于买入股票。所以，这里的赌注和现金就好象两个水池，比例就好像它们之间的一个自动化的水泵，赌注上的资金多了，水泵就自动把资金往现金这个池子里面送；现金上的资金多了，水泵就自动把资金往赌注这个池子里面送。这样送来送去，在不做任何预测的情况下，却自动实现了买低卖高的效果。这正是对重操作、不预测的一个极好的注解。②资金增长速度的超越看完上面的说明，不知道你会不会H然想到，如果,把那个水泵架在网个饰格涨跌不同步的股票或者输赢不同步的贴局之间，那“买低卖高”的皴果会不会更加显著？事实匕对于这个赌局,答案正是如此,在上面的例「中，我们只对••…个单••…的融局考虑最优的投资比例(也就是说我们只考虑了在现金和赌注之间进行配合其所得到的资金最快的增长速度是平均每次增长约6,l%n下面我要改变组合的对象，以使资金的增长速度超越5.1%Q作为超越的第•种尝试，正是要把固定比例这个水泵架在两个输赢不同步的骑局之闰■接.卜面的例子，对于那个赌局，现在让这个赌徒把自己手中的资金一分为二，分别作为赌注押上，但是在押正反面的时候，这两笔赌注彼此是独立的.出第一笔赌注占总资金的比例为负.第二笔赌注占总资金的比例为.也工+工=1口这样范每,局无非如下四种结果:M能的结果发牛的概率资金毛收益率1，两第都押对0.2522.第一笔押对，第一:第押错0.251十…我3.第一第押错，第二笔押对0.25l-o"「工斗幽隼都押错0.250.5“应的增长速度g为：g=0.23ln(2)-0.23In。+工一0.5/1)+0.25lu(l-0上工一力)+0.25ln(0,5)解规划问题Max0.25111(2)+0.25111(1+^-0.5^)+0.25ln(l-0.5^-/2)-0.25ln(0.5)几代 一 一3京/L- =1容易求得躇资的量优分配为：为=力=0.3也即两笔赌注各占总资金的一半a与此相及的g注11.2%.对应的每局资金增K速度为—1三1LB%。因此,通过改变组合的对象，资金的增忆速度比原先最快的速度也1%提高了将近一倍.而江，在原先的仓位选择中，最优的选择是50%的仓位，但是对于同样的赌局，我们现在通过组合技术，将总仓位提高到了100%*达到满仓.12/N ©Byidlatar

顺带的一个问题是，既然固定投资比例这个钳水泵”是通过自动的“买低卖高”来对资金增长进任提速，那如果赌局输赢收益率之何的差距增大，这种提速效果会不会也越显苦？对于•这个同题，还是举例来回答,我在前面定义过一个符号A.读作dehi，它是嬴的收益率。与输的收益率（-，门之差f=O+"），它就是密局输赢收益率之间的差距.现在来考虑这样•一系列揩局：它们的输赢概率均为Of,期学收益率都为0N5i只是输福收益率的取值白差异，也即赌局的△行差异.下面的图描徐了对于这一系列赌局各自分别采用赌注与现金组合、赌注与赌注组合的最快的资金增长速度,以及这两种速度之间的差.上面的图中，横坐标是A,纵坐标是增隹速度公的点是赌注匕现余组合下阵赌局的.易快增长速度（g2）o我在前面己经叶用,贴身的四越大，采用赌注与现金组合下的最快增长速度越小*这一点在上面的图中很明显。蓝色的点是把资金一分为一之后明注」」贴注曲合下的最快增长速度■:gL）.可样.随着赌同的A增大，采用赌注与赌注组合下的最快增长速度也臧小。R是它的减小速度先慢后快，这与赌注万现金组合下先快后慢的减小速度不同.黑色的点是以上两种增长速度之差（9-磔，上面的图中，只是在0.S3<A<1.82时,gl>g2n所以赌注与赌注的组合并不总是优于赌注与现金的组合口不严格地来说।只是当风险为中等水平的时候，赌注与赌注的组合才优于赌注与现金的组合，而当风险很小或很大，赌注与现金的组合则要优于赌注与赌注的组合.13/N ©Byidlator

