2023版新教材高中数学第二章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式课时作业新人教A版选择性必修第一册

2．3.1两条直线的交点坐标2．3.2两点间的距离公式必备学问基础练进阶训练第一层1．[2023·广东珠海二中高二检测]直线2x＋3y＋8＝0和直线x－y－1＝0的交点坐标是()A．(－2，－1)B．(－1，－2)C．(1，2)D．(2，1)2．已知A(2，－3)，B(5，－7)，则|AB|＝()A．3B．4C．5D．63．已知直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M(1，1)，则a＋b＝()A．－1B．1C．2D．－24．已知A(a，－5)与B(0，10)两点间的距离是17，则a的值为()A．8B．2eq\r(66)C．±2eq\r(66)D．±85．若三条直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0相交于同一点，则实数a＝()A．－12B．－10C．10D．126．[2023·江苏连云港高二检测]已知A(a，2)，B(－2，－3)，C(1，6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为()A．－2B．－1C．1D．27．过两条直线l1：x＋y－2＝0与l2：3x－y－4＝0的交点，且斜率为－3的直线l的方程为________．8．已知△ABC的顶点为A(2，1)，B(－2，3)，C(0，－1)，则AC边上的中线长为________．关键力量综合练进阶训练其次层1．[2023·黑龙江大兴安岭试验中学高二检测]过直线x＋y－3＝0和2x－y＋6＝0的交点，且与直线2x＋y－3＝0垂直的直线方程是()A．4x＋2y－9＝0B．4x－2y＋9＝0C．x＋2y－9＝0D．x－2y＋9＝02．已知A(1，2)，B(－1，1)，C(0，－1)，D(2，0)，则四边形ABCD的外形为()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．正方形3．[2023·广东佛山一中高二检测]两条直线y＝kx＋2k＋1和2x＋y－4＝0的交点在第四象限，则k的取值范围是()A．－2<k<－eq\f(1,4)B．－eq\f(1,4)<k<0C．－4<k<－2D．k>－24．[2023·天津河西高二检测]已知点A(－1，2)，B(2，eq\r(7))，P为x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为()A.(－1，0)B．(1，0)C．(0，－1)D．(0，1)5．[2023·江苏宿迁高二测试]直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是()A．2B．2eq\r(2)C．2eq\r(3)D．46．(多选)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值可以是()A．－eq\f(4,3)B．－eq\f(2,3)C．eq\f(2,3)D．27．已知某等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x＋y－2＝0与x－7y－10＝0，原点是该等腰三角形底边的中点，则底边所在直线的方程为________________________________________________________________________．8．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标为(2，－1)，则线段AB的长度为________．9．[2023·山东新泰一中高二检测]已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3).(1)在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；(2)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度．10．[2023·江苏南通高二检测]已知△ABC的顶点A(0，1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋y－2＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为3x＋y－5＝0.(1)求点B的坐标；(2)求直线BC的方程．核心素养升级练进阶训练第三层1．点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0，(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为()A．eq\r(13)，x＋y－2＝0B．eq\r(11)，3x＋y－4＝0C．eq\r(13)，2x－3y＋1＝0D．eq\r(11)，2x－3y＋1＝02．点P是直线l：x－y＋1＝0上的一动点，则P到两点A(－1，1)，B(2，0)的距离之和最小值为________．3．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和直线l2：x－3y＋10＝0截得的线段的中点恰好为P.(1)求直线l的方程；(2)求直线l被l1和l2截得的线段长．2．3.1两条直线的交点坐标2．3.2两点间的距离公式必备学问基础练1．答案：B解析：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0,x－y－1＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－2))，所以直线2x＋3y＋8＝0和直线x－y－1＝0的交点坐标是(－1，－2).故选B.2．答案：C解析：由于A(2，－3)，B(5，－7)，所以|AB|＝eq\r(（2－5）2＋（－3＋7）2)＝5.故选C.3．答案：A解析：∵点M(1，1)在直线l1和l2上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1＋1＝0,2－b－1＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝1))，∴a＋b＝－1.故选A.4．答案：D解析：由两点间的距离公式得eq\r(（a－0）2＋（－5－10）2)＝17，解得a＝±8.故选D.5．答案：A解析：由l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0，可得交点坐标为(1，3)，代入直线l1：ax＋2y＋6＝0，可得a＋6＋6＝0，所以a＝－12.故选A.6．答案：A解析：由两点间的距离公式，及|AB|＝|AC|可得：eq\r(（a＋2）2＋（2＋3）2)＝eq\r(（a－1）2＋（2－6）2)，解得a＝－2.故选A.7．答案：3x＋y－5＝0解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0,3x－y－4＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2),y＝\f(1,2)))，故l的方程为y－eq\f(1,2)＝－3(x－eq\f(3,2))，即3x＋y－5＝0.8．答案：3eq\r(2)解析：设AC的中点为D，由于△ABC的顶点为A(2，1)，C(0，－1)，则D(1，0)，又B(－2，3)，所以|BD|＝eq\r(（－2－1）2＋（3－0）2)＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2).关键力量综合练1．答案：D解析：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0,2x－y＋6＝0))，解得x＝－1，y＝4.