网络分析与综合网络图论课件

在前面所学的“电工原理”等课程中，由于网络（即所谓的“电路”）结构比较简单，人们可以比较容易地利用“电工原理”中介绍的各种方法去求解网络参数。然而随着科学技术的不断发展和提高，网络的结构日趋复杂（支路数和节点数大大地增加），再用那些传统的方法来分析和设计已经是力不从心了，因此有必要寻找一种全新的系统化的即能够把计算机作为辅助计算工具的方法来进行网络分析和设计，这种方法就是网络图论。返回2023/6/111图论虽然属于拓扑学的范畴，但是它的应用已渗透到许多学科领域，它在电路（网络）中的应用称为网络图论或网络拓扑。本章介绍图的一些基本知识，并结合电路分析的方法，应用网络拓扑的知识，系统地建立各种网络方程的基本矩阵形式，以便进行分析和计算。2023/6/112本章主要内容图的基本知识拓扑矩阵电网络的矩阵分析法返回2023/6/113图的基本知识图论的发展简史

网络拓扑的基本概念

树

基本回路、基本割集

基本回路

割集

基本割集割集分析法返回2023/6/114图论的发展简史哥尼斯堡桥

汉密尔登圈平面图与非平面图电网络方程四色定理返回2023/6/115哥尼斯堡桥瑞士数字家欧拉（Euler）发表了一篇讨论哥尼斯堡（这是原十八世纪东普鲁士、现为立陶宛的一个城市）七桥（如图所示，其中A、B、C、D为四块陆地，其余为连接为四地的七座桥梁）难题的论文。2023/6/116哥尼斯堡桥这篇论文讨论的主要内容是：从A、B、C、D任何一地出发，走遍七座桥，但每座桥只能经过一次（一笔画）。这个想法能不能实现？欧拉经过多次实验都没有成功；最后欧拉认为上述目的是无法实现的，并总结出一个通用判定准则：2023/6/117哥尼斯堡桥⑴连接奇数个桥的陆地只有一个或超过两个以上时，不能实现一笔画；⑵连接奇数个桥的陆地仅有二个时，则从两者中的任一块陆地出发，可以实现一笔画，但终止在另一块陆地上；⑶每块陆地都接有偶数个桥时，则从任一块陆地出发都能实现一笔画，并且回到原出发点。2023/6/118哥尼斯堡桥将陆地用点来表示，桥用线段来表示，就构成了一个图。要想一笔画出这个图，就要求这个图满足下面的条件：图必须是连通的，且每个顶点所关联的边的条数都是偶数，此时，一笔画的起点与终点相同；若其中仅有一对顶点关联的边数是奇数，则可以从这两顶点之一出发，终止于另一个顶点完成一笔画。2023/6/119哥尼斯堡桥哥尼斯堡七桥等效模拟图见图，由于该图中A、B、C、D四点所关联的边都是奇数，因而不可能实现不重复地走遍七座桥。欧拉最先一个实际问题化为一个图论的问题，并加以解决，所以后来人们公认欧拉为图论的创始人，把一笔画出来的路称为欧拉路。返回2023/6/1110汉密尔登圈英国数学家汉密尔登（Hamiltonian）发明了一种称为EulerTrail的游戏：在一个画在平面上有20个顶点的图中，把这20个顶点当作20个城市，旅行者从其中某一个城市出发，能否找出一条经过所有城市，但只能经过一次的闭合路径？回答是肯定的（如图中按从小到大的数字即1→2→3→…→19→20→1的路径就是满足要求的一条路径）。该回路称为汉密尔登圈，而含有汉密尔登圈的图称为汉密尔登图。2023/6/1111汉密尔登圈