③一个重要的噌长极限如上所示，对r同•一赌局r我们遹过改变正音的对象，就把资金的最快增怅速度从si%提高到了11.8%.—了第,次超越，通过继埃改变组畲的刈.熟，很白然的，11名如的增长速度同样U设被溜题.记作，目前我们也通过典变纲介的对象来察现送神超越。接卜来，我将展示匕•种起侬的途他这种途径不足去改变组心的对象，而是通过增加同•种组合对象的数；3罪续以时「贴局A为例.我们现生仁资金等分成——一分别加立下注『容易订算得到，此法卜的ge牯3为1相⑼的资金司长速度运到济㈤-1x1包4%.于是资金的增长速度乂得到超越.—金等分成4份、5份、」份一■”结果£加轲？自兴趣的「」以试算卜.将会那]以.今警分的份数越宅，资金的增长速度题快，那么,把资金等分成七行等侪『资金的增长速度是否在趋I”.穷丁,「不是的，按这种争分的方法,资金的增氏速度会考••个极限。对r上电的好局，但设把资金做N等分,如:各：倒■:上随机卜注,则陆岛的君兄沌仃wI和口|也N汴个]14.押对N-1注,押对N-2注一…….N泞全押错.记】第।呼贫佥的败血.率为4-总贯金校益奉为「，耻：II 1I5r-T"八4"---4-fv——'J；N1N-Nn川'易A.r服从J!小办”i一■的微学।I!为/：'（「）.L差为"收八一仃：上⑺=，£：/「（E=E（川=必5N-=| 1- ,上/iI十x...,七11r.. 、0.5625j仃什）=ZJg[「；）=_!时y\=——,\■ ,_| 母 jVHWt行时r也即把资金做无出终分），山中心极限定理.可知尸所服从的祇率分布地向丁-服从期,阻为。.25、万弊为一 的E态分布，而II.,同时该分布的仃好趋向>零,即：N「•力（r'Ih口】ra/'ir）=lim -=GA-i-Ko .v->j-kn也即，当“TT.时,「所日阴、的噩率分布招退化成一个点，这个点就是丁的数学期I,—读好局的感咽收靛率,为0N5.他因此郁lim,i;=IUi〕/nfI-r>]=ln[lI/iri]帛T-KQ■对■的增长速度的搬限为/""""-I=E（n^02>因此，贯金等分投贽法卜覆金增It速度所能达到的根眼就是贴局的期里收益率本身。这是•不错的结论。这个结论就是所谓的分做投金极隈定理工自然，侬据分散表落极限定理.对卜卜.血冏所描绘的那•系列赌局，无论它扪各自输晶收益率如何，因为其期见收益率都是0O所以好分投资立下资金增长速度的恨限都为口金九所以及力定理再一次强因「即机收益率I：氏要性。1§/N ©Byidlatnr超越极限但是就上面所讨论的这个赌局而言，其可挖掘的赢利潜力，或者可实现的资金增长速度，还可以继续突破平均每次增长 这个速度。或许有人要问：既然上面已经说明，在这个赌

局下 的增长速度已经是一个极限，怎么还可以被突破？这里需要特别说明：以上的极限是对等分投资法而言的。要突破这个极限，自然需要利用组合技术来构造新的投资方法。突破极限的方法千变万化，其中有这样一条原理：组合所运用的资产种类越多，理论上资金增长所能达到的最快速度至少不会越慢（注意是最快的速度、而不是任意组合下的增长速度）。这在数学上是很自然的：组合所运用的资产种类数（记为）加上资金的增长速度一起定义了一个维空间，在维空间上，资金增长所能达到的最快速度当然不会低于资金在维空间上的能达到的最快速度。不严格地来说，这条原理可以理解为：要对资金的增长进行提速，可以通过增加组合所运用的资产种类数的方法来实现。当然组合资产的种类增加，各资产在组合中的最优比例也会发生变化、而且经常是不成比例变化。至于具体比例的确定，仍然是求解（）式。可以理解，以上原理并不考虑一个人管理组合的能力。