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第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat26页专题08一元函数的导数及其应用(利用导数研究函数零点(方程的根)问题)(全题型压轴题)利用导数研究函数零点(方程的根)问题①判断零点(根)的个数②已知零点(根)的个数求参数③已知零点(根)的个数求代数式的值①判断零点(根)的个数1.(2022·福建·厦门一中高二期中)已知函数,则函数的零点个数为(
)A.1 B.0 C.3 D.2【答案】D当时,,得,即,成立,当时,,得,设,,,得或(舍),当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,所以时,函数取得最大值,,,,根据零点存在性定理可知,,存在1个零点,综上可知,函数有2个零点.故选:D2.(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模(理))函数在定义域内的零点个数不可能是(
)A.3 B.2 C.1 D.0【答案】D,若,则,有两个零点,若,由得或,若,在或时,,时,,所以在和上递增,在上递减,极小值,极大值,,在上有一个零点,时,,在上只有一个零点,这样共有2个零点;时,,在上无零点,这样共有1个零点;时,,时,,因此,所以在和上各有一个零点,共有3个零点.由此不需要再研究的情形即可知只有D不可能出现,故选:D.3.(2022·全国·高二课时练习)已知定义域为的函数的导函数为,且,若,则函数的零点个数为(
)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B因为,所以,则,所以,即,因为,所以,解得,所以,则,所以,当或时,,当时,,所以当时,函数取得极大值,当时,函数取得极小值,又当时,,所以函数的零点个数为1,故选:B4.(2022·广西·钦州一中高二期中(理))函数的零点个数为(
)A. B.或 C.或 D.或或【答案】A因为函数,所以,因为,所以,从而在R上单调递增,又当时,,当时,,由零点存在定理得:函数有且只有一个零点.故选:A.5.(2022·全国·高二课时练习)方程解的个数为(
)A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C设,所以,当时,函数单调递增,当时,函数单调递减.所以,当时,,当时,.因为,所以方程解的个数为1.故选:C6.(2022·全国·高三专题练习(理))若函数有极值点,且,则关于x的方程的不同实根个数是(
)A.2 B.3 C.3或4 D.3或4或5【答案】B函数有极值点,则,且是方程的两个根,不妨设,由可得或,易得当时,,单调递增,当时,,单调递减,又,则可画出的大致图象如下:如图所示,满足或有3个交点,即关于x的方程的不同实根有3个.故选:B.7.(2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末(文))已知函数.(1)当时,证明:函数的图象恒在函数的图象的下方;(2)讨论方程的根的个数.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【解析】(1)设,其中,则,在区间上,单调递减,又∵,即时,,∴,∴在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方.(2)由得,即,令,则,令,得,当时,,单调递增,当时,,单调递减,∴在处取得最小值,∴,又∵当时,,当时,,有零点存在性定理可知函数有唯一的零点,∴的大致图象如图所示,∴当时,方程的根的个数为0;当或时,方程的根的个数为1;当时,方程的根的个数为2.8.(2022·云南·曲靖一中高二期中)已知函数.(1)当时,求函数的图象在点处的切线的方程.(2)已知,讨论函数的图象与直线的公共点的个数.【答案】(1);(2)答案不唯一,具体见解析.(1)当时,,,.,切点为.所以,所求的切线的方程为,即.(2)时,函数的图象就是轴正半轴,与直线有且只有一个公共点.时,联立与消去得.设,则.当时,,在上递增,,,因此有一个零点.当时,令得,当时,时,则在上递减,在上递增,.当时,时.设,则,,,时,时,在上递增、在上递减,.所以,时;时,;时,.综上可知,或时,公共点的个数1;时,公共点的个数2;时,公共点的个数0.②已知零点(根)的个数求参数1.(2022·浙江·镇海中学模拟预测)已知函数,设关于的方程有个不同的实数解,则的所有可能的值为(