2023/6/1112汉密尔登圈欧拉路与汉密尔登圈的区别：前者的一条路必须经过每一条边且只能经过一次，而经过各顶点的次数不限；后者的一条路必须经过每一个顶点且只能经过一次，而经过边的次数不限，也可以不经过。返回2023/6/1113如果图中的所有边在顶点以外的地方均不相交，那么这个图就称为平面图，否则就是非平面图。判断一个图是不是一个平面图，可以看它是否满足公式：n–b+f=2

（其中n、b、f分别为图的顶点数、边数和面数），如果满足，这个图就是平面图，反之，这个图就是非平面图。平面图与非平面图返回2023/6/1114电网络方程如何确定及列出给定电网络的独立方程是较长时间困扰人们的问题。基尔霍夫（Kirchhoff）由树的概念提出了解决确定独立方程数的方法；还提出了列出集总（或分布）参数电网络的相应方程的两个基本方法：KVL（基尔霍夫回路电压定律）、KCL（基尔霍夫节点电流定律）。返回2023/6/1115四色定理四色定理起源于对地图的染色：一个英国人提出，他只需四种颜色，就能使平面地图上任两个相邻国家的颜色不同，这里所谓的相邻是指两个国家有一段公共边界。将这个四色问题转化成图论的问题则为：用一个顶点代表一个国家，如果某二个国家相邻，就用一条线（边）将对应二个顶点连接起来，证明只需要有四种颜色，就可以使所有相邻的顶点有不同颜色，这就是四色定理（该定理在1976年得到了证明）。返回2023/6/1116网络拓扑的基本概念节点的度

子图

通路

连通图和非连通图

回路

图的定义及电网络图的表示

与图有关的几个名词

返回2023/6/1117图的定义及电网络图的表示图：一组顶点与线段（边）的集合，边的两端终止于顶点，又称为“线图”，可用G（graph）表示。它把实际的网络结构用顶点和线段抽象地表示成几何图形。电网络中各支路两端的电压、流过各支路的电流之间的规律服从于定理KVL、KCL，它们只与网络的连接形式有关，而与各支路中所含的元件类型无关。2023/6/1118图的定义及电网络图的表示图或线性图，还可以简称为“图”。为了习惯或方便，我们仍可称图中的顶点为节点（Node），称线段为支路（Branch）。我们用圆点表示节点（或称结点），用线段表示支路，这样就可以得到一个抽象的描述网络连接情况的图，把它称为网络的拓扑图，也可以称为线2023/6/1119图的定义及电网络图的表示其中线段上没有方向箭头的图称为无向图；如果各线段上有箭头，它表示所对应支路的电流或电压降的参考方向的图称为有向图，又称为有向线图，在实际应用中，有向图用得比较多。返回2023/6/1120与图有关的几个名词——节点的度G中某节点的度，表示与该节点相关联的支路数。如图中节点①、②、③、④的度都为3，因为与它们相关联的支路都有3条。返回2023/6/1121与图有关的几个名词——子图G中的任一部分节点与支路的集合，可以用表Gs示（Sub-graph）。如图中节点①、②、③与支路b2、b4构成一个子图，节点①、②、③、④与支路b1、b5、b6构成一个子图，节点①、②、③、④与支路b3、b5也构成一个子图……。返回2023/6/1122与图有关的几个名词——通路两个端节点，通过内节点及相应支路相连而构成的子图（或路径）。端节点：仅与一条支路相连的节点，它的度为1。内节点：与二条或二条以上的支路相连的节点，其度大于等于2（但通路的内节点的度只能为2）。2023/6/1123与图有关的几个名词——通路在图中如果单看节点①、②、④与支路b1、b2就构成一条通路（其中节点②、④为端节点，节点①为内节点），节点①、②、③、④与支路b2、b3、b5也构成一条通路（其中节点③、④为端节点，节点①、②为内节点）。返回2023/6/1124与图有关的几个名词——连通图和非连通图

