2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学含答案解析

2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学

题号一二三总分

得分

一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知全集1/={x|—3<x<3},集合A={x|-2<xS1},则G/4=()

A.(-2,1]B.(—3,-2)U[1,3)

C.[-2,1)D.(-3,-2]U(1,3)

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题考查集合的补集运算，属于基础题.

【解答】

解：易得CUA=(-3,-2]U(1,3).

2.若复数z满足i•z=3-43则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查复数的基本运算，属于基础题.

【解答】

解：由条件可知z=二==-4—3i,所以|z|=5.

3.若直线2x+y—1=0是圆（x—a/+y2=1的一条对称轴，则。=（）

A-IB-C.1D.-1

【答案】

A

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

【解答】

解：若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a,0),所以由2a+0-1=0解

得a=3.

4.已知函数f(x)=3不，则对任意的实数x,有()

A./(-%)+/(%)=0B./(-x)-f(x)=0

C.f(-x)+f(x)=1D.f(-x)-/(%)

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查了指数的运算

求出f(-x),通过运算，判断选项即可

【解答】

解：由f(%)=，可得/(r)=/耳=言1，所以得/(-x)+/(x)=急=1.

5.己知函数/(x)=cos2%—sin2%,则()

A./(%)在(一方,一》上单调递减B./(%)在(一9劫上单调递增

C.在(05)上单调递减D./(X)在勺上单调递增

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查判断余弦型函数的单调性，二倍角的余弦公式，属于基础题.

【解答】

第2页，共16页

解：/(%)=cos2%—sin2%=cos2x

选项4中：2x6(一兀,一》,此时/(%)单调递增，

选项B中：2x6(-p=),此时f(x)先递增后递减,

选项C中：2x€(0,g),此时/"(X)单调递减，

选项D中：2x69)，此时/(X)先递减后递增.

6.设｛&J是公差不为。的无穷等差数列，则"｛即｝为递增数列”是“存在正整数No，

当n>N0时，an>0"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题主要考查充分必要条件的判断，属于中档题.

【解答】

解：①充分性证明：

若｛anJ为递增数列，则有对Vn6N*,an+1>an,公差d=an+1-an>0,

故数列中从某项开始后均为正数且数列递增，则存在正整数No,当n>N。时，an>

0,

充分性成立；

②必要性证明：

若存在正整数No,当n>叫)时，an>0,

an=ai+(n-l)d,若d<0,则数列中从某项开始后均为负数，

此时无法满足存在正整数No,当n>N。时，与>0,又d彳0,

若d>0,此时｛an)为递增数列，则存在正整数No,当n>No时，an>0,可

满足条件，

所以“｛册｝为递增数列”是“存在正整数No，当n>No时，an>0"的充要条

件.

7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰

技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与

7和IgP的关系，其中T表示温度，单位是K;P表示压强，单位是bar.下列结论中正

确的是（）

B.当7=270,P=12804,二氧化碳处于气态

C.当7=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态

D.当7=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题考查对数运算的实际应用，函数图象的应用，属于中档题.

【解答】

解：4选项：4>IgP=lgl026>3,T=220,由图易知处于固态；

B选项：3>lgP=lgl28>2,7=270,由图易知处于液态；

C选项：IgP=lg9987~3.999,T=300,由图易知处于固态；

0选项：3>lgP=lg729>2,7=360,由图易知处于超临界状态；

8.若(2x—1)4=a/4++%%+a。，则。0+。2+。4=()

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】

B

【解析】

第4页，共16页

【分析】

本题考查二项式，取1和-1代入即可，属于基础题.

【解答】

解：当X=1时，1=.4+&3+a?+%+劭①；

—aa—aa

当X=—1时，81=a43+2l+0②；

（J）+（2）,可得a。+。2+。4=41

9.已知正三棱锥P-ABC的6条棱长均为6,S是△4BC及其内部的点构成的集合，设

集合T={Q6S|PQS5},则T表示的区域的面积为（）

A.芋B.nC.2兀D.3兀

4

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查投影的相关知识，属于基础题.

