2019-高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词课件新人教A版选修2-

全称量词与存在量词【思考】观察下面的两个语句,思考下列问题:P:m≤8;Q:对所有的m∈R,m≤8.上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?答案语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.1.全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.(3)全称命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.(4)全称命题的真假判断:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称命题是假命题,只需列举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可.名师点拨常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称命题.【做一做1】

(1)给出下列命题:①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.其中全称命题的个数为(

)A.0 B.1 (2)给出下列全称命题,①负数没有对数;②对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab;③二次函数f(x)=x2-ax-1与x轴恒有交点;④∀x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.其中真命题的个数为(

)A.1 B.2 解析(1)①②是全称命题,③不是全称命题,故选C.(2)①②③为真命题,④是假命题.答案(1)C

(2)C2.存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.(3)特称命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为:∃x0∈M,p(x0),读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.(4)特称命题的真假判断:要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0,使得命题p(x0)成立即可;否则这一命题就是假命题.名师点拨常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.只要含有这些量词,或者命题具有特称量词所表达的含义,就是特称命题.【做一做2】(1)给出下列命题,①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④对于任意x∈R,总有|sinx|≤1.其中特称命题的个数是(

)A.0 B.1 (2)下列命题中,既是真命题又是特称命题的是(

)A.存在一个θ,使tanθ=tan(90°-θ)B.存在实数x0,使sinx0=π2C.对一切θ,使sinθ=sin(180°-θ)D.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ解析(1)命题①含有存在量词;命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,故为全称命题;命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”,是全称命题;而命题④是全称命题.故只有一个特称命题.(2)只有A,B两个选项中的命题是特称命题.因为|sin

x|≤1,所以sin

x0=不成立,故B中命题为假命题.又因为当θ=45°时,tan

θ=tan(90°-θ),故A中命题为真命题.答案(1)B

(2)A3.全称命题与特称命题的否定

特别提醒1.写出一个全称命题或特称命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定.2.全称命题(或特称命题)与其否定的真假性恰好相反.【做一做3】

(1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为(

)A.存在一个三角形的内角和等于180°B.所有三角形的内角和都等于180°C.所有三角形的内角和都不等于180°D.很多三角形的内角和不等于180°(2)命题“∀x∈Z,4x-1是奇数”的否定是

.

答案(1)B

(2)∃x0∈Z,4x0-1不是奇数探究一探究二探究三当堂检测

探究一全称命题与特称命题的辨析例1

判断下列命题是全称命题还是特称命题?(1)凸多边形的外角和等于360°;(2)有的向量方向不定;(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1;(4)有些素数的和仍是素数;(5)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.思路分析看命题中是否含有全称量词或存在量词,若含有相关量词,则根据量词确定命题是全称命题或者是特称命题;若没有,要结合命题的具体意义进行判断.探究一探究二探究三当堂检测解(1)可以改写为:所有的凸多边形的外角和都等于360°,故为全称命题.(2)含有存在量词“有的”,故为特称命题.(3)含有全称量词“任意”,故为全称命题.(4)含有存在量词“有些”,故为特称命题.(5)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称命题.反思感悟判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤(1)判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称命题或特称命题.(2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题.(3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质.(4)一个全称命题(或特称命题)往往有多种不同的表述方法,有时可能会省略全称量词(或存在量词),应结合具体问题多加体会.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1下列命题中,是全称命题的是

,是特称命题的是

(填序号).

①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.解析①②③是全称命题,④是特称命题.答案①②③

④探究一探究二探究三当堂检测探究二全称命题与特称命题的真假判断例2

指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假.(1)∀x∈N,2x+1是奇数;(2)存在一个x0∈R,使

=0;(3)能被5整除的整数末位数是0;(4)有一个角α,使sinα>1.解(1)是全称命题,因为∀x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.(2)是特称命题.因为不存在x0∈R,使

=0成立,所以该命题是假命题.(3)是全称命题.因为25能被5整除,但末位数不是0,因此该命题是假命题.(4)是特称命题,因为∀α∈R,sin

α∈[-1,1],所以该命题是假命题.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法(1)分析命题中是否含有量词;(2)分析量词是全称量词还是存在量词;(3)若命题中不含量词,要根据命题的意义去判断.2.全称命题与特称命题真假的判断方法(1)要判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.(2)要判定特称命题“∃x0∈M,p(x0)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题就是假命题.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2下列命题中的假命题是(

)A.∀x∈R,3-x+1>1B.∀x∈[-1,2],x2-2x≤3答案D探究一探究二探究三当堂检测探究三全称命题与特称命题的否定例3

写出下列各命题的否定.(1)p:对任意的正数x,>x-1;(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;(4)s:有些质数是奇数;(5)t:∃α,β∈R,cos(α+β)=cosα+cosβ;(6)u:∀a,b∈R,a+b≥2.探究一探究二探究三当堂检测思路分析先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再写出相应的否定.解(1)p:存在正数x,使

≤x-1.(2)q:存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆.(3)r:所有三角形的内角和小于或等于180°.(4)s:所有的质数都不是奇数.(5)t:∀α,β∈R,cos(α+β)≠cos

α+cos

β.(6)u:∃a,b∈R,a+b<2.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟写出命题的否定的基本思路1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.探究一探究二探究三当堂检测变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:∀x∈R,x2-x+≥0;(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:∃x∈R,x2+3x+7≤0;(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.探究一探究二探究三当堂检测(2)q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.(3)r:∀x∈R,x2+3x+7>0,是真命题.∴r是真命题.(4)s:∀x∈R,x3+1≠0,是假命题.∵当x=-1时,x3+1=0,∴s是假命题.探究一探究二探究三当堂检测思维辨析

一题多变——由全称(特称)命题的真假确定参数的范围典例(1)若命题p“∃x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围是

.

(2)已知命题p:∃x∈R,9x-3x-a=0,若命题p是真命题,求实数a的取值范围.(1)解析因为命题p是假命题,所以p:∀x∈R,2x2-3ax+9≥0为真命题.探究一探究二探究三当堂检测(2)解设3x=t,由于x∈R,则t∈(0,+∞),则9x-3x-a=0⇔a=(3x)2-3x⇔a=t2-t,t∈(0,+∞),设f(t)=t2-t,t∈(0,+∞),探究一探究二探究三当堂检测延伸探究1(变条件)若将本例题(2)条件“∃x∈R”,改为“∃x∈[0,1]”,其他不变,试求实数a的取值范围.解设3x=t,x∈[0,1],∴t∈[1,3].a=t2-t,∴t2-t∈[0,6].即a的取值范围是[0,6].探究一探究二探究三当堂检测方法总结应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题,全称命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质求解;也可以根据函数等数学知识来解决.(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设.探究一探究二探究三当堂检测1.下列命题中,不是全称命题的是(

)A.任何一个实数乘以零都等于零B.自然数都是