专题7-4 解决不等式选讲的第二问通关

第一类均值不等式1．设函数．（1）设的解集为集合，求集合；（2）已知为集合中的最大自然数，且（其中为正实数），设．求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析．【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集，（2）先根据等量关系化M，再根据基本不等式证不等式．（2）由（1）知，则．则，同理，则，即．2．选修4-5：不等式选讲已知，，均为正实数，且．（1）证明：；（2）求证：．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：运用均值不等式，可得，再由两边平方即可得证（2）由均值不等式可得，，，相加即可得证（Ⅱ）∵同理：，∴∴∴3．设均为正数，且，求证：．【答案】见解析。【解析】试题分析：因为，根据三元均值不等式可得结果试题解析：证明：因为，所以，因为,当且仅当时等号成立，所以4．已知定义在上的函数，且恒成立．（1）求实数的值；（2）若，求证：．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】【试题分析】（1）依据题设借助绝对值的几何意义分析求解；（2）借助题设条件运用基本不等式进行求解：解：（1）,要使恒成立，则，解得．又，．5．选修4—5：不等式证明选讲设为正实数，且．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若，求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）1．【解析】试题分析：（Ⅰ）由得，进而得到的最小值是；（Ⅱ）由得，从而，又，即可求解的值．试题解析：（Ⅰ）由得，当时取等号．分故，当时取等号所以的最小值是，当且仅当取得最小值．6．已知函数的最大值为．（1）求的值和不等式的解集；（2）若，求的最大值．【答案】（1），．（2）最大值．【解析】试题分析：（1）分类讨论，求出函数的值域，即可求的值；（

2）由（1）知，a2+2b2+c2=4，利用基本不等式求的最大值．试题解析：解：(1)当时，，当时，，当时，，故当时，取得最大值，即．当时，由，解得，当时，由，解得，当时，由，解得，所以不等式的解集为．(2)因为，所以，解得，当且仅当时，等号成立，此时取得最大值．7．选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）对，，求证：．【答案】（1）．（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集得原不等式解集，（2）先根据绝对值三角不等式得，再利用均值不等式证不等式．（Ⅱ），又∵，∴（当且仅当时取等），∴．8．选修4-5：不等式选讲若不等式对于任意都成立．（1）求的值；（2）设，求证：．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由绝对值三角不等式可得，，即，因此，当且仅当取等号，（Ⅱ）利用基本不等式证明不等式，关键在于凑：，即得结论．试题解析：（Ⅰ）解：，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，∵对任意实数b，不等式都成立．∴．第二类恒成立求参1．设不等式的解集为．（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）令，由得，解得，从而可得．（Ⅱ）转化变量可得不等式在恒成立，故得，解得，即为所求．（Ⅱ）由不等式，的，令，要使，则，整理得，∴，解得．∴实数的取值范围．2．选修4-5：不等式选讲已知函数，，．（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）或．（2）．【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，．对解析分类讨论，可求不等式的解集；（2）当时，的最大值为，要使，故只需；当时，的最大值为，要使，故只需，由此可求实数的取值范围．（Ⅱ）当时，的最大值为，要使，故只需，则，∴；当时，的最大值为，要使，故只需，∴，从而．综上讨论可知：．3．选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1);(2)．【解析】试题分析：（1）由题意，可将含绝对值的函数转化为分段函数，再逐段进行求解，汇总所得解，从而问题可得解；（2）由题意，可构造函数，将其转化为分段函数，并作出其图象，结合其图象，对参数的取值范围，进行分段讨论，汇总所有解，从而问题可得解．（2）由，得．令作出的图象如图所示，由题意知的图象恒在函数的图象的下方．由图象可知，当经过点时，解得或．当时，的图象经过点，显然不成立；当时，的图象经过点，成立，所以，即实数的取值范围为．4．已知关于的不等式．（1）当时，求该不等式的解集；（2）当时，该不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【解析】试题分析：（1）当时，原不等式为，利用零点分段法可求得解集为．