【解答】

解：过点P作底面射影点。，则由题意，CO=2V3,PC=6;

PO=2显，当C。上存在一点Q使得PQ=5,此时Q。=1,则动点Q在以

Q0为半径，0为圆心的圆里，所以面积为TT

10.在4ABC^,AC=3,BC=4,zC=90。.P为44BC所在平面内的动点，且PC=1,

则万•丽的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】

D

【解析】

【分析】

解：法一：建立如图所示坐标系,

0066

由题易知，设C(0,0),4(3,0),5(0,4)，VPC=1,:.设P(cos-sin)，

[0,271)

PA■丽=(3—cos0,—sin0)"(―cos0,4—sin。)=-3cos6-4sin0+cos20+sin26

34

=1—5sin(0+9)(sin@=-,cos(p=-)G[—4,6]

法二：注意：〈而，CB>=\^-<CP,球>|,且Z7.而=0

PA

=(PC+CA)-(PC+CB)

=PC2+PC-C7+PCCB+C7CB

=PC2-CPCA-CP-CB+CA-CB

=1-3cos<CP>CA>—4cos<CP，CB>+0

=1-3cos<CP,CA>—4sin<CP>CA>

=1-5sin[<CP,CA>+cp]

其中,<pe(0,),tantp=|.

-4<PA-PB<6

【解答】

本题考查平面向量的数量积计算

法一：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解

法二：利用平面向量的线性运算与数量积运算进行求解

二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)

第6页，共16页

11.函数f(x)=：+S=%的定义域是

【答案】

(-oo,0)U(0,1]

【解析】

【分析】

本题考查求函数的定义域，属于基础题.

【解答】

解：依题意°解得x6(―8,0)U(0,l].

12.已知双曲线y2+5=l的渐近线方程为y=±fx,则巾=

【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.

【解答】

解：双曲线V+2=i的渐近线方程为y=±言，故加=一3.

13.若函数/⑶=Asinx—遍cosx的一个零点为g,则2="金)=

【答案】

1

-V2

【解析】

【分析】

本题考查辅助角公式，函数零点的概念，属于基础题.

【解答】

解：由题意知：/(-)=>4sin--V3cos-=—A——=0»解得A=1.

八3/3322

/(x)=sinx—V3cosx=2sin(x—,f(~)=2sin(^1—=2sin(—=—V2.

14.设函数〃久)=｛J：若/(x)存在最小值，贝b的一个取值为，a的

最大值为

【答案】

0(答案不唯一)

1

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的取值问题，题目较难.

【解答】

解：由题意知，函数最值与函数单调性相关，故可考虑以0,2为分界点研究函数的

性质，

当a<0时，/(x)=-ax+1,x<a,该段的值域为(一8,-a2+l)，故整个函

数没有最小值；

当a=0时，/(x)=-ax+1,x<a该段的值域为｛1｝,而f(x)=(x-2)2,

的值域为［0,+8),故此时/(x)的值域为［0,+8),即存在最小值为0,故

第一个空可填写0;

当0<a42时，/(x)=-ax+1,x<a,该段的值域为(-a2+l,+8),而

/(X)=(x-2/，x>a的值域为［0,+8),若存在最小值，则需满足-a?+1N0,

于是可得0<a41;

当a>2时，/(x)=-ax+1,x<a,该段的值域为(-a?+1,4-oo),而/(x)=

(%-2)2,x>a的值域为［(a-2)2,+OO)，若存在最小值，则需满足-a?+1》一

2产，此不等式无解。

综上，a的取值范围是［0,1］,故a的最大值为1.

15.已知数列｛%｝的各项均为正数,其前n项的和又满足a/Sn=9(n=1,2…).给出下

列四个结论：

①｛七｝的第2项小于3;②｛an｝为等比数列；

③｛5｝为递减数列;④｛。工中存在小于焉的项.

其有正确结论的序号为.

【答案】

第8页，共16页

①③④

【解析】

【分析】

本题考查数列的性质，属于中档题.

【解答】

解：n=1,可得於=9,又各项均为正，可得@1=3，令几=2可得g（3+。2）=

9,可解得a2=%尹<3，故①正确；

当n22时，由%=■得$_1=/，于是可得斯=在一白，即上=上普，

aa

nn-l°n«n-iQn-i9

若｛an｝为等比数列，则n22时an+1=an,即从第二项起为常数，可检验n=3则

不成立，固②错误；

1

册,S”=9（n=1,2…）.可得an-Sn=an+1-Sn+1）于是誓=含<1,所以

un»n+l

an+1<an,于是③正确；

若所有项均大于焉，取经90000，则&2系，Sn>900，于是斯,Sn>9,

与已知矛盾，所以（4）正确。

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分)

16.在△ABC中，sin2C=V3sinC.

⑴求NC;

(2)b=6,且44BC的面积为6次，求的周长.

