运用分类讨论思想解决排列组合问题

4444运用分类讨论思想，解决排列组合问题■河南省新乡市第一中学453100吴磊排列组合问题是历年高考的必考点，求解这类问题往往有多个不同的思路，若选择方法得当，求解过程简单，容易让人接受；否则复杂难解且易犯“重复”或“遗漏”等错误．因此，排列组合问题是高中数学的难点之一。本文试图从分类讨论思想方法出发，给出解决这些问题的一个有效方法，有效避免出现“重复”和“遗漏”等错解．一、解决站位问题1、有5名男生，4名女生排成一排，要求甲男生不站在排头，乙女生不站有排尾，则不同的排法有多少种？解析：将排法分成两类：一类是甲站在排尾，其余的可全排，有A8种排法；另一类是甲既不排尾又不站在排头有4种站法，乙不站在排尾而站在其它位置，其余的7TOC\o"1-5"\h\z可全排，有4・4・A7种排法，故不同的排法共有A8+4.4.A7= 种777 8 7772、（08年辽宁卷）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（） 4巾 ^ 6巾 ^ 8巾 ^ 2巾解析：按题目要求分成两类解决，①第一道工序安排甲，第四道工序安排丙，安排方案有A2=12；②第一道工序安排乙第四道工序安排甲或丙安排方案有2A2=2444种方案，共计 种不同的安排方案.故应选择选项.二、解决染色问题3．（200年3全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？解析：依题意至少要用3种颜色,①当先用三种颜色时，区域与必须同色，区域必须同色，故有Aj种；②当用四种颜色时，若区域与同色，则区域与不同色，有A4种；若区域与同色，则区域与不同色，有A4种，故用四种颜色时共有A4种.由加法

原理可知满足题意的着色方法共有A324 4 =44.如图，个扇形区域、、、、、，现给这个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？解析：(1)当相间区域、、、、、着同一种颜色时，有种着色方法，此时，、、各有种着色方法，此时，、、各有种着色方法故有4434343=108种方法．()当相间区域、、着色两不同的颜色时，有C2A;种着色方法，此时、、有34242种着色方法，故共有C2A2434242=432种着色方法34()当相间区域、、着三种不同的颜色时有A3种着色方法，此时、、各有种着色方法。此时共有A3424242=192种方法4故总计有108+432+1种9方2法=.7325将一个四棱锥S-ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解析：满足题设条件的染色至少要用三种颜色.若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S再从余下的四种颜色中任选两种涂、、、四点，此时只能与、与分别同色，故有C;A：=60种方法；若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 ，再从余下的四种颜色中任选两种染与，由于、颜色可以交换，故有A2种染法；再从余4下的两种颜色中任选一种染、或、，而、与、，而、与、中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有CiA2CiC1=240种方法；5422若恰用五种颜色染色，有A：=120种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+1种2.0=420三、解决“多面手”问题6．现有翻译8人，其中3人只会英语，2人只会日语，还有3人英语、日语都会，现从这8人中选取3名英语、2名日语翻译，有多少种不同的选法？解析：按选择只会日语的翻译人数进行分类，若从人中选名日语翻译，有C2-C3种选法；26若从人中选名日语翻译，有。・。・。3种选法；235若从人中不选日语翻译，有C2-C3种选法；34故共有C2-C3C1-C1-C3C2.C3 种不同的方法26235 34四、解决数字问题7用.，01，2，3，4这五个数字可组成多少个没有重复数字且是3的倍数的三位数？解析：构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，将0，1，2，3，4按除以3的余数分成3类，按照取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数再取进行排列，先填百位4，其余任意排A2，故有2A1A2种；不取，则只能取3从2 2 22和中再任取一类，再取2然后进行全排列为2A3，所以共有2AiA22A33 22 3个三位数.五、解决几何计数问题8．四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）种 ^种 ^种 ^种解析：从个点中任取个点有C4种取法，其中点共面的情况有三类。第一10类，取出的个点位于四面体的同一个面内，有4c4种；第二类，取任一条棱上的6个点及该棱对棱的中点