2023学年完整公开课版《幂函数》

2.3幂函数(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P=______w元(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=____(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=

____(5)如果某人ts内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度v=______________是____的函数a²a³V是a的函数t⁻¹km/sv是t的函数我们先来看几个具体的问题:(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长_________a是S的函数以上问题中的函数具有什么共同特征?思考:Pwy=xy=x2y=x3y=xy=x-1____是____的函数Sa他们有以下共同特点：(1)都是函数；(3)均是以自变量为底的幂；(2)指数为常数.一般地，函数叫做幂函数(powerfunction)

，其中x为自变量，为常数。[定义:]问题:你能说出幂函数与指数函数的区别吗?注意:幂函数的解析式必须是y=ｘＫ的形式，其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项”．指数函数：解析式，底数为常数a，a>0，a≠1，指数为自变量x；幂函数：解析式，底数为自变量x，指数为常数α，α∈R；判断下列函数是否为幂函数.(1)y=x4(3)y=-x2(5)y=2x2(6)y=x3+2

判一判下面研究幂函数在同一平面直角坐标系内作出这六个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。研究

y=x

x…-3-2-10123……-3-2-10123……9410149……-27-8-101827……\\\01……-1/3-1/2-1\11/21/3…y=xx-3-2-10123y=x29410149x-3-2-10123y=x3-27-8-101827

x0124012x-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/3在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系?在第一象限内，当k>0时，图象随x增大而上升。当k<0时，图象随x增大而下降不管指数是多少,图象都经过哪个定点?在第一象限内，当k>0时，图象随x增大而上升。当k<0时，图象随x增大而下降。图象都经过点（1，1）K>0时,图象还都过点(0,0)点

y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域值域奇偶性单调性

公共点奇偶奇非奇非偶奇(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞）RR{y|y≠0}［0,+∞）［0,+∞）在R上增在（-∞，0)上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:在R上增在［0，+∞）上增，在（-∞，0]上减,在［0，+∞）上增，在(0，+∞)上减

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1);

(2)如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数；

(3)如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+∞时，图象在y轴上方无限地逼近x轴；(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．幂函数的性质说一说判断正误1.函数f(x)=x+为奇函数.2.函数f(x)=x2,x[-1,1)为偶函数.3.函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(-,0]上是递增的,则f(x)在[0,+)上也是递增的.4.函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在(-,0]上是递减的,则f(x)在[0,+)上也是递减的.思考

知识点三一般幂函数的图象特征类比y＝x3的图象和性质，研究y＝x5的图象与性质.答案答案y＝x3与y＝x5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同.只不过当0<x<1时，x5＝x3·x2<x3，当x>1时，x5＝x3·x2>x3，结合两函数性质，可得图象如下：一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点

；(2)α>0时，幂函数的图象通过

，并且在区间[0，＋∞)上是

函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象

；当0<α<1时，幂函数的图象

；(3)

时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从

到

的顺序排列.梳理(1,1)原点增下凸上凸α<0小大当堂训练√答案23451解析答案√234513.设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为A.1,3 B.－1,1C.－1,3 D.－1,1,3答案√234514.下列是y＝x的图象的是答案√234515.以下结论正确的是A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限√答案23451题型探究例1

已知y＝(m2＋2m－2)

＋2n－3是幂函数，求m，n的值.解答类型一幂函数的概念幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数.如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝

都不是幂函数.反思与感悟类型二幂函数的图象及应用解答在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x).解h(x)的图象如图所示：解答注意本题中对f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)的几何解释.这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法.反思与感悟

跟踪训练2

幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于A.1 B.2C.3 D.无法确定答案解析∴αβ＝1.故选A.

命题角度1比较大小例3

设

则a，b，c的大小关系是A.a>b>c B.b>a>cC.b>c>a D.c>b>a类型三幂函数性质的综合应用答案解析此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量.反思与感悟跟踪训练3

比较下列各组数中两个数的大小：解答解∵0<0.3<1，∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数.解答解∵y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，解答解∵y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数，又

y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为减函数，命题角度2幂函数性质的综合应用例4

已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足<的a的取值范围.解答解因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a.幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值.反思与感悟跟踪训练4

已知幂函数f(x)＝

(m∈N*).(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；解答解∵m∈N*，∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数.令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数