【答案】

解:(l)sin2C=V3sinC>

2sinCcosC=V3sinC>

_yf3

coscr=—，

2

V0<C<7T

・3C=

6

⑵IS&ABC=6晅,

・•・-absinC=6V3,

2

a=4A/3

由余弦定理得c?=a2+b2-2abeosC

c=2痘,

所以△ABC的周长为6v5+6.

【解析】本题考查了解三角形与三角恒等变换

(1)利用二倍角正弦公式进行计算，根据三角形内角的取值范围即可求解

(2)利用三角形面积公式与余弦定理解三角形，即可求得三角形周长

17.如图，在三棱柱ABC-ABiG中，侧面BCGBi为正方形，平面BCG/_L平面

力BBiAi，AB=BC=2,M,N分别为aBi，力C的中点.

(1)求证：MN〃平面BCGBi；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面8MN

所成角的正弦值.

条件①:AB1MN-,

条件②:BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】

解：(1)取BC中点D,连接BiD,DN,

在三棱柱ABC-人道心中,右8"/48,A1B1=AB.

因为M,N,。分别为&Bi，AC,BC的中点，

所以B】M〃4B,BiM=^AB,DN//AB,DN=^AB,

即且81M=DN,

所以四边形BiMND为平行四边形，因此BiD〃MN.

又MNC平面BCC1B1，当。u平面BCGBi，

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所以MN〃平面BCGBi.

(2)选条件①：

因为侧面BCCiBi为正方形，所以C81BB],

又因为平面BCG/_L平面ABB14,

且平面BCCiBin平面ZBBH=BBr,

所以CB1平面4BB1&,

而4Bu平面488出，所以CBJ.AB.

由(1)得BiD〃MN,又因为4B1MN,所以AB1B】D,

而BiDCCB=D,所以JL平面BCG&,

又BBiu平面BCGBi，故AB1

在三棱柱ABC-&B1C1中，BA,BC,8当两两垂直,

故分别以BC,BA,BB]为工轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系,

因为4B=BC=BBi=2,则8(0,0,0),N(l,l,0),

M(0,l,2),71(0,2,0),

所以前=(1,1,0),询=(0,1,2),AB=(0,-2,0)>

设平面BMN的法向量元=(x,y,z),

由前•元=0,而•元=0，得z=°j令x=2,

得元=(2,-2,1).

设直线4B与平面BMN所成角为。，

则sin。=|cos%画|=崎=粤=|

所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为|.

选条件②:

因为侧面BCCiBi为正方形，所以C81BB1,

又因为平面BCG/_L平面力BB14,

且平面BCC$in平面=BB],

所以CB1.平面488通1，

而4Bu平面所以CBJ.AB.

取4B中点H,连接HM,HN.

因为M,N,H分别为4/，AC,4B的中点，

所以为B〃MH,CB//NH,而CB1BB、,故NH1MH.

又因为4B=BC=2,所以NH=BH=1.

X

在△MHB,中，BM=NM,BH=NH,公共边MH,

那么AMHB三△MHN,

因此NMHB=NMHN=90°,即MH1.48,LAB.

在三棱柱力BC-&B1C1中，BA,BC,BH1两两垂直，

故分别以BC,BA,BBi为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，

因为4B=BC=BBi=2,则B(0,0,0),N(l,l,0),M(0,l,2),4(0,2,0),

所以前=(1,1,0),丽=(0,1,2),AB=(0,-2,0).

设平面BMN的法向量元=(x,y,z),

由前•元=0，丽.元=0，得二°入令％=2,得元=(2,—2,1).

十/z一u,

设直线AB与平面BMN所成角为0,

则鲂皿=|cos优函|=耦=裳*,

所以直线AB与平面BM尸所成角的正弦值为|.

【解析】本题考查线面平行的判定，直线与平面所成角的向量求法，属于中档题.

18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上

(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、

乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m\.

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期

望EX:

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要

求证明)

【答案】

解：(1)由题意得：

设“甲在校运会铅球比赛中获优秀奖”为事件4

比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有：9.80,9.70.9.55,

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9.54四个.

所以，甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(4)=0.4

(2)X所有可能取值为0,1,2,3.

甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(4)=0.4.

乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B,则P(B)=0.5.

丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C,则P(C)=0.5.

P(X=0)=0.6x0.5x0.5=0.15,

P(X=1)=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.54-0.6x0.5x0.5=0.4,

P(X=2)=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.35,

R(X=3)=0.4x0.5x0,5=0.1,

EX=Ox0.154-1x0.4+2x0.35+3x0.1=1.4;

(3)丙获得冠军的概率估计值最大.