虽然依照原理，运用资产的种类越多，资金的最快增长速度越快，但是实际运用中，随着组合所运用的资产种类的增加，组合的管理难度呈几何级数增大。所以，实际操作中，个人管理组合的能力将构成组合复杂程度的上限。不过这条原理并不是重点。在此之前举例中所使用的组合技术都不涉及相关性。下面则要将相关性引入到组合技术中，以创造奇迹。回顾一下我们所考虑的赌局：猜硬币的正反面，输和赢的概率各为，赢的净收益率为1输的净收益率为。假设可以用于构建组合的材料只有这么一个赌局，你能构造出更好的赌法吗？事实上，对于这样的一个赌局，可以作荷兰赌：把资金等分成两份，一份押正面，一份押反面。通过两边下注，最后的结果将只有一种：一份赌注输，另一份赌注赢。这种赌法下，每赌一局，收益率以 的概率为XX 。应该理解，这种赌法实际上是一个多空套利组合，该组合以 的概率可以获得 的收益率。对于稳赚不赔的赌局，想都不用想，最优的投资比例应该是无穷大。相应地，也将是无穷大。这意味着，通过采用这种荷兰赌，赌徒可以彻底消除风险，使得赌徒的最优选择应该是无限借款来参与该赌局。理论上，资金的增长速度可以达到无穷大，实际操作中，对资金增长速度的唯一限制是赌徒的借款能力。这样，对于同一个赌局，通过组合技术，资金的增长速度已经从提高到 ，从又提高到 ，再从提高到，最后干脆提高到了无穷大。风险被彻底打倒。可以注意到，在荷兰赌下，赌局的输赢概率失去了作用。由此，我们又可以实现一个突破：利用荷兰赌法，我们可以参与一些期望收益率为负的赌局，并且仍然可以实现无穷大的资金增长速度。考虑这样一个赌局：赌局有输和赢两种结果，赢的概率为 ，净收益率为1输的概率为 ,净收益率为 。易得该赌局的期望收益率为：XX（ ） 。对该赌局可以作相同的荷兰赌，不论每局的最后结果是什么，赌徒依旧可以确定地获得XX 的收益率。既然收益率可以确定地为正，那理论上的资金增长率自然是无穷大。于是似乎产生了一个矛盾:我在前面一再强调，期望收益率为负的赌局是不值得参与的，并且把这一点当做黄金准则来提出，但是现在我又表明同样可以从一个期望收益率为负的赌局中实现无穷大的资金增长速度。是那条黄金准则错了吗？黄金准则没有错，这其中的关键在于我所采用的赌法。这里的荷兰赌，是利用完全的负相关性构造了一个套利组合，从而在本质上改变了赌局的性质：使得一个期望收益率为负的赌局变成一个收益率为正的赌局。创造这一奇迹的是相关性。或许可以这样来进行比喻：不涉及相关性的组合仅能使赌局的风险发生物理变化，但是相关性则可以使赌局的风险发生化学变化，也即风险本质的变化。或许在不少人的认识中，相关性是组合技术中的障碍。如果一个人对组合的认识仅止于分散风险，那相关性确实是个障碍：它经常会破坏了分散的效果，而且增加了计算的难度。从分散风险的用意出发，相关性通常是要竭力避免的。例如现在的理财专家几乎会建议实施资产配置（l其用意就是要规避构成组合的各类资产之间的相关性，以提高分散风险的效果。但一味抱着分散风险的念头去搞组合，未免太保守了。把相关性视为障碍而予以丢弃，实在有些浪费。搞套利（）、搞对冲（），相关性是必用的工具。事实上，相关性、尤其是完美的相关性，方具有点石成金、创造奇迹的魔力。顺带，我们可能会关心，对于什么样的赌局可以采用荷兰赌？⑤爱氏定律ddUror,^La^v)设一个赌局的结果有N组，每一组又各有M种结果，记发生第i组第j种结果时的收益率为小则有如卜定律：爱氏定葬：上杲对于任意第/蛆结果.都有汇％.>o,则赌徒可以实施荷兰解.定律的证明非常容易；赌徒将资金M等分，对每一种结果下注，则每赌一局，赌徒的收益率为卷工;『行所乩如果时于任意［都有>0，蛔赌徒就1以檎解.这个定律似乎简单得都不值得作太方的说明，但要运用起来却不一定就容易「难点在于如何去辨明、乃全塑造赠局的结果口-时潍以解说育楚，还是举例说明，有心的人H」去伟会。