（2）当时，原不等式可化为．对分成两类，去绝对值，利用分离常数法可求得的取值范围．（2）∵，∴，∴原不等式化为①．当，即时，①式恒成立，所以．当，即时，①式化为，或．化简得，或．∵，∴，，∴或．又，，所以当时，，，所以，或．所以，或．综上实数的取值范围为或．5．已知，若不等式的解集为．（1）求实数的值；（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)．【解析】试题分析：(1)求解绝对值不等式，据此得到关于实数t的方程，解方程可得．（2）由（1）知，，由绝对值三角不等式的性质可得，当且仅当时等号成立，则实数的取值范围为．（2）由（1）知，，所以，当且仅当时等号成立，所以，故实数的取值范围为．6．已知函数．（1）当时，求的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用零点分类讨论法解绝对值不等式．(2)第（2）问，先化简，再分离参数得到对任意的恒成立，再求a的取值范围．试题解析：（1）当时，由可得，所以当时，不等式转化为，无解，当时，不等式转化为，解得，当时，不等式转化为，解得，综上可知，不等式的解集为．（2）当时，恒成立，即，故，即对任意的恒成立，所以．7．选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）若对任意正实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）先根据绝对值三角不等式得等式成立条件为，再解不等式得的取值范围；（2）先根据基本不等式得最小值，再解绝对值不等式可得实数的取值范围．8．已知且．（1）求的最大值；（2）若不等式对任意成立，求实数的取值范围．【答案】(1);(2)见解析．【解析】试题分析：（1）由基本不等式可得，从而可得最大值．（2）由于时，故由题意可得对恒成立，于是或恒成立，解得或，从而可得所求的范围．试题解析：（1）由，得，当且仅当取最大值，．9．选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用绝对值的定义，去年绝对值符号，可化含绝对值的不等式为一般一元一次不等式，解之可得；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出的最小值，然后解不等式可得的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由题知不等式，即，等价于或或，解得或或，∴原不等式的解集为．………………5分（Ⅱ）由题意知=≥=3，∴的最小值为3，∴，解得，∴实数的取值范围为．………………10分10．选修4-5：不等式选讲已知函数（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）当时,不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，分别求解不等式，进而得到不等式的解集；（Ⅱ）当时，，设，求出在上的最大值，即可求得实数的取值范围．（Ⅱ）当时，，则当，恒成立．设，则在上的最大值为．∴，即，得．∴实数的取值范围为．第三类绝对值三角不等式1．已知．（）将的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象．（）若，对，，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）的取值范围是．【解析】试题分析：（1）讨论的范围：，去绝对值，可得的分段函数的解析式，由分段函数图象画法可得其图象；（2）运用乘1法和基本不等式，可得，的最小值，由题意可得，结合图象即可得到所求x的范围．试题解析：（）由已知，得，函数的图象如图所示：2．选修4-5：不等式选讲已知函数，．（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得和互为相反数，求的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】试题分析：（1）分，，和三种情况去掉绝对值，解不等式即可．（2）由题存在，使得成立，即．又，由（1）可知，所以，可解得的取值范围．试题解析：（1）由题意可得，当时，，得，无解；当时，，得，即；当时，，得．综上，的解集为．3．已知函数．（1）解不等式；（2）若对于任意，有，，求证：．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，解不等式，取并集即可；（2）利用绝对值三角不等式证明即可．试题解析：（1）解：或，∴解集为．（2）证明：．4．[选修4－5：不等式选讲]已知函数．（1）解不等式；（2）若正实数a，b满足，试比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)｛x|x＜－3或x＞1｝;(2)见解析．【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据绝对值三角不等式得最大值，再根据基本不等式可得最小值，最后根据两者关系确定大小关系．