若G中任二个节点间至少有一条通路，则称G为连通图（ConnectedGraph），否则G为非连通图（UnconnectedGraph）。如图中节点①、②、④与支路b1、b2构成的子图和节点①、②、③、④与支路b1、b5、b6构成的子图都是连通图，而节点①、②、③、④与支路b3、b5构成的子图就是非连通图。返回2023/6/1125与图有关的几个名词——回路通路的两端节点重合时形成的一个闭合路径就是回路（Loop或Circuit）。回路的特点是：当移去其中任何一条支路时，路径则没有闭合，或者它其中每个节点的度均为2。如图中节点①、②、③与支路b2、b3、b4构成的子图，节点①、③、④与支路b1、b3、b6构成的子图，节点②、③、④与支路b4、b5、b6的子图……。特殊地，一个节点和一条支路也可以构成一个回路，我们把它称为“自环”。返回2023/6/1126树树在拓扑理论尤其在我们这里的网络拓扑中是一个非常重要的概念。网络拓扑中的树是一组支路及与它们相关节点的集合，对于每个连通图来说，其树的选择不是唯一的，而一旦确定了树以后，整个图就分成了树枝和连枝二部分：构成树的各支路称为树枝，而图中除树以外的剩余部分支路则被称为连枝，其集合又称为对应树的“补树”。返回2023/6/1127树树的定义

两种特殊类型的树：线树、星树

树的几个基本定理

返回2023/6/1128树的定义包含有图G中所有节点但又无回路的连通子图。详细来说就是：具有n+1个节点，b条支路连通图G的一个连通子图，若具有下列特性中的任意两个：⑴包含图G的所有节点；⑵具有n条支路；⑶没有回路。这就是图G的一个树（Tree），可以用T

表示。2023/6/1129下面是左图所示网络的部分树。树的定义返回2023/6/1130两种特殊类型的树——线树如果其所有树枝仅连成了一条通路（路径），那么这个树就称为线树，如下图所示的树；返回2023/6/1131两种特殊类型的树——星树如果其所有树枝有一个公共的顶点，那么这个树就称为星树，如下图所示的树（它们的公共顶点分别是节点④和节点①）；返回2023/6/1132树的几个基本定理定理一：每一个连通图G至少存在一个树：⑴如果G中不含有回路，则G就是一个树；⑵如果G中含有回路，那么在保证G连通的前提下，移去某一回路的一条支路，并按照这种方法，破坏掉所有的回路，剩下的就是树。定理二：若连通图中包含有n+1个节点，那么它的树必定有n条树枝。定理三：如果连通图G中的任意两节点之间，当且仅当存在一条通路（路径）时，则G就是一个树。2023/6/1133树的几个基本定理定理四：在含有n+1个节点的连通图G中，若具有如下性质之一，则G就是一个树；反之，如果G是一个树，则它就具有以下性质：⑴

G连通但没有回路；⑵

G有n条支路，且无回路；⑶

G连通，且含有n条支路；⑷

G没有回路，但任意在两节点间加一条支路，就会出现一个回路；⑸

G连通，但移去一条支路后，G就不连通了；⑹从G中任一个节点到另一个节点，有且仅有一条通路（或路径）。返回2023/6/1134基本回路基本回路是回路的一种，是一种特殊的回路。定义：（一般在有向图中考虑）单连枝回路，即它是由且仅由一条连枝支路，其余均为树枝支路构成的。2023/6/1135基本回路的特点其方向取连枝支路的电流参考方向；对给定的连通图（节点有n+1个，支路有b

条）来说，基本回路的数量是一定的，为 b-n

个。

返回2023/6/1136割集定义：连通图G中一个边（支路）的最小集合c。性质：⑴移去c中所有的支路后，G就被分成两个不相连的子图Gs（也可以分成两个以上的Gs，但如果不加说明，后面所指割集均是只分成两个Gs的简单割集）；⑵若保留c中任一条支路，而移去其余支路，G仍是连通的。2023/6/1137割集顶点割集：移去c后，两个中Gs有一个孤立顶点。如右图中，取b1、b5、b6为一个割集c5，移去c5