这个例子要比前面的例子稍微复杂一点’还是赌硬而的正反面,硬币出正反面的概率各为50%,但在输赢的收益率上与前面的例子不同，例如赌正面是嬴4输1,赭反而是羸2输3。意思就是说,赌正面，如果赌对，则净收益率为400%,如果赌错，则挣收益率为-10徽；赌反加，如果赌对，则净收益率为200%,如果赌铅,则净收益率为-300%.对于这样一个赌局，一直赌正面，期里收益率为150%,一直赌反面，期望收益率为4。%,你会不会选择一直赌正面?用的面的方法也以很容易计算得到一直赌正面的最优下'注比例是3Wk最快的资金增长速度是11512%.这己经是很不律的增长速度,但是依据以氏定律这个赌局侬旧可以实施荷；萧：把资金一分为二，正反面各押一份.赌局每一局的结果无非是以下两组结果之一；1｝硬币出正面，f贵金赢400%,另一份输300%,总资金收益率为亚5X(4-3)=50%；二硬币出反面1一份资金输10。%，另,一份嬴:00%，总资金收益率为03乂>1)=50%.由于可以稳赚，所以荷兰赌法要比一直赌正面优越，这个例子有意思的是，显俄单独购反面是一个很糟糕的选择，但是要制造荷兰赌，却必须有它.这就是相关性的魔力.因为此前尚未见过别人提出近此一定律r所以命名为爱氏定律.所谓爱者，1也,既是“我”的意思,也是词联5的缩写，爱氏定律就是我间洲5发现的一个定律口当然，如果一个赌徒有幸能够发现或者制造了一个>o的赌局，则无异于有了一槐摇钱树，伸伸手就匚"j=Iy哗哗地掉钱,自然要“爱死】爱得要死！不过，这个夏氏定律只是给出了荷兰赌的充分条件.如果进一步，应该可以得到一个充要条件U有兴趣的可以日已去推演U15ZN②Byidlator更宽阔的视野荷兰赌的结果是赚，这是最好的结果。稍微次一点的结果是不赔，同时赚的概率，即期权。期权并不仅仅是在交易所交易的期权的合约。现实生活中期权大量存在，而且即使它原本不存在，但也可以运用组合技术来制造。制造看涨期权的最经典的配方是用债券和股票来制造。当然，这里所指的债券和股票并不完全等同于在交易所交易的债券和股票，这里的债券是指所有可以稳定获取收益的资产，例如持有期与到期期限匹配的国债、银行存款等等;这里的股票是指所有收益不确定的资产，例如交易所交易的股票、持有期限与到期期限不匹配的债券、投资基金、风险投资项目等等。经典的看涨期权制造工序如组合保险策略。简单地说就是构造一个债券和股票的组合，用债券上的稳定收益来保本，用剩余的资金来投资高风险的股票，来博取风险收益。现在运

用组合保险策略的基金越来越多，例如现在正在发行中的天同保本增值基金。自然，这种期权制造方法并不是基金公司的专利，而是任何人均可使用的方法。并且，期权也不仅仅是一种静态的证券或者证券组合，它也可以是动态的交易策略。譬如论坛上经常提到的金字塔式加仓规则，也可以用构造看涨期权的方法来构建。举个简单的例子：有万的现金，先将这笔钱存银行，假设存款年利率为，则一年后可以收到万元的利息。收到利息之后，比方说看多铜期货，则可以买入手铜合约。如果铜价下跌使得保证金不足，则减仓；如果铜价上涨，使得账户上的闲置保证金足以买进另一手铜合约，则将仓位提高到手。要言之，把加仓减仓所用的资金或保证金建立在原先头寸的盈利亏损之上。当然这是一个很粗糙的例子，具体的加仓选择应该结合实际的交易系统来考虑。自然，适用荷兰赌的赌局也同样可以制造。在金融工程师眼，任何的赌局、证券、投资项目、投资组合、商业合约、乃至投资策略等等，都无非是一组现金流在时间和空间上的分布，因此性质都是等价的。这组现金流在时间上、空间上既可无限拆分、也可无限组合，现金流在时间和空间上的分布结构也可无限改变