师说数学必修第一册教版课件

5.1.1

角的概念的推广新知初探课前预习题型探究课堂解透新知初探课前预习最新课程标准了解任意角的概念和弧度制．能进行弧度与角度的互化．体会引入弧度制的必要性．学科核心素养了解任意角的概念，能区分各类角的概念，掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．(数学抽象)理解弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．(数学抽象、数学运算)教材要点要点一 角的分类类型定义图示正角以

逆时针

方向旋转形成的角负角以

顺时针

方向旋转形成的角零角不旋转所形成的的角，用0°表示状元随笔

(1)正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的，它们是用来表示具有相反意义的旋转量的．(2)在判断角度时，应时刻抓住“旋转”二字：①要明确旋转方向；②要明确旋转角的大小；③要明确射线未做任何旋转时的位置；④要注意由旋转方向来确定角的符号．要点二 象限角在直角坐标系内讨论角，为此取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的

非负半轴

，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角

不属于任何一个象限．要点三 终边相同的角把所有与角α

终边相同的角用集合表示出来，即S

＝

{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}

，当k=0时，角β就是角α本身．状元随笔

(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．k·360

°与α中间用“＋”连接，k·360

°－α可理解成k·360

°＋(－α)．当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360

°的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(

√

)(2)终边相同的角的表示不唯一．(

√

)(3)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(

√

)(4)终边与始边重合的角是零角．(

×

)2．手表时针走1小时转过的角度是()B．－60°D．－30°A．60°C．30°答案：Dଵଶ解析：－ଵ

×360°＝－30°.3．与53°角终边相同的角是()B．233°D．－127°A．127°C．－307°答案：C解析：与53°角终边相同的角是53°＋k·360°，k∈Z，当k＝－1时，角为－307°.故选C.4．2019°是第

三

象限角．解析：∵2

019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°.∴2

019°是第三象限角．题型探究课堂解透题型1

任意角的概念及应用例1

(1)(多选)下列说法错误的是(

)A．0°～90°的角是第一象限角

B．第二象限角大于第一象限角

C．钝角都是第二象限角

D．小于90°的角都是锐角(2)将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是()A．10°C．30°B．15°D．－30°答案：(1)ABD

(2)B解析：(1)0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以A不正确；120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以B不正确；钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以C正确；锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以

D不正确．故选ABD.(2)分针拨慢，则时针逆时针旋转，故时针转过的角度为正数．又因ଶସ为分针拨慢30分钟，时针逆时针旋转0.5个小时，所以ଵ

×360°＝15°.故选B.方法归纳与角的概念有关问题的解决方法正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．跟踪训练1

(1)下列说法正确的是(

C

)A．第一象限的角一定是正角

B．三角形的内角不是锐角就是钝角C．锐角小于90°D．终边相同的角相等(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是

－120°

．解析：(1)－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角还可能是90°，所以B错误；锐角小于90°，C正确；45°角与

405°角的终边相同，但不相等，所以D错误．故选C.(2)将时钟拨快20分钟，分针顺时针旋转120°，所以分针转过的度数为－120°.题型2

终边相同的角例2

(1)写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1080°范围内与75°角终边相同的角．解析：(1)与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．ଶସ

ଶସ当360°≤β<1

080°，即360°≤k·360°＋75°<1

080°时，解得ଵଽ≤k<2ଵଽ.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°～1

080°范围内的角为435°角和795°角．(2)写出终边在直线y＝－

3x上的角的集合．解析：

(2)

终边在y

＝－

3

x(x<0)

上的角的集合是S1

＝{α|α

＝

120°

＋

k1·360°

，k1∈Z}；终边在y＝－

3x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}．因此，终边在直线y＝－

3x上的角的集合是S＝S1∪

Sଶ＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪

ሼα|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k1·180°，k1∈Z}∪ሼα|α＝120°＋(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝－

3x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．方法归纳写出终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．终边相同角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．)跟踪训练2

(1)与－460°角终边相同的角可以表示成(A．460°＋k·360°，k∈ZB．100°＋k·360°，k∈ZC．260°＋k·360°，k∈ZD．－260°＋k·360°，k∈Z(2)终边落在x轴上的角的集合为

．答案：(1)C

(2){β|β＝k·180°，k∈Z}解析：(1)因为－460°＝260°＋(－2)×360°，所以－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.故选C.(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1

∪Sଶ

＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．题型3

象限角与区域角的表示角度1

象限角的判定ଶ例3

(多选)若α是第二象限角，则஑所在的象限是(

)B．第二象限

D．第四象限A．第一象限

C．第三象限答案：AC解析：∵α

是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z

，∴45°＋ଶ

ଶk·180°<஑<90°＋k·180°，k∈Z.当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<஑<90°＋n·360°(n∈Z)；஑

஑当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<ଶ<270°＋n·360°(n∈Z)．∴ଶ的终边位于第一或第三象限．故选AC.方法归纳୬关于角nα或஑象限的确定஑(1)由α的范围，表示出nα，୬的范围，由n的取值确定象限．(2)特别地，求஑所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份୬中按顺序标记一、二、三、四，找到原象限数字即可．(如图)角度2

区域角的表示例4

写出如图所示阴影部分(包括边界)的角α的范围．解析：(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．(2)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与

360°－60°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(2)阴影部分的角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．方法归纳区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的

角α和β，并将该范围内的区域角表示为{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区域角的范围．ଶ跟踪训练3

(1)已知α是第一象限角，那么஑是(

)A．第一象限角

B．第二象限角

C．第一或第二象限角

D．第一或第三象限角(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．答案：(1)D(2)见解析解析：(1)∵k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，ଶ

ଶ∴k·180°<஑<45°＋k·180°，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，n·360°<஑<45°＋n·360°，n∈Z，ଶ∴஑是第一象限角．஑当k＝2n＋1，n∈Z时，180°＋n·360°<ଶ<45°＋180°＋n·360°(n∈Z)，ଶ∴஑在第三象限．故选D.(2)若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋k·360°，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋k·360°，k∈Z.所以，角α的终边落在图中阴影区域内时，

30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z.故角α的取值集合为{α|30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．易错辨析 忽视轴线角致误例5

已知α为锐角，则2α为(

)B．第二象限角

D．小于180°的角解析：因为α为锐角，所以α∈(0°，90°)，则2α∈(0°，180°)．A．第一象限角

C．第一或第二象限角答案：D易错警示易错原因纠错心得当α＝45°时，2α＝90°，90°既不是第一象限也不是第二象限角．易错选：C.象限角不包括坐标轴表示的角．

(0°，180°)内的角不能说是第一或第二象限角，其中还有终边在y轴的非负半轴的角．课堂十分钟)1．下列各角中，与35°终边相同的角是(A．215°

B．365°

C．755°D．－235°答案：C解析：