数学实验对称性

数学实验课件对称性AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®第一页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受对称荷载的简化计算简化前提（结构对称）

1.几何形状对称2.刚度对称关于对称轴对称的任一对杆段，刚度相等。3.约束形式对称包含支座的对称和结点的对称。坡屋面框架EI1EI1EI1EI1EI2EI2EI2EI2EI3EI3EI3EI3EI4EI4EI4EI4对称结构第二页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受对称荷载的简化计算对称荷载沿对称轴对折后，对称轴以左荷载的大小、方向和作用点，都完全与以右的荷载重合的一组荷载。坡屋面框架FP1FP1对称结构承受对称荷载FP2FP2第三页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受对称荷载的简化计算简化思路力法计算的主要工作量在于求解典型方程。式中，主系数dii>0，而尽量使副系数和自由项等于0，从而系数和自由项的计算工作量大副系数自由项第四页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受对称荷载的简化计算可以简化为独立方程和少元联立方程，以便求解。简化目标使典型方程中尽量多的副系数和自由项为0，以方便典型方程的求解。第五页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受对称荷载的简化计算原结构FPFP基本结构之一对称的基本结构基本体系FPX2X2X3X3X1X1FP按力法步骤推导简化方法超静定次数为3。选择对称的基本结构。使基本未知力满足对称性或反对称性。写出典型方程。着重研究副系数dij和自由项DiP的计算，找出其中为0者。第六页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受对称荷载的简化计算求副系数：绘制图反对称弯矩图与对称弯矩图的图乘结果为0。即X2=1图（对称）图（对称）X3=1X1=1X1=1图（反对称）第七页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受对称荷载的简化计算求自由项：绘制MP图和图MP图（对称）FPFPX1=1X1=1图（反对称）第八页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受对称荷载的简化计算原典型方程简化为其中，（a）是独立方程，（b）是少元联立方程。方程组（a）中主系数d11不为零，因此X1=0。（a）（b）第九页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受对称荷载的简化计算原典型方程最终简化为（b）第十页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受对称荷载的简化计算叠加法绘内力图同理，最终变形也是对称的。×X2（对称）+=M（对称）MP图（对称）FPFPX2=1图（对称）图（对称）X3=1+×X3（对称）第十一页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受对称荷载的简化计算【小结】对称结构承受反对称荷载时的特征1.内力和变形是对称的；2.对称轴截面上只有对称的内力（X2和X3），而反对称内力为零（X1）。第十二页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受对称荷载的简化计算半结构法（进一步简化）奇数跨对称结构简化方法按结论1，只需取原结构一半的基本体系计算即可。这样，在对称轴截面上附加垂直于对称轴的定向支座，就能使半结构在受力和变形两方面都与原结构相符。奇数跨等效半结构原结构DH=0q=0DVFPFPllFPFPX2X3DVDH=0q=0lFPDH=0q=0DVFR=X3MR=X2第十三页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受对称荷载的简化计算偶数对称跨结构的半结构取法DH=0DV=0q=0原结构FPFPFPFRxMFRy偶数跨等效半结构取一半，中柱去除对称轴截面加固定支座中柱仅有轴力。第十四页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受对称荷载的简化计算【例1】利用对称性简化图示结构，绘其弯矩图。已知各杆EI相同，为常数。解：原结构n=2，取其等效半结构如图。半结构n=1，按力法计算其M图。最后补全另一半，得原结构弯矩图。8kN8kN3m3m3m3m3m3mABCDEEIEI8kN3m3m3mABE半结构8kNX1基本体系1X1=1X1=1图8kN12图M图(kNm)123.6原结构M图(kNm)12123.6第十五页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受对称荷载的简化计算【思考题】1.如何处理对称轴经过结构铰结点的情况？FP思考题1图FP等效半结构FP第十六页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受反对称荷载的简化计算第十七页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受反对称荷载的简化计算简化前提（结构对称）1.几何形状对称；2.刚度对称；3.约束形式对称。反对称荷载在绕对称轴对折后，其大小相等，作用点重合，但方向相反的荷载。坡屋面框架EI1EI1EI1EI1EI2EI2EI2EI2EI3EI3EI3EI3EI4EI4EI4EI4FP1FP2FP1对称结构承受反对称荷载FP2第十八页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受反对称荷载的简化计算简化目标使典型方程中尽量多的副系数和自由项为0，以方便典型方程的求解。第十九页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受反对称荷载的简化计算按力法步骤推导简化方法超静定次数为3。选择对称的基本结构。使基本未知力满足对称性或反对称性。写出典型方程。着重研究副系数dij和自由项DiP的计算，找出其中为0者。原结构FPFP对称的基本结构基本体系FPX2X2X3X3X1X1FP第二十页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受反对称荷载的简化计算求副系数：绘制图反对称弯矩图与对称弯矩图的图乘结果为0。即X2=1图（对称）图（对称）X3=1X1=1X1=1图（反对称）第二十一页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受反对称荷载的简化计算求自由项：绘制MP图和图X2=1图（对称）图（对称）X3=1MP图（反对称）FPFP第二十二页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受反对称荷载的简化计算原典型方程简化为其中，（a）是独立方程，（b）是少元联立方程。方程组（b）为线性齐次方程组，可证明系数行列式不为零，于是X2=0，X3=0。（a）（b）第二十三页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受反对称荷载的简化计算原典型方程最终简化为（a）第二十四页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受反对称荷载的简化计算叠加法绘内力图同理，最终变形也是反对称的。X1=1X1=1图（反对称）MP图（反对称）FPFP×X1（反对称）+=M（反对称）第二十五页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受反对称荷载的简化计算【小结】对称结构承受反对称荷载时的特征1.内力和变形是反对称的；2.对称轴截面上只有反对称的内力（X1），而对称内力为零（X2和X3）。第二十六页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受反对称荷载的简化计算半结构法（进一步简化）奇数跨对称结构简化方法按结论1，只需取原结构一半的基本体系计算即可。这样，在对称轴截面上附加沿对称轴的活动铰支座，就能使半结构在受力和变形两方面都与原结构相符。奇数跨等效半结构原结构FPFPllDHqDV=0X1FPFPX1DHqDV=0lFPFR=X1DHqDV=0第二十七页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受反对称荷载的简化计算偶数对称跨结构简化方法(a)原结构EIFPFPC(b)中柱看作双柱EI/2EI/2FPFPC(c)按奇数跨取半结构EI/2EI/2FPFPCCFQC(d)偶数跨等效半结构FPEI/2C取一半，中柱刚度折半还原时，中柱M、FQ乘2第二十八页，共三十页，编辑于2023年，星期三AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对称结构承受反对称荷载的简化计算【例1】利用对称性简化图示结构，绘其弯矩图。已知各杆EI相同，为常数。解：原结构n=1，取其等效半结构如图。该半结构为静定！直接按静力平衡条件计算，绘其弯矩图。最后，补全另一半，得原结构弯矩图。FPFPllC2lFPlC等效半结构半结构M图FPlC2FP