2022年湖南省郴州市资兴矿业集团第一中学高三数学理期末试题含解析VIP

2022年湖南省郴州市资兴矿业集团第一中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={x|x﹣1＜0}，B={x∈N|x＜4}，则（?RA）∩B=（）A．{0} B．{1，2，3} C．{1} D．{1，2}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此求出CRA，从而能求出（?RA）∩B．【解答】解：∵集合A={x|x﹣1＜0}={x|x＜1}，B={x∈N|x＜4}={0，1，2，3}，∴CRA={x|x≥1}，（?RA）∩B={1，2，3}．故选：B．【点评】本题考查交集、补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、补集定义的合理运用．2.己知i是虚数单位，则等于A．－1+i

B．－1－i

C．1+i

D．1－i参考答案：D3.已知向量，则下列结论正确的是A.

B.∥

C.

D.参考答案：D4.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、葵等十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支．如：公元1984年农历为甲子年、公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年．则公元2047年农历为（

）A．乙丑年

B．丙寅年

C.丁卯年

D．戊辰年参考答案：C记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年.故选C.

5.已知函数f（x）=ln（x+a）﹣sinx．给出下列命题：①当a=0时，?x∈（0，e），都有f（x）＜0；②当a≥e时，?x∈（0，+∞），都有f（x）＞0；③当a=1时，?x0∈（2，+∞），使得f（x0）=0．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】全称命题；特称命题．【分析】根据函数值得特点，逐一判断即可．【解答】解：对于①当a=0时，f（x）=lnx﹣sinx，当x=时，f（）=ln﹣sin＞ln﹣=0，故不正确，对于②a≥e时，?x∈（0，+∞），ln（x+a）＞lne=1，﹣1≤sinx≤1，则f（x）＞0恒成立，故正确，对于③当a=1时，f（x）=ln（x+1）﹣sinx，当x＞2时，x+1＞3，故ln（x+1）＞1，故f（x）＞0恒成立，故不正确，故选：B6.已知双曲线x2﹣y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x2﹣x1的最小值为（）A． B．2 C．4 D．参考答案：A【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．【分析】根据直线和圆相切，建立m，k的关系，联立直线和双曲线，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵l与圆相切，∴原点到直线的距离d=，∴m2=1+k2．由，得（1﹣k2）x2﹣2mkx﹣（m2+1）=0，∵直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支交于两点，∴∴k2＜1，∴﹣1＜k＜1，故k的取值范围为（﹣1，1）．由于x1+x2=，∴x2﹣x1===，∵0≤k2＜1，∴当k2=0时，x2﹣x1取最小值2．故选：A7.已知数列{an}满足：，，则下列关于{an}的判断正确的是（

)A.使得B.使得C.总有D.总有参考答案：D【分析】由题意结合均值不等式的结论、数列的单调性、函数的单调性和特殊数列的性质确定题中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A，由于，故恒成立，则，故不存在的项，选项A说法错误；对于选项B，由于，结合选项A可知，故，即，选项B说法错误；对于选项C，构造函数，则，则函数在区间上单调递增，则不存在满足，选项C说法错误；对于选项D，令，则，此时数列为常数列，故总有，选项D说法正确.故选：D.【点睛】本题主要考查数列的单调性，数列中的最值问题，递推关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，为的中点，沿将正方形折起，使重合于点，在构成的四面体中，下列结论中错误的是（

）A．平面B．直线与平面所成角的正切值为C.四面体的外接球表面积为D．异面直线和所成角为参考答案：D9.函数图象的一条对称轴方程是（）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A解析：由，可知是其图象的一条对称轴。

10.设函数f(x)=则f的值为（

）A.18

B.

C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若，则实数等于

。参考答案：212.已知实数满足，则目标函数的最大值为__________．参考答案：513.设，其中满足约束条件，若的最小值，则k的值为___

参考答案：1略14.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是

.参考答案：【解析】依题意，；答案：15.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，

F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为_________参考答案：略16.已知函数在上存在反函数，且函数的图象过点，那么的反函数的图象一定经过点_____

．参考答案：答案：

17.（5分）已知x，y满足条件若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（2，0）处取得最大值，则a的取值范围是．参考答案：（，+∞）【考点】：简单线性规划的应用．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．解：作出不等式对应的平面区域，由z=ax+y得y=﹣ax+z，∵a＞0，∴此时目标函数的斜率k=﹣a＜0，要使目标函数z=ax+y仅在点A（2，0）处取得最大值，则此时﹣a≤kAB=﹣，即a＞，故答案为：（，+∞）【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知函数在区间

上的

最大值为2.（1）求常数的值；（2）在中，角,,所对的边是,,，若，，

面积为.

求边长.参考答案：（1）

∵

∴

∵函数在区间

上是增函数，在区间

上是减函数

∴当即时，函数在区间上取到最大值.

此时，得

略19.已知函数。（1）求的值；（2）设的值.参考答案：【知识点】三角函数的求值、化简与证明C7【答案解析】（1）（2）（1）把x=代入函数解析式得：f（）=2sin（×-）=2sin=；

（2）由f（3α+）=，f（3β+2π）=，代入得：2sin[（3α+）-]=2sinα=，2sin[（3β+2π）-]=2sin（β+）=2cosβ=sinα=，cosβ=，又α，β∈[0，]，

所以cosα=，sinβ=，则cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=．【思路点拨】（1）把x=代入函数f（x）的解析式中，化简后利用特殊角的三角函数值即可求出对应的函数值；

（2）分别把x=3α+和x=3β+2π代入f（x）的解析式中，化简后利用诱导公式即可求出sinα和cosβ的值，然后根据α和β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα和sinβ的值，然后把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．20.（13分）已知数列的前项和为，,（，）.且，，成等差数列.（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求数列的通项公式参考答案：解析：（Ⅰ）∵（），∴（）.

………1分∵，，成等差数列，∴.

…………3分∴.

………5分∴.

………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得（）.∴数列为首项是，公差为1的等差数列.

………8分∴.∴.

……10分当时，.

………12分当时，上式也成立.

……13分∴（）.21.（本小题满分13分）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进

行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，切曲线于点P，设．(I)将（O为坐标原点）的面积S表示成f的函数S(t)；(II)若，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值．参考答案：（Ⅰ），直线的斜率为，直线的方程为令得………3分令,得,

的面积,

………6分（Ⅱ）,因为,由,得,

………9分当时,,当时,.已知在处,,故有，故当时,

………13分22.如图，F1，F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=，△DEF2的面积为1﹣．若M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知OP⊥OQ．（1）求椭圆的标准方程；（2）△AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用椭圆的离心率以及三角形的面积求出椭圆的几何量，即可得到椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由OP⊥OQ，即．（*）①当直线AB的斜率不存在时，．②当直线AB的斜率存在时，设其直线为y=kx+m（m≠0）．联立直线与椭圆方程，通过韦达定理弦长公式，求解三角形的面积即可