安徽省芜湖市南陵县第二中学2021年高三数学文测试题含解析

安徽省芜湖市南陵县第二中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知平面向量a=(1,x),b=(2,y),且a⊥b,则|a+b|的最小值等于()(A)1

(B) (C) (D)3参考答案：D略2.在正三棱锥中，，分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：C3.设变量满足则目标函数的最小值为（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C略4.若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线﹣y2=1的一个焦点重合，则p=（）A．2 B．2 C．8 D．4参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析计算可得焦点坐标为（±2，0），由抛物线的标准方程分析抛物线的焦点位置，可得抛物线的焦点坐标，进而由抛物线的焦点坐标公式可得=2，解可得p的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣y2=1，其焦点坐标为（±2，0），而抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在x轴正半轴上，则抛物线的焦点为（2，0），即=2，解可得p=4；故选：D．【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，要先由双曲线的方程求出其焦点坐标．5.在如图所示的框图中，若输出S=360，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是A．B． C．D．参考答案：D6.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（

）（A）1

(B)2

(C)4

(D)8参考答案：

A

7.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线C的离心率为2，△AOB的面积为，则△AOB的内切圆半径为(

) A．﹣1 B．+1 C．2﹣3 D．2+3参考答案：C考点：双曲线的简单性质．专题：解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线的离心率公式及a，b，c的关系可得b=a，由双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程解得A，B，求出三角形AOB的面积，进而解得p=2，即有A，B的坐标，进而得到三角形AOB的三边，再由内切圆的半径与三角形的面积之间的关系，计算即可得到r．解答： 解：由e====2，可得=．由，求得A（﹣，），B（﹣，﹣），所以S△AOB=??=．将=代入，得p2=4，解得p=2．所以A（﹣1，），B（﹣1，﹣），则△AOB的三边分别为2，2，2，设△AOB的内切圆半径为r，由（2+2+2）r=，解得r=2﹣3，故选C．点评：本题考查双曲线和抛物线的综合应用．求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系，找到它们对应的几何量，然后利用图形中的平面几何性质解答问题．8.右图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.函数，则＝A.0

B.1

C.2011

D.2012参考答案：B10.复数（1+i）（1﹣i）=（） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题；转化思想；定义法；数系的扩充和复数． 【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，即可求出． 【解答】解：（1+i）（1﹣i）=1﹣i2=1+1=2， 故选：A． 【点评】本题主要考查复数基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，已知，，则的最大值为

.参考答案：考点：余弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.12.已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是

．参考答案：3013.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为四棱锥，其中底面是边长为1的正方形，有一侧棱垂直与底面，高为2，即可求出棱锥的体积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，其中底面是边长为1的正方形，有一侧棱垂直与底面，高为2．∴棱锥的体积V==．故答案为．14.“”是“”成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).参考答案：必要不充分15.设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα的值是．参考答案：﹣【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】依题意，利用二倍角的正弦可得cosα=﹣，又α∈（，π），可求得α的值，继而可得tanα的值．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，∴cosα=﹣，又α∈（，π），∴α=，∴tanα=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系与二倍角的正弦，属于基础题．16.已知直线与在点处的切线互相垂直，

则

．参考答案：17.某学校高一、高二、高三三个年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为160的样本，则应从高一年级抽取

▲

名学生．参考答案：48三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，，点在上，在轴上的射影为的右焦点，且.（1）求的方程；（2）若，是上异于，的不同两点，满足，直线，交于点，求证：在定直线上.参考答案：解法一：（1）因为，所以．又因为，所以．故椭圆的方程:．（2）设直线的方程为，代入椭圆的方程，得设，则，解得，，所以.用替换，可得.解得直线的斜率为，直线的斜率，所以直线的方程为：①直线的方程为：②由①②两直线的交点的横坐标，所以点在定直线上．解法二：（1）依题意，，代入椭圆方程，得因为，代入整理得．又因为，所以．故椭圆:．（2）证明：，设，因为点在椭圆上，所以．设，由于，，三点共线，所以．又，所以．所以，即整理得因为，解得，所以点在定直线上．解法三：（1）同解法一或解法二；（2）设，直线的斜率分别为，则，又，所以．又，则．所以．设直线的方程为①则直线的方程为②则两直线的交点的横坐标．所以点在定直线上．19.设函数，，其中R，…为自然对数的底数．（Ⅰ）当时，恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）求证：(参考数据：)．参考答案：(Ⅰ)令，

则

①若，则，，在递增，，

即在恒成立，满足，所以；

②若，在递增，且

且时，，则使，

则在递减，在递增，

所以当时，即当时，，

不满足题意，舍去；

综合①，②知的取值范围为.

…5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当时，对恒成立，

令，则即；

…7分

由(Ⅰ)知，当时，则在递减，在递增，

则，即，又，即，

令，即，则，

故有.

…12分20.已知四棱锥P—GBCD中(如图)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且，，求的值.参考答案：解法一：（I）如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz，则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）故E（1，1，0）故异面直线GE与PC所成角的余弦值为.（Ⅱ）设F（0，y,z）在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则，∴解法二：（Ⅰ）在平面ABCD内，过C点作CH//EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角.在△PCH中，由余弦定理得，cos∠PCH=∴异面直线GE与PC所成角的余弦值为.（Ⅱ）在平面GBCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD

∴FM//PG由得GM⊥MD，∴GM=GD·cos45°=，∴略21.设命题:实数满足,其中,命题:实数满足．（1）若且为真,求实数的取值范围;（2）若是的充分不必要条件,求实数的取值范围．参考答案：（1）当时，，，

………3分又为真，所以真且真，由，得所以实数的取值范围为

………6分（2）因为是的充分不必要条件，所