)A.3 B.4 C.2或3或4或5 D.2或3或4或5或6【答案】A根据题意作出函数的图象:,当,函数单调递增,当时,函数单调递减,所以;函数,时单调递减,所以,对于方程,令,则,所以,即方程必有两个不同的实数根,且,当时,,3个交点;当时,,也是3个交点;故选:A.2.(2022·河南·高二阶段练习(文))若函数有三个零点,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】C因为函数有三个零点,所以关于x的方程有三个根.令,则.所以当时,有,单调递增;当时,有,单调递减;当时,有,单调递增.因为,,所以要使方程有三个根,只需.即实数的取值范围是.故选:C3.(2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测)已知,函,若函数有三个不同的零点,为自然对数的底数,则的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】B当时,,即,故,令,则,令,得,当时,,当时,,作出函数的图象如图所示:由图象知:当时,方程有两不等实根,当时,方程有一个实根;令,显然,所以,令,则在上恒成立,则在上递增,且,作出函数的图象如图所示:由图象知:当时,方程在恰有一个实根,即此时有三个不同的零点,综上,的取值范围是.故选:B4.(2022·江西·模拟预测(理))已知函数)有三个零点,则实数a的取值范围是(
)A.(0,) B.(0,) C.(0,1) D.(0,e)【答案】A令,所以或,令,则,令,则,当时,,h(x)在(-∞,0)上单调递增;当时,,h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以,即,所以g(x)在R上单调递减,又,g(0)=,所以存在使得,所以方程有两个异于的实数根,则,令,则,当时,,k(x)在(-∞,1)上单调递增;当时,,k(x)在(1,+∞)上单调递减,且.所以,所以与的部分图象大致如图所示,由图知,故选:A.5.(2022·四川省绵阳南山中学高二期中(文))方程有两个不相等实根,则a的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】C方程有两个不相等实根有两个不同的交点,令,所以,则,所以,所以与的图象有两个交点.①当时,如下图可知与的图象有一个交点,不满足.②当时,如下图,当与相切于点,所以,则,解得:,所以要使与的图象有两个交点,所以a的取值范围是:.故选:C.6.(2022·河南南阳·高二期中(理))若关于x的方程在区间内恰有两个相异的实根,则实数m的取值范围为(
)A. B. C. D.【答案】D依题意关于x的方程在区间内恰有两个相异的实根,,构造函数,,所以在区间递减;在区间递增.,,,所以.故选:D7.(2022·辽宁·东北育才学校高二期中)方程有三个相异实根,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】B记,则.令,解得:或.列表得:x-31+0-0+单增单减单增要使方程有三个相异实根,只需:,解得:.故选:B8.(2022·福建·清流县第一中学高二阶段练习)若函数,当方程有2个解时,则的取值范围(
)A. B.或C. D.且【答案】C由函数,得,当时,,递减,当时,,递增,故,且当时,,故大致图象如图示:故当方程有2个解时,则的取值范围为,故选:C9.(2022·北京八十中高二期中)已知方程有三个实数解,则实数的取值范围是_______.【答案】解:因为方程有三个实数解,所以,方程有三个实数解,故令,则,所以,当时,,单调递增;当或时,,单调递减;所以,当时,取得极小值,当时,取得极大值,当趋近于时,趋近于,趋近于时,趋近于,所以,的大致图象如图,所以,实数的取值范围是.故答案为:10.(2022·全国·高二)设函数,若关于的方程在上恰好有两个相异的实数根,则实数a的取值范围为___________.【答案】由题意,方程在上恰好有两个相异的实数根,设,则的图象与在上恰好有两个不同的交点.∵,∴函数在上单调递减,在上单调递增.又,得.∴需使,即.故所求实数的取值范围是.故答案为:11.(2022·河南·高二期中(理))若函数不存在零点,则实数a的取值范围是______.【答案】解:因为函数不存在零点,所以方程无实数根,所以方程无实数根,即方程无实数根,故令,令,故恒成立,所以,在上单调递减,由于,所以,当时,,即,当时,,即,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以,所以,当方程无实数根时,即可.所以,实数a的取值范围是故答案为:12.(2022·全国·高三专题练习)若函数没有零点,则整数a的最大值为:_________.【答案】1解:由题意,当时,,所以要使函数没有零点,只需在上恒成立,令,则,令,得,当时,,当时,,所以当时,取得极小值,所以,所以,令,且上面不等式取等时,记其零点为,当时,,显然不合题意,综上:,故整数a的最大值为1.