试题解析：（1）由题知，①当时，－2x－2＞4，解得x＜－3；②当时，2＞4，矛盾，无解；③当时，2x＋2＞4，x＞1；所以该不等式的解集为｛x|x＜－3或x＞1｝．5．设．（1）若，解关于的不等式；（2）求证：．【答案】(1)或；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用零点讨论法解（2）第（2）问，利用三角绝对值不等式证明．（2）证明：，当且仅当时取等号．6．选修4-5：不等式选讲已知函数．(I)求不等式的解集；(Ⅱ)若正数满足求证:．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）将不等式转化为．法一：由绝对值不等式的几何意义，可得不等式的解集；法二：分类讨论，去掉绝对值号，分别求解不等式组，进而得到不等式的解集；（Ⅱ）由题意，得到，利用绝对值的三角不等式，即可作出证明．试题解析：（Ⅰ）此不等式等价于．法一：由绝对值不等式的几何意义得不等式的解集为．7．【选修4-5：不等式选讲】设函数，，其中．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围．【答案】(1);(2)．【解析】试题分析：（1）讨论x的取值范围，把问题转化为三个不等式组问题，分别求解集，最后取并集即可；（2）设的值域为,的值域为．对任意，都存在，使得等价于：试题解析：（I）不等式，则，解得：或，即所以不等式的解集为．8．已知函数．(1)当时，解不等式的解集；(2)当时，有成立，求的取值范围．【答案】(1)；(2)．【解析】试题分析：（1）当时，不等式等价于，即可求解；（2）根据绝对值三角不等式即可得解．试题解析：(1)原不等式等价于解得：(2)由题意可得恒成立．∵∴∴解得9．已知．（1）解不等式；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【解析】试题分析：利用分区间讨论法去掉绝对值符号，在函数的每个区间上求解不等式，即可得到答案求出的分段函数的各段的范围，可得最小值，进而得到，解不等式即可得到的取值范围（2）当时，递减，取值范围是；当时，的范围是；当时，的范围是．从而，不等式对任意实数恒成立，解不等式，得．10．设函数（1）当时，解不等式；（2）求证：．【答案】(1)[-3,3](2)见解析【解析】试题分析：（1）零点分区间分段去掉绝对值，解不等式即可；（2）根据绝对值三角不等式得到．由1的妙用求得最值．（2）∵，∴又∵∴第四类柯西不等式1．【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）设为正实数，且，其中为函数的最大值，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用分类讨论解绝对值不等式．（2）第（2）问，利用基本不等式证明．试题解析：（1）时，，，所以或或，所以解集为．2．选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）记的最大值为，证明：对任意的正数，，，当时，有成立．【答案】(1);(2)见解析．【解析】试题分析：（1）对于函数，去掉绝对值，用分段函数表示出来，再分情况解不等式，结果取并集；（2）由绝对值三角不等式，求出函数的最大值为3，根据基本不等式的推广，证明出结论。试题解析：（1）由题知，所以，即或或解得．故原不等式的解集为．3．选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，若，，均为正实数，且，求的最小值．【答案】（1）．（2）．【解析】试题分析：（1）先去掉绝对值，化简函数的解析式，分类讨论求得的解集．（2）根据函数的解析式求得函数的最小值，再利用柯西不等式求得的最小值．试题解析：（1）．∴等价于或或．解得或．∴原不等式的解集为．4．选修4-5：不等式选讲已知．（1）求证：；（2）求函数的零点个数．【答案】(1)见解析;(2)见解析．【解析】试题分析：由柯西不等式得，再次代入得时，取等号由（1）知，时，，此时仅有一个零点；当不全相等时，，此时零点个数为解析：（1）由柯西不等式得，当且仅当，即时，取等号．（2）对于二次函数，由（1）知，时，，此时仅有一个零点；当不全相等时，，此时零点个数为．5．[选修4-5：不等式选讲]已知，，，函数的最小值为．(1)求的值；(2)证明：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据绝对值不等式的性质，结合函数，即可求得的值；（2）运用柯西不等式，结合（1），即可证明．(2)6．选修4—5:不等式选讲已知，．（1）求的最小值（2）证明：．【答案】（1）3；（2）证明见解析．【解析】【试题分析】(1)利用柯西不等式求得最小值为．(2)将不等式的右边变为,用基本不等式可求得右边的最小值为,由此证得不等式成立．【试题解析】（2）．7．已知函数．（1）求的最大值；（2）设，且，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）法1：零点分段可得函数的最大值．法2：由三角不等式的性质可得函数的最大值为．