新高考数学必会基础复习讲义 考点44 双曲线（学生版）

考点44双曲线知识理解知识理解一．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．二.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.三．双曲线的几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：x轴，y轴对称中心：(0,0)对称轴：x轴，y轴对称中心：(0,0)顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)四．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．例：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．考向分析考向一双曲线的定义考向分析【例1-1】(2021·浙江省德清县第三中学)已知双曲线的左､右焦点分别为､，若点在的右支上，且，则()A．3 B．5 C． D．【例1-2】．(2020·河北张家口市)已知，动点P满足，当分别为4和12时，点P的轨迹分别为()A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线【例1-3】．(2021·全国课时练习)已知F1，F2分别为双曲线C：的左､右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|等于________.【方法总结】【方法总结】双曲线定义(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．【举一反三】1．(2021·上海普陀区)设P是双曲线上的点，若，是双曲线的两个焦点，则()A．4 B．5 C．8 D．102．(2021·上海市)已知两点和，动点满足，则动点的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线 C．一条射线 D．双曲线的右支3．(2021·浙江省宁海中学高三月考)在平面直角坐标系中，，，()，若点的轨迹为双曲线，则的取值范围是()A． B． C． D．4．(2021·全国高三专题练习)已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为____________考向二双曲线的标准方程【例2-1】(2021·福建龙岩市)“”是“方程表示双曲线”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例2-2】．(2021·全国课时练习)过点(1,1)，且的双曲线的标准方程是()A． B．C． D．或【举一反三】1．(2021·海原县第一中学)根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)焦点在轴上，离心率，求双曲线的标准方程；(2)，，焦点在轴上，求双曲线的标准方程．2．(2021·浙江)已知曲线，()A．若E表示双曲线，则 B．若，则E表示双曲线C．若E表示椭圆，则 D．若且，则E表示椭圆3．(2021·江苏南通市)命题“”是命题“曲线表示双曲线”的()A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件考向三直线与曲线的位置关系【例3】(2021·全国课时练习)若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，求实数k的取值范围．【举一反三】1．(2021·徐汇区·上海中学)已知直线与双曲线，则为何值时，直线与双曲线有一个公共点？2．(2021·江苏南通市)直线与双曲线有且只有一个公共点，则的取值有()个A． B． C． D．3．(2021·陕西宝鸡市)如果直线与双曲线只有一个交点，则符合条件的直线有()A．1条 B．2条 C．3条 D．4条考向四弦长【例4】(2020·全国高三专题练习)直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为()A． B． C． D．【举一反三】1．(2020·辽宁朝阳市·高三月考)直线与双曲线有两个交点为，，则()A．2 B． C．4 D．2．(2021·全国高三专题练习)过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝()A．2 B．2C．3 D．4考向五离心率与渐近线【例5】(2021·浙江湖州市)双曲线的离心率是_______，渐近线方程是_______．(两条都写出)【举一反三】1．(2021·浙江杭州市·学军中学)双曲线的渐近线方程是___________；离心率为___________.2．(2021·湖北高三一模)已知分别是双曲线的左､右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率为___________.3．(2020·河北张家口市)已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，则双曲线的离心率为_____________.强化练习强化练习1．(2021·甘肃高三一模(文))设，是双曲线的左、右焦点，一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且，则的面积等于()A． B． C． D．2．(2021·甘肃兰州市·高三其他模拟(文))点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的一条渐进方程是()A． B． C． D．3．(2021·云南高三其他模拟(理))设双曲线：的左､右焦点分别为，，若为右支上的一点，且，则()A． B． C．2 D．4．(2021·江西赣州市·高三期末(理))已知双曲线的离心率为，则实数的值为()A．1 B． C． D．1或5．(2021·定远县育才学校)已知方程的图像是双曲线，那么k的取值范围是()A． B． C．或 D．6．(2021·陕西省黄陵县中学)若方程表示双曲线，则的取值范围是()A．或 B．C．或 D．7．(2021·全国单元测试)焦距为10，且的双曲线的标准方程为()A． B．C． D．或8．(2021·江西上)已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和顶点，则双曲线的方程为()A． B．C． D．9．(2021·安徽)已知双曲线：经过点，则的渐近线方程为()A． B．C． D．10．(2021·安徽淮南市)已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是()A． B． C． D．11．(2021·宁夏银川市·银川一中)已知两定点，曲线上的点P到的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为()A． B． C． D．12．(2021·全国高三月考(理))已知双曲线的一个顶点坐标为，且该双曲线的离心率是，则()A． B． C． D．13．(2021·全国高三月考(文))若双曲线的离心率等于，则该双曲线的渐近线方程为()A． B．C． D．14．(2021·浙江高三其他模拟)已知双曲线的焦距为10，则双曲线的渐近线方程为()A． B． C． D．15．(2021·湖北黄石市·黄石二中)已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是()A． B． C． D．16．(2020·全国高三专题练习)过点与双曲线只有一个公共点的直线有()条．A．1 B．2 C．3 D．417．(多选)(2020·江苏)关于、的方程(其中)对应的曲线可能是()A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线18．(多选)(2021·广东东莞市)已知曲线，则下列选项正确的是()A．，曲线表示椭圆B．，曲线表示椭圆C．，曲线表示双曲线D．，曲线表示双曲线19．(多选)(2021·福建漳州市·龙海二中高三月考)已知直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率可能为()A． B． C． D．20．(多选)(2020·武冈市第二中学)已知直线过点，且与双曲线仅有一个公共点，则直线的方程可能为()A． B．C． D．21．(2021·全国高三专题练习)已知双曲线的离心率为，则()A．的焦点在轴上 B．的虚轴长为2C．直线与相交的弦长为1 D．的渐近线方程为22．(2021·广西玉林市)已知双曲线的左､右焦点分别是，，点关于，对称的点分别是，，线段的中点在双曲线的右支上，则___________.23．(2021·赣州市赣县第三中学)若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围___________.24．(2021·湖北高三月考)写出一个渐近线的倾斜角为且焦点在y轴上的双曲线标准方程___________.25．(2020·北京人大附中高三月考)若直线l：与双曲线C：有两个公共点，则实数的取值范围是__________．26．(2021·全国课时练习)求双曲线被直线截得的弦长______________．27．(2021·河南新乡市)过双曲线：的右焦点作圆：的切线，此切线与的右支交于，两点，则___________.28．(2020·全国课时练习)已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长________.29．(2020·全国高三专题练习)过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线l与双曲线的交点为A、B，则|AB|＝_____.30．(2020·江苏宿迁市·宿迁中学高三期中)倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则_________.31．(2021·北京海淀区·高三期末)已知双曲线的左右焦点分别为，，点，则双曲线的渐近线方程为__________；__________.32．(2021·全国课时练习)已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)