高中数学1部分第三章323指数函数与对数函数关系课件新人教版必修

3.2对数与对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系把握热点考向应用创新演练第三章基本初等函数(Ⅰ)考点一考点二理解教材新知已知对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x.问题1：上述两个函数都是一一映射吗？提示：都是．问题2：两函数的自变量与因变量有何关系？提示：y＝log2x的自变量就是y＝2x的因变量，y＝log2x的因变量就是y＝2x的自变量．问题3：函数y＝2x＋1是y关于x的函数，试求出x关于y的函数式．1

－1提示：x＝2y

2.提示：y＝1x－1.2

2问题5：在同一坐标系中，作出y＝2x＋1和问题4中函数的图象．提示：如图．问题6：两函数的图象有何特征？

提示：两函数的图象关于y＝x对称．问题4：通常自变量用x表示，试用x表示问题3中的函数关系．反函数当一个函数是

一一映射

时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，称这两个函数互为反函数

．图象的对称性对数函数y＝logax(a>0，a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，a≠1)

互为反函数，它们的图象关于直线

y＝x对称．函数y＝f(x)的反函数通常用y＝

f－1(x)

表示．并不是所有的函数都存在反函数，只有x与y一一对应的函数才有反函数．若y＝f(x)有反函数y＝f－1(x)，则y＝f－1(x)的反函数是y＝f(x)，即y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数．[例1]

求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数．[思路点拨]

要求y＝2x＋1的反函数，应该用y表示x，求出反函数后要注明反函数的定义域，即原函数的值域．[精解详析]

∵y＝2x＋1，0<2x<1，∴1<2x＋1<2.∴1<y<2.由2x＝y－1，得x＝log2(y－1)，∴f－1(x)＝log2(x－1)(1<x<2)．[一点通]求反函数的一般步骤：1．函数y＝1＋log

1

x

的反函数是2(

)A．y＝2xB．y＝

1

x(2)D．y＝21－x2C．y＝log

x解析：由y＝1＋log

1

x，得log

1

x＝y－1且值域为R，2

221

1所以

x＝(

)y－1.以

x

代

y，以

y

代

x，得

y＝(

)x－1.2答案：D2．函数f(x)＝3x(0<x≤2)的反函数的定义域为

(

)A．(0，＋∞)

B．(1，9]C．(0，1)

D．[9，＋∞)解析：∵0<x≤2，∴1<3x≤9，即函数f(x)的值域为(1，9]．故f(x)的反函数的定义域为(1，9]．答案：B[例2]

已知函数f(x)＝ax－k的图象过点(1，3)，其反函数y＝f－1(x)的图象过点(2，0)，则f(x)的表达式为

．[思路点拨]

由(2，0)在y＝f－1(x)的图象上知，(0，2)在y＝f(x)的图象上．[精解详析]

∵y＝f－1(x)的图象过点(2，0)，∴y＝f(x)的图像过点(0，2)，∴2＝a0－k，∴k＝－1，∴f(x)＝ax＋1.又∵y＝f(x)的图象过点(1，3)，∴3＝a1＋1，∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1.[答案]

f(x)＝2x＋1[一点通]

若点P(m，n)在函数y＝f(x)(或在反函数y＝f－1(x))的图象上，则点P′(n，m)在反函数y＝f－1(x)(或在函数y＝f(x))的图象上.利用这种对称性去解题，常常可以避开求反函数的解析式，从而达到简化运算的目的．3．已知函数y＝ax与y＝logax，其中a＞0且a≠1，下列说法不正确的是

(

)A．两者的图象关于直线y＝x对称B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域

C．两函数在各自的定义域内增减性相同D．y＝ax的图象经过平行移动可得到y＝logax的图像解析：由y＝ax与y＝logax互为反函数，图象关于y＝x对称，知A、B正确.当a>1时，它们均为增函数;当0<a<1时，它们均为减函数．答案：D.4．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是图中的

()解析：y＝ax与y＝logax互为反函数，图象关于y＝x对称，而y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称．∵在y＝loga(－x)中，－x>0，即x<0，∴排除A、C.当0<a<1时，在D中，loga(－x)应是递增的故D错误．答案：B一个函数是否存在反函数可从以下两点进行判断：从函数观点来看，就是由