故答案为:113.(2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习(理))已知函数在处的切线与轴平行.(1)求的值;(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点,求的取值范围.【答案】(1)(2)(1)解:因为,所以,在处的切线与轴平行,,解得.(2)解:令,则原题意等价于图象与轴有三个交点,由,解得或;由,解得.在时取得极大值;在时取得极小值.故,.14.(2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中)已知函数.(1)若在处取得极值,求在区间上的值域;(2)若函数有1个零点,求a的取值范围.【答案】(1)(2)(1)因为在处取得极值所以,得则时,,在区间上单调递增,所以所以在区间上的值域为(2)的定义域为函数有一个零点有一个实数根与有一个交点.当时,由图可知满足题意;当时,在上无零点;当时,令,得令,得所以,当时,有最大值因为函数有一个零点,所以,解得综上,a的取值范围为.15.(2022·北京·人大附中高二期中)已知函数.(1)求函数的单调区间和极值;(2)若方程有三个不同的实数根,求实数a的取值范围.【答案】(1)函数的增区间是和,减区间是,极大值为,极小值为;(2)(1)由题意,得或,列表如下:3+00+递增极大值递减极小值递增所以函数的增区间是和,减区间是,极大值为,极小值为;(2)作出函数图象,如图,直线与函数的图象有三个交点时,.16.(2022·安徽·合肥市第九中学高二期中)当时,函数()有极值,(1)求函数的解析式;(2)若关于的方程有3个解,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(1),由题意得:,解得:,经验证,函数在处有极值,故解析式为:.(2)令,由得:令得,,∴当时,,当时,,当时,,因此,当时,有极大值,当时,有极小值,关于的方程有3个解,等价于函数有三个零点,所以.故实数的取值范围是③已知零点(根)的个数求代数式的值1.(2022·陕西·模拟预测(理))已知函数,若函数有三个不同的零点,,且,则的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】C函数的图象如下图所示:令,因为函数有三个不同的零点,所以,因为二次函数的对称轴为,所以有,显然是方程的两个不相等的实数根,因此有,是方程的根,即,所以,于是有,设,设,当时,单调递增,所以有,即单调递减,所以当时,,故选:C2.(2022·陕西·西安中学二模(理))已知函数,若方程有三个不等根,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】C当时,,,所以是减函数,作出函数的图象,如图所示:因为方程有三个不等根,所以,设,则,所以,即,即,所以,又因为,所以的取值范围是,故选:C3.(2022·河北·模拟预测)已知实数,满足,,则(
)A. B. C. D.【答案】C解:由条件得,,令,,则,由条件,则,令,,则,显然当时,,在上单调递增.故由,可得,.故选:C.4.(2022·浙江·镇海中学高三期末)已知函数若存在互不相等的实数,使得,则的取值范围为(
)A. B. C. D.【答案】A当时,,或,或舍去,当时,单调递减,当时,单调递增,此时函数有最大值,最大值为,当时,,函数的图象如下图所示:因为存在互不相等的实数,使得,说明函数与函数的图象有四个不同的交点,所以由数形结合思想可知:不妨设,即,,因为,所以,由,因为,所以,故选:A5.(2022·全国·高三专题练习)已知函数,若方程有三个不同的实数根,,,且,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】B方程,显然不为该方程的实数根.设所以方程有三个不同的实数根,,,即有三个不同的实数根,,当时,,则由,可得,,可得,所以在上单调递增,在上单调递减,且当时,当时,从而作出的大致图像.由图可知当时,直线与函数的图像有3个交点,即方程有三个不同的实数根.由,得,由,得所以所以.故选:.6.(2022·湖南·高三阶段练习)已知函数,,,且当时,与的图象有且只有一个交点,则的取值范围为______.【答案】因为当时,与的图象有且只有一个交点,所以关于x的方程在区间上有且只有一个解,分离参数得,令,,则,所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以,故.
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