后剩下二部分：其一为④节点，其二为①、②、③节点和支路b2、b3、b4，这二部分不连通，且一部分就只剩④节点，所以把这个c5

割集称为顶点割集。同理，左图中，c3

也是一个顶点割集。返回2023/6/1138基本割集同样道理，基本割集是割集的一种，一种特殊的割集。定义：（一般在有向图中考虑）单树枝割集，即它是由且仅由一条树枝支路，其余均为连枝支路构成的。基本割集的特点：⑴其方向取树枝支路的电流参考方向；⑵对给定的连通图（节点有n+1个，支路有b条）来说，基本割集的数量也是一定的，为n个（与树枝数相同）。返回2023/6/1139割集分析法我们对电网络的分析方法有四种：利用基尔霍夫回路电压定律KVL的回路分析法、网孔分析法（当回路恰好是网孔的时候，回路分析法就变成了网孔分析法，所以说网孔分析法是回路分析法的特例），利用基尔霍夫节点电流定律KCL的割集分析法、节点分析法（当割集恰好都是顶点割集的时候，割集分析法就变成了节点分析法，所以说节点分析法是割集分析法的特例）。这里通过一个例子来介绍割集分析法。2023/6/1140割集分析法首先选择一棵树，利用由基尔霍夫节点电流定律KCL的对基本割集列出的一组电流方程是独立的方程组，求解这个方程组，可以得到树枝电压，进而利用网络中各支路之间的基本关系可以求出除树以外支路的电压和所有支路的电流。2023/6/1141割集分析法如图，首先选b1、b4、b5、b7为树枝，取对应四个基本割集。利用KCL对基本割集列电流方程：与割集方向相同的支路电流取正号，否则取负号，于是有：2023/6/1142割集分析法这里设b3支路有一个电流源Ig3（若是电压源Ug3，可以利用诺顿定理变换成电流源Ig3=G3Ug3），方向与支路方向相同，于是有：前式为

2023/6/1143割集分析法设各支路导纳为Gi，电压为Ui，连枝电压用树枝电压来表示（电压方向与电流方向成关联关系）为：2023/6/1144割集分析法将代入得2023/6/1145割集分析法整理得：由上式可以看出：第一个方程是对第一个割集列写的，其左边第一项是本割集树枝电压U1与本割集所有相关联支路导纳总和的乘积，第二项是第二割集树枝电压与第一、二割集所有公共支路导纳之和G2的乘积，因为第一、二割集方向相反，故第二项前取负号，由于第一割集与第三、四割集无公共支路，故方程的第三、四项为零，另外方程右端为零，表示无电流源流过本割集；第二方程右端为一个负电流源Ig3，表示电流源Ig3与割集方向相同。2023/6/1146割集分析法找出如上规律，就可以由电路的有向图直接写出上面的割集方程组了，而不需要再重复前面的步骤。最后，就可以求解割集方程组得到树枝电压U1、U4、U5和U7，并根据连枝电压与树枝电压的关系求出连枝电压U2、U3和U6，最后再由Ii=GiUi

求出各支路的电流。总结以上讨论的结果，我们可以得到如下割集分析法的一般步骤：2023/6/1147割集分析法步骤⒈画出电路对应的有向图。⒉为电路选择一棵树，其原则是：①尽可能选“星树”，这样列出方程通常比较简单；②电压源应选为树枝，这样可以少列方程；③尽可能地把待求电压支路选为树枝，这样解出割集方程也得到了待求电压。⒊取基本割集。2023/6/1148割集分析法步骤⒋列割集方程，此时要注意的是：①本割集树枝电压与本割集所关联的所有导纳总和和乘积项永远取“+”号；②相邻项的“+”、“-”号取决于二个相关割集的方向是否相同，相同取“+”号，相反取“-”号；③方程右边为流过本割集的电流源，其“+”、“-”号与电流源的方向、割集的方向都有关，当电流源的方向与割集方向相同时取“-”号，相反时则取“+”号。2023/6/1149割集分析法步骤⒌解割集方程组求出树枝电压。⒍由树枝电压求出连枝电压。⒎由树枝电压、连枝电压及各支路导纳（或阻抗）求出各支路电流。返回2023/6/1150拓扑矩阵邻接矩阵

