2021-2022学年湖南省张家界市慈利县金坪联校高三数学文期末试卷含解析

2021-2022学年湖南省张家界市慈利县金坪联校高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平面直角坐标系中,不等式组(是常数)所表示的平面区域的面积是9,那么实数的值为(

)A.

B.

C.

D.1参考答案：D2.已知i是虚数单位，则复数等于（）A．﹣+i B．﹣+i C．﹣i D．﹣i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3.已知集合，，则=A． B． C． D．参考答案：B4.函数的图象大致是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：5.若抛物线的焦点是F，准线是，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、M且与相切的圆共有（

） A．0个

B．1个

C．2个

D．4个参考答案：C6.已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0参考答案：B【考点】函数单调性的性质；二次函数的性质．【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求【解答】解：∵函数是R上的增函数设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）∴∴解可得，﹣3≤a≤﹣2故选B7.已知实数x，y满足，如果目标函数的最大值为3，则m的值为（）A．3 B． C． D．参考答案：B【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数列式求得m值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图，由目标函数的最大值为3，可知直线的最小截距为﹣3，由图可知，当直线过可行域的边界点（m﹣1，1）时，zmax=3，∴3=，解得m=．故选：B．8.已知某种商品的广告费支出x（单位；万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y304050m70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中m的值为（）A．45 B．50 C．55 D．60参考答案：D【考点】线性回归方程．【分析】由表中数据计算、，根据回归直线方程过样本中心点，求出m的值．【解答】解：由表中数据，计算=×（2+4+5+6+8）=5，=×（30+40+50+m+70）=38+，∵回归直线方程=6.5x+17.5过样本中心，∴38+=6.5×5+17.5，解得m=60．故选：D．9.已知点A（﹣1，0），B（1，0），过定点M（0，2）的直线l上存在点P，使得，则直线l的倾斜角α的取值范围是(

) A． B． C．D．参考答案：A考点：平面向量数量积的运算；直线的倾斜角．专题：平面向量及应用．分析：先需要设出直线l的方程，所以需讨论l是否存在斜率：存在斜率时l方程便为y=kx+2，这样即可设出P（x，kx+2），所以能得到的坐标，从而根据条件会得到关于x的不等式（1+k2）x2+4kx+3＜0，要满足条件，该不等式便有解，从而△＞0，这样便得到k，这样即可求出此时l倾斜角α的范围；而不存在斜率时，用与上面类似的方法容易判断出这种情况满足条件，从而得到，这两种情况的α求并集即可．解答： 解：如图，（1）若l存在斜率，设直线l的方程为y=kx+2；∴设P（x，kx+2）；∴=（﹣1﹣x，﹣kx﹣2）?（1﹣x，﹣kx﹣2）=（1+k2）x2+4kx+3＜0；∴该不等式有解；∴△=16k2﹣12（1+k2）＞0；解得k，或k；∴；∴，且；（2）若l不存在斜率，则l方程为x=0；∴设P（0，y）；∴；∴﹣1＜y＜1；即存在P点使；而此时；∴综上得直线l的倾斜角的范围是．故选：A．点评：考查直线的点斜式方程，由点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，一元二次不等式是否有解和判别式△的关系，熟悉正切函数的图象，知道倾斜角的取值范围，注意不要漏了斜率不存在的情况．10.已知、均为锐角，若的

（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.△ABC的三个内角为A，B，C，若，则2cosB+sin2C的最大值为．参考答案：【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；HW：三角函数的最值．【分析】由已知利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得2cosB+sin2C=﹣2（cosB﹣）2+，进而利用余弦函数的值域，二次函数的性质求得2cosB+sin2C的最大值．【解答】解：∵，∴2cosB+sin2C=2cosB+sin2[π﹣（A+B）]=2cosB+sin2[π﹣（+B）]=2cosB+sin（﹣2B）=2cosB﹣cos2B=2cosB﹣（2cos2B﹣1）=﹣2cos2B+2cosB+1=﹣2（cosB﹣）2+，∵B∈（0，），cosB∈（﹣，1），∴当cosB=时，2cosB+sin2C取得最大为．故答案为：．12.（几何证明选讲选做题）极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为

．参考答案：13.关于函数，给出下列四个命题： ①，时，只有一个实数根；②时，是奇函数；③的图象关于点，对称；④函数至多有两个零点。其中正确的命题序号为______________。参考答案：①②③14.已知向量，，，若，则____________.参考答案：略15.复数的共轭复数为

.参考答案：略16.设等差数列、的前n项和分别为、,若对任意都有则=____________________.参考答案：略17.已知F是抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则面积的最小值是__________．参考答案：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），x=ty+m代入y2=4x，可得y2-4ty-4m=0，根据韦达定理有y1?y2=-4m，∵

∴x1?x2+y1?y2=-4，即，所以直线AB恒过且y1?y2=-8当时，面积的最小值是故答案为三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数=2acos2x+bsinxcosx，且f(0)=，f()=.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求的单调递增区间；（Ⅲ）函数的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？参考答案：解析：（Ⅰ）由f(0)=，得2a-=，∴2a=，则a=.由f()=，得+-=，∴b=1，…………2分∴f(x)=cos2x+sinxcosx-=cos2x+sin2x=sin(2x+).…………4分（Ⅱ）由f(x)=sin(2x+).又由+2kπ≤2x+≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，∴f（x）的单调递增区间是［+kπ，+kπ］(k∈Z)．…………8分（Ⅲ）∵f(x)=sin2(x+)，∴函数f(x)的图象右移后对应的函数可成为奇函数．…………12分19.（本小题满分12分）已知数列（1）若求数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，数列中是否存在三项构成等差数列.若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由.参考答案：20.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，),在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）求曲线的普通方程，并将的方程化为极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，若曲线与的公共点都在上，求的值.参考答案：（1）（2）试题分析：（1）根据三角函数平方关系消参数，将曲线的参数方程化为普通方程；再利用将的方程化为极坐标方程；（2）将代入的极坐标方程得，再将代入的极坐标方程得,解得.21.已知函数（1）若，求证：（2）若，恒有，求实数k的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2）（﹣∞，0]【分析】（1）利用导数求x＜0时，f（x）的极大值为，即证（2）等价于k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函数g(x)的最小值得解.【详解】（1）∵函数f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞0；由f′（x）＜0，得，∴f（x）在（﹣∞，﹣）内递增，在（﹣，0）内递减，在（0，+∞）内递增，∴f（x）的极大值为，∴当x＜0时，f（x）≤（2）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，则g′（x），令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，且x→0+时，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，∵h（x0）＝+2lnx0﹣1=0，所以，令，令所以=1，,∴g（x0）∴实数k的取值范围是（﹣∞，0]．【点睛】本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的