【解析】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量期望的求解与应用,

属于中档题.

19.已知椭圆E:||+《=l(a>b>0)的一个顶点为4(0,1),焦距为2K.

(1)求椭圆E的方程：

(2)过点P(-2,l)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线力B,AC分别

与％轴交于点M,N.当|MN|=2时，求k的值.

【答案】

(b=1(a=2

2

解：(1)依题意可知：2c=2次，解得a=1,故椭圆E的方程为：-+y2=1;

a2=Z724-c2vc=V3

(2)由题可设直线方程为:y—1=k(x4-2),。(%2，乃)，

(y-1=fc(x+2)

联立直线和椭圆E方程：\22,，可得

gX+y2=i

(1+4/c2)x2+(16/c2+8k)x+16k2+16k=0,由/>0可得

(16fc2+8k8-4x(1+4/c2)(16k2+16k)>0,解得k<0,

根据韦达是理可得：与+次=必学，X/2=16k4芈

1乙l+4k211l+4k2

直线AB的斜率为心B=竽，4B的直线方程尚y=竽x+1,

X1X1

令y=0,可得点M的横坐标=六"，同理可得点N的横坐标环=六".

，1一y11一为

则有|MN|=1^----^-1=I-2--------—I=\-(-^------^-)1

AJH11111K

l-y±l-y2l-kg+2)-fc(x2+2)kx2+2右+2〃

_|1.%2(%1+2)-%式%2+2)|_|12(0一巧)|_2

+4

\kX1X2+2(X1+X2)+4Ik'x1x2+2(xi+x2)

gljl----依---I=1

1

k%I%2+2(%I+%2)+4

I-----------------I-(16H+8fc)216k2+16/cV-64fc

•••l(M—与)1=J(X1+X2)2-4X62=J(1+4fc2)-4•1Ma

1+4fc2

16k2+16k-161-8k4

.2+2(X】+X2)+4=Mg+2(1+领2)+4=中F

11—

/.\MN\=|-2V-k|=1

K

即|旦|=L两边平方则有U=；，解解k=-4.

1k12fc4

故k的值为-4.

【解析】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，属于综合题.

20.已知函数f(x)=e4n(l+x).

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x)在［0,+8)上的单调性；

(3)证明：对任意的s,te(0,+oo),有f(s+t)>f(s)+/(t).

【答案】

解：(1)由题，f'(x)=ex-ln(l+x)+ex-=ex(ln(l+x)+

故/''(0)=e°(ln(l+0)+系)=1,/(0)=e°ln(l+0)=0,

所以曲线y=f(x)在(0,/(0))处的切线方程为y=x;

(2)由(1)知，g(x)=e*(ln(l+x)+士)，x6[0,+<»),

则g'(x)=ez(ln(l+%)+后一^7)，

设/i(x)=ln(l+x)+g-^^7，xe[0,+8),

第14页，共16页

则照)=士-卷+号=合>。

故似乃在［0,+8)上递增,

故仅%)>九(0)=1>0,

因此g'(x)>0对任意％6[0,+8)恒成立，

故9(久)在[0,+8)上单调递增；

(3)设m(s)=f(s+t)-/(s)—f(t)=es+tln(l+s+t)—esln(l+s)—efln(l+t),

则加(s)=es+t(ln(l+s+t)+—es(ln(l+s)+£)=g(s+t)-g(s),

由(2),g(x)在［0,+8)上单调递增，

故s>0,t>0时，m'(s)=g(s+t)-g(s)>g(t)-g(0)>g(0)-g(0)=0,

因此，m(s)在(0,+8)上递增，

故m(s)>m(0)=f(0+t)~f(0)-/(t)=-f(0)=0,

因此,对任意的S,t6(0,4-00),有f(s+t)>f(s)+f(t).

【解析】本题将指对函数以乘法的方式联系到一起，构思新颖。第(H)问判断导函数符

号可以求二阶导，

也可以直接放缩处理;第(HI)问借助(II)的结论可以快速得到结果.

21.已知Q：%,a?，…，以为有穷整数数列.给定正整数小，若对任意的ne{1,2,…,小},

在Q中存在%,%+1，%+2，…，四+/(720),使得为+&+i+%+2+…+%+j=n，

则称Q为巾-连续可表数列.

(1)判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列?是否为6-连续可表数列?说明理由；

(2)若Q:a「a2,以为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4;

(3)若Q:alta2…，纵为20-连续可表数列，且