关联矩阵

回路矩阵

割集矩阵

矩阵A、Bf、Qf

之间的关系

返回2023/6/1151邻接矩阵表征节点与节点之间关系的矩阵，用表示，其元素

dij

的取值如下：注：相邻表示有支路相连。2023/6/1152例子返回2023/6/1153关联矩阵表征节点与支路之间关系的矩阵。无向图的关联矩阵有向图的关联矩阵

增广关联矩阵

关联矩阵

2023/6/1154无向图的关联矩阵用表示，其元素的取值如下：这里的关联表示节点i

为支路j

的一个端点，否则就不是。2023/6/1155例子2023/6/1156无向图的关联矩阵性质

每列只有2个1元素；每行1元素的个数对应节点的度；对连通图，关联矩阵的每一行至少有一个1元 素；如果某一行只有一个1元素，那么这个1

元素 所在的列对应的支路一定是一条悬挂支路。如果形如，则对应的图为一个具有 两个连通子图的非连通图。2023/6/1157增广关联矩阵用表示，其元素的取值如下：2023/6/1158例子2023/6/1159增广关联矩阵性质①每一列只有两个非零元素1和-1，且同列元素之和为零；②任一行元素等于其它各行元素之和，且符号相反。这说明全部节点均写方程的话，肯定至少有一个方程非独立，由此可以划掉一行（一般划去电位参考点所在的那一行），由此得关联矩阵（或称为降阶关联矩阵，节点矩阵）。2023/6/1160关联矩阵例如（分别取节点④、③为参考节点）的关联矩阵分别为：2023/6/1161关联矩阵对下图，如果选b1、b4、b5、b7为树，把A

分成左右两部分：左边为树枝块AT

，右边为连枝块AL（脚标各自从小到大排列），则显然有，。返回2023/6/1162回路矩阵回路矩阵（回路－支路）基本回路矩阵（基本回路－支路）表征（有向图中）回路与支路关系的矩阵。

返回2023/6/1163回路矩阵（回路－支路）用表示，其元素的取值如下：2023/6/1164例子如图所示，除三个网孔分别构成l1、l2、l3回路外，还有l1与l2两网孔合并构成一个回路l4，l2与l3两网孔合并构成一个回路l5，最后还有整个外围构成一个回路l6。假设均取顺时针方向为回路的方向，依定义可以列出如下回路矩阵：返回2023/6/1165基本回路矩阵（基本回路－支路）用表示，回路的方向与连枝方向相同，其元素bij

的取值与上面的相同，显然会有树枝选的不同，连枝也就不一样，这样Bf也就不一样，例如对下图如果选b1、b4、b5、b7为树（如粗线所示），那么连枝为b2、b3、b6，对应的基本回路如右边几个图，其Bf如下式：2023/6/1166例子若取b1、b2、b3、b6为树(如图粗线所示)，那么连枝就是b4、b5、b7，对应的基本回路也如图所示，其Bf如下右式：可以表示为：。其中：：与树枝相关联的部分；：与连枝相关联部分。返回2023/6/1167割集矩阵割集矩阵（割集－支路）基本割集矩阵（基本割集－支路）表征割集与支路关系的矩阵。返回2023/6/1168割集矩阵（割集－支路）用表示，其元素的取值如下：（其中c为总的割集数）2023/6/1169例子如图所示，除了c1、c4、c5、c7四个割集外，还有很多割集。为了不至于遗漏，可以采用c1c4、c1c5