设与直线2x＋y－3＝0垂直的直线方程是x－2y＋m＝0，将x＝－1，y＝4代入方程，解得m＝9，故所求方程为x－2y＋9＝0.故选D.2．答案：D解析：由两点间的距离公式可得|AB|＝eq\r(（－1－1）2＋（1－2）2)＝eq\r(5)，|BC|＝eq\r(（0＋1）2＋（－1－1）2)＝eq\r(5)，|CD|＝eq\r(（2－0）2＋（0＋1）2)＝eq\r(5)，|DA|＝eq\r(（1－2）2＋（2－0）2)＝eq\r(5)，所以|AB|＝|BC|＝|CD|＝|DA|，又|AC|＝eq\r(（0－1）2＋（－1－2）2)＝eq\r(10)，|BD|＝eq\r(（2＋1）2＋（0－1）2)＝eq\r(10)，所以|AC|＝|BD|，故四边形ABCD是正方形．故选D.3．答案：A解析：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2k＋1,2x＋y－4＝0))，可解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3－2k,k＋2),y＝\f(8k＋2,k＋2)))，由于交点在第四象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3－2k,k＋2)>0,\f(8k＋2,k＋2)<0))，解得－2<k<－eq\f(1,4).故选A.4．答案：B解析：设P(m，0)，则|PA|＝eq\r(（m＋1）2＋4)，|PB|＝eq\r(（m－2）2＋7)，由|PA|＝|PB|，得(m＋1)2＋4＝(m－2)2＋7，解得m＝1，故点P(1，0).故选B.5．答案：B解析：由于l1：x－my－2＝0与l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为Q(eq\f(2－2m,1＋m2)，eq\f(－2－2m,1＋m2))，所以|OQ|＝eq\r(（\f(2－2m,1＋m2)）2＋（\f(－2－2m,1＋m2)）2)＝eq\r(\f(8（1＋m2）,（1＋m2）2))＝eq\f(2\r(2),\r(1＋m2))，当m＝0时，|OQ|max＝2eq\r(2)，所以|OQ|的最大值是2eq\r(2).故选B.6．答案：ABC解析：由已知，设l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0))可知，直线l1，l2相交于点A(－1，－eq\f(1,3))，直线l3：mx－y－1＝0恒过定点B(0，－1)，由于三条直线不能构成三角形，所以l1∥l3或l2∥l3或l3经过点A(－1，－eq\f(1,3))；①当l1∥l3时，l1：2x－3y＋1＝0，l3：mx－y－1＝0，所以2×(－1)＝－3m，解得m＝eq\f(2,3)；②当l2∥l3时，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0，所以4×(－1)＝3m，解得m＝－eq\f(4,3)；③当l3经过点A(－1，－eq\f(1,3))时，m＝－eq\f(2,3)，所以实数m的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)，－\f(4,3))).故选ABC.7．答案：y＝3x解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0,x－7y－10＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1))，因此得等腰三角形的顶点坐标为(3，－1)，因原点是该等腰三角形底边的中点，则等腰三角形底边上的高所在直线的斜率为－eq\f(1,3)，所以等腰三角形底边所在直线的斜率为3，方程为y＝3x.8．答案：2eq\r(5)解析：在平面直角坐标系中，AO⊥BO，则△ABO为直角三角形，且AB为斜边，故|AB|＝2|OM|＝2eq\r(22＋（－1）2)＝2eq\r(5).9．解析：(1)设AC边中点为M，则M点坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(7,2))，∴直线kBM＝eq\f(\f(7,2)＋1,\f(1,2)＋2)＝eq\f(9,5)，∴直线BM的方程为y－(－1)＝eq\f(9,5)(x＋2)，即9x－5y＋13＝0，AC边中线所在直线的方程为9x－5y＋13＝0.(2)设点D的坐标为(x，y)，由已知得M为线段BD的中点，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋x,2)＝\f(1,2),\f(－1＋y,2)＝\f(7,2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝8))，∴D(3，8)，又∵B(－2，－1)，C(2，3)，则|BC|＝eq\r(（－2－2）2＋（－1－3）2)＝4eq\r(2).10．解析：(1)由于直线CD的斜率为－1，AB⊥CD，所以直线AB的斜率为1，又由于A(0，1)，所以直线AB的方程为y＝x＋1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1,3x＋y－5＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2))，故点B的坐标为(1，2).(2)设点C(x0，y0)，所以x0＋y0－2＝0.由于点E是AC边的中点，所以点E的坐标为(eq\f(x0,2)，eq\f(y0＋1,2))，由于AC边上的中线BE所在直线的方程为3x＋y－5＝0，所以3×eq\f(x0,2)＋eq\f(y0＋1,2)－5＝0，即3x0＋y0－9＝0.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＋y0－2＝0,3x0＋y0－9＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(7,2),y0＝－\f(3,2)))，所以点C的坐标为(eq\f(7,2)，－eq\f(3,2))，所以直线BC的斜率k＝eq\f(－\f(3,2)－2,\f(7,2)－1)＝－eq\f(7,5)，故直线BC的方程为y－2＝－eq\f(7,5)(x－1)，即7x＋5y－17＝0.核心素养升级练1．答案：C解析：l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)变形为x＋y－2＋(3x＋y－4)λ＝0，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0,3x＋y－4＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1))，故直线l过定点A(1，1)，故|PA|为点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大值，即|PA|＝eq\r(（－2－1）2＋（－1－1）2)＝eq\r(13)，且此时直线PA的斜率为kPA＝eq\f(－1－1,－2－1)＝eq\f(2,3)，故此时直线PA的方程为y＋1＝eq\f(2,3)(x＋2)，整理得2x－3y＋1＝0.故选C.2．答案：eq\r(10)解析：由于－1－1＋1<0，2－0＋1>0，所以A，B两点在直线的两侧，则当点P为线段AB与直线l的交点时，点P到A，B两点的距离之和最小，且最小值为A，B两点间距离|AB|＝eq\r(（－1－2）2＋12)＝eq\r(10).3．解析：(1)设直线l与直线l1和直线l与直线l2的交点分别为A，B，若直线l斜率不存在，则直线l的方程：x＝0，将x＝0代入l1：2x＋y－8＝0可得，y＝8，即A(0，8)，将x＝0代入l2：x－3y＋10＝0可得，y＝eq\f(1