、c4c5

、c1c4c5……等等这样的方式，把它们所有的组合都列出来，就构成相应电路的割集矩阵。2023/6/1170例子注意：①式中由于未标出割集的方向，这时仅用“1”表示该割集与相应支路相关联，用“0”表示该割集与相应支路无关联；②式中的有些割集不只把图分成了二个子图。

返回2023/6/1171基本割集矩阵（基本割集－支路）以一条树枝，数条连枝做一个割集，取树枝方向为割集的方向。例如，如果选b1、b4、b5、b7为树枝，那么连枝为b2、b3、b6，于是对应Qf

的如下（其中：为与树枝关联的部分，为与连枝关联的部分。同样，树选的不同，Qf

也就不一样）：返回2023/6/1172矩阵A、Bf

、Qf

之间的关系在选定相同的树，且在先树枝后连枝，支路顺序相同时所列出的拓扑矩阵A、Bf、Qf

有如下关系：∵若节点数为n+1个，支路数为b条，则树枝为n条，连枝为b-n

条，则各矩阵的大小为：于是有：2023/6/1173矩阵A、Bf

、Qf

之间的关系由前面的例子可以得到：

2023/6/1174矩阵A、Bf

、Qf

之间的关系于是，利用以上关系，可以由一种矩阵求出其它两种矩阵。2023/6/1175例子（2.1)已知：，试画出对应的有向图，并求矩阵Bf及Qf

。解：由矩阵可以画出如图所示的有向图。2023/6/1176例子选择支路b2、b3、b4、b8为树枝，则b1、b5、b6、b7为连枝，于是重新列写矩阵A为：2023/6/1177例子∴返回2023/6/1178电网络的矩阵分析法支路阻抗矩阵节点分析法回路分析法割集分析法纯电源的变换返回2023/6/1179支路阻抗矩阵无受控源的标准支路有受控电压源的标准支路有受控电流源的标准支路包含有各种受控电源的标准支路

返回2023/6/1180无受控源的标准支路无互感作用有互感作用返回2023/6/1181无受控源的标准支路——无互感作用无受控源的标准支路：其中下标i表示该支路为第i条标准支路；为元件导纳；为元件阻抗（有）；为独立电压源；为独立电流源；为支路电压；支路电流；为元件电流；为元件电压。2023/6/1182无受控源的标准支路——无互感作用由图可以得到：用矩阵表示为：第i条支路两端的电压为:流过第i条支路的电流为:2023/6/1183无受控源的标准支路——无互感作用设：支路电压列向量：支路电流列向量：支路独立电流源列向量：支路独立电压源列向量：于是，对整个网络而言，有：2023/6/1184无受控源的标准支路——

无互感作用即：或：2023/6/1185无受控源的标准支路——

无互感作用这里，同样也有并且（或），，故也有即：或：返回2023/6/1186无受控源的标准支路——

有互感作用当支路电感之间有互感耦合时，则式还应考虑互感电压的影响。若各支路间均有影响，那么上式可以表示为（其中）：于是式应写成：2023/6/1187无受控源的标准支路——有互感作用当用矩阵表示时：其中：，并且有2023/6/1188无受控源的标准支路——有互感作用此时式或式仍然适用，但，而是于是式

可以写成

返回2023/6/1189有受控电压源的标准支路含有电流控制电压源含有电压控制电压源流控电源和压控压源均存在时此处式为：返回2023/6/1190有电流控制电压源的标准支路当第i条支路上有一个受第d条支路电流控制的电压源时，则由式可以得到第i条支路两端的电压为于是当时，式可以表示为此处:或（当时）2023/6/1191有电流控制电压源的标准支路由式可以提到流过第i

条支路的电流为于是当时，式可以表示为整理一下上式2023/6/1192有电流控制电压源的标准支路这里：可以证明式中有即，所以后面只需求出或即可。返回2023/6/1193有电压控制电压源的标准支路当第i条支路上有一个受第d条支路电压控制的电压源时，则式可以表示为当时，式可以表示为这里或（当时）返回2023/6/1194流控压源和压控压源均存在的标准支路或（当时）返回2023/6/1195有受控电流源的标准支路含有电流控制电流源含有电压控制电流源流控流源和压控流源均存在

此处式为：返回2023/6/1196有电流控制电流源的标准支路当第i条支路上有一个受第d条支路电流控制的电流源时，则由式可以得到流过第i条支路的电流为当时，式可以表示为这里返回2023/6/1197有电压控制电流源的标准支路当第i条支路上有一个受第d

条支路电流控制的电流源时，则由式可以得到流过第i条支路的电流为当时，式可以表示为这里返回2023/6/1198流控流源和压控流源均存在的标准支路若含有受控电流源的网络中的支路电感之间有互感耦合时，上式中的应该用来代替。其中返回2023/6/1199包含有各种受控电源的标准支路我们研究的网络都是线性时不变网络，因而讨论如图所示的标准电路的等效阻抗时，只需把前面讨论各种结果相加即可。返回2023/6/11100包含有各种受控电源的标准支路当受控电压源：及受控电流源：作用时，由式，可以得到总的支路阻抗矩阵为：2023/6/11101包含有各种受控电源的标准支路其中：当时，上式为2023/6/11102包含有各种受控电源的标准支路至此为止，我们已经讨论了各种情况下的支路阻抗矩阵的求解方法，所以在后面在网络的求解过程中，对这部分就不再累叙了，而直接使用或，即用下图就可以了。返回2023/6/11103节点分析法关联矩阵A每一行表征的是节点与支路之间的关系，那么如果用A的一行与电流列向量相乘，得到的是一个节点的电流之和，于是根据基尔霍夫节点电流定律KCL可以得到矩阵形式的方程：关联矩阵A每一列，即表征的是支路与节点之间的关系，用与节点电压列向量相乘可以得到用节点电压表示的各支路电压：返回2023/6/11104节点分析法对整个电路而言，支路电流与电压的关系式为式：将⑶式代入

得将⑵式代入得2023/6/11105节点分析法令（节点导纳矩阵）（节点等效电流源列向量）于是式可以写成2023/6/11106节点分析法求解步骤依电路画出相应的有向图，求出关联矩阵A及；按上一小节的方法求出支路导纳矩阵Yb

，写出独立电压源列向量和独立电流源列向量；求出节点导纳矩阵：；求出节点电压向量：；求出支路电压向量：；求出支路电流向量：。返回2023/6/11107回路分析法基本回路矩阵Bf每一行表征的是基本回路与支路之间的关系，那么如果用Bf的一行与电压列向量相乘，得到的是一个回路各支路的电压之和，于是根据基尔霍夫节点电压定律KVL可以得到矩阵形式的方程：基本回路矩阵Bf每一列，即表征的是支路与基本回路之间的关系，用与节点电流列向量相乘可以得到用基本回路电流表示的各支路电流：返回2023/6/11108回路分析法对整个电路而言，支路电压与电流的关系为将⑶式代入⑴式（

）后，有再将⑵式代入，得2023/6/11109回路分析法令 （基本回路阻抗矩阵）（基本回路等效电压源列向量）

于是⑸式可以写成如果我们选的是“星树”或某些特殊类型的树时，对应的基本回路恰好是网孔，那么基本回路电流也就是网孔电流，所以网孔分析法实际上是回路分析法的特例。2023/6/11110回路分析法求解步骤⒈依电路画出相应的有向图，求出基本回路矩阵Bf及；⒉按前面的方法求出支路阻抗矩阵Zb

，写出独立电压源列向量和独立电流源列向量；⒊求出基本回路阻抗矩阵：；⒋求出回路电流向量：；⒌求出支路电流向量：；⒍求出支路电压向量：。

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