数学建模之决策分析

数学建模之决策分析第一页，共五十六页，编辑于2023年，星期三决策分类确定性决策非确定性决策不确定性决策风险决策2第二页，共五十六页，编辑于2023年，星期三（1）目标（2）至少有2个以上的行动方案（3）不同方案得失可计算（4）决策环境确定大致概率完全不确定3第三页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例1、某石油公司计划开发海底石油，有四种勘探方案A1,

A2,

A3,

A4可供选择。勘探尚未进行，只知可能有以下三种结果：S1:干井，

S2：油量中等，S3:油量丰富，对应于各种结果各方案的损益情况已知，应如何决策？

例2、某洗衣机厂，根据市场信息，认为全自动洗衣机应发展滚筒式，有两种方案。A1:改造原生产线，

A2：新建生产线。市场调查知，滚筒式销路好的概率为0.7，销路不好为0.3。两种方案下各种情况的损益情况已知，应如何决策？4第四页，共五十六页，编辑于2023年，星期三第一节：不确定性决策例1、电视机厂，99年产品更新方案：A1：彻底改型

A2：只改机芯，不改外壳A3：只改外壳，不改机芯问：如何决策？5第五页，共五十六页，编辑于2023年，星期三收益矩阵：高中低

S1S2S3(万元)A1201-6A2980

A3654事件方案6第六页，共五十六页，编辑于2023年，星期三(一)、乐观准则(最大最大法则)max[maxVij]ij选A1

S1S2S3Vi=max{Vij}A1201-620A29809A36546maxVi=20i7第七页，共五十六页，编辑于2023年，星期三(二)、悲观准则(最大最小法则)max[minVij]ij选A3

S1S2S3Vi=min{Vij}A1201-6-6A29800A36544maxVi=4ij8第八页，共五十六页，编辑于2023年，星期三选A1(三)、折衷准则(乐观系数准则)

加权系数α(0α1)max{α(maxVij)+(1-α)(minVij)}α=0.6ijj

S1S2S3Vi1=maxVi2=min加权平均

A1201-620-69.6A2980905.4A3654645.2max=9.6i9第九页，共五十六页，编辑于2023年，星期三选A2max{Vij}1nnj=1i(四)、等可能准则

S1S2S3Vi=Vij

A1201-65A29805A36545max=523231310第十页，共五十六页，编辑于2023年，星期三选A1(五)、后悔值准则(最小机会损失){max{Vij}-Vij}i

S1S2S3S1S2S3maxA1201-6071010A2980110411A3654143014min=1011第十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例：产品，成本30元/件，批发价35元/件，当月售不完－1元/件。每批10件，最大生产力40件/月(批量生产与销售)，应如何决策？

010203040Vi=Vij

000000010-1050505050190/520-2040100100100320/530-303090150150390/540-402080140200400/515SiAi12第十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期三第二节：风险决策(一)、期望值准则(1)、矩阵法例1

S1S2S30.30.50.2A1201-65.3A29806.7A36545.1SiPjAjPjVij选A213第十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例2

S1S2P(S1)=0.70.3A1500-200290A2-1501000195PjVij分析当α＝P(S1)为何值时，方案会从A1→A214第十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期三当P(S1)=0.8P(S2)=0.2时，E(A1)=0.8×500+(-200)×0.2=360E(A2)=0.8×(-150)+0.2×(1000)=80,仍A1P(S1)=0.6P(S2)=0.4时E(A1)=220E(A2)=310,选A215第十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期三一般：E(A1)=α×500+(1-α)(-200)=700α-200E(A2)=α×(-150)+(1-α)(1000)=-1150α+1000令E1=E2得α=0.65称α=0.65为转折概率

α>0.65选A1α<0.65选A216第十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期三(2)、决策树法方案分枝概率分枝决策点

标决策期望效益值方案点

标本方案期望效益值

结果点

标每个方案在相应状态下面的效益值概率分枝标自然状态的概率17第十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例1

S1S20.40.6A1100-20

A27510A35030电视机厂试生产三种电视机Ai(i=1,2,3)。市场大、小Sj(j=1,2)。生产哪种？18第十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期三解：100-207510503012340.60.40.60.40.6A1A2A3P(S1)=0.419第十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期三解：100-20751050303812823633840.60.40.60.40.6A1A2A3P(S1)=0.4多级决策问题20第二十页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例2、化工原料厂，由于某项工艺不好，影响效益，现厂方欲改革工艺，可自行研究(成功可能为0.6)，买专利(成功可能为0.8)。若成功，则有2种生产方案可选，1是产量不变，2是增产；若失败，则按原方案生产，有关数据如下。试求最优方案。21第二十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期三按原工艺方案生产价低0.1-100-200-300-200-300

中0.5050500-250价高0.4100150250200600买专利(0.8)自研(0.6)产量不变增产产量不变增产(万元)22第二十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期三解：0.123第二十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期三解：0.124第二十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期三最优决策

买入专利，成功则增产，失败则保持原产量。25第二十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期三(3)、贝叶斯法(后验概率法)(Bayes法)处理风险决策问题时，需要知道各种状态出现的概率：P(1)，P(2)，…，P(n)，这些概率称为先验概率。风险是由于信息不充分造成的，决策过程还可以不断收集信息，如果收集到进一步信息S，对原有各种状态出现概率估计可能会有变化，变化后的概率为P(jS)，此条件概率表示在追加信息S后对原概率的一个修正，所以称为后验概率。Bayes法就是一种后验概率方法26第二十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期三P(jSi)通过概率论中Bayes公式计算得出Bayes公式：

P(j)P(Sij)P(jSi)＝P(Si)其中

p(Si):预报为Si的概率，P(Si/j):状态j被调查预报为Si的概率27第二十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例1某钻井大队在某地进行石油勘探，主观估计该地区为有油(1)地区的概率为

P(1)＝0.5,没油(2)的概率为

P(2)＝0.5，为提高勘探效果，先做地震试验，根据积累资料得知：28第二十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期三有油地区，做试验结果好(F)的概率P(F1)＝0.9有油地区，做试验结果不好(U)的概率P(U1)＝0.1无油地区，做试验结果好(F)的概率P(F2)＝0.2有油地区，做试验结果不好(U)的概率P(U2)＝0.8求：在该地区做试验后，有油和无油的概率各为多少？29第二十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期三解：做地震试验结果好的概率P(F)＝P(1)P(F1)＋P(2)P(F2)

＝0.5×0.9+0.5×0.2=0.55做地震试验结果不好的概率P(U)＝P(1)P(U1)＋P(2)P(U2)

＝0.5×0.8+0.5×0.1=0.4530第三十页，共五十六页，编辑于2023年，星期三用Bayes公式求解各事件的后验概率：做地震试验结果好的条件下有油的概率

P(1)P(F1)0.459P(1F

)＝==P(F

)0.5511做地震试验结果好的条件下无油的概率

P(2)P(F2)0.102P(2F

)＝==P(F

)0.551131第三十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期三用Bayes公式求解各事件的后验概率：做地震试验结果不好的条件下有油的概率

P(1)P(U1)0.051P(1U)＝==P(U

)0.459做地震试验结果不好的条件下无油的概率

P(2)P(U2)0.408P(2U

)＝==P(U)0.45932第三十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例2某公司有资金500万元，如用于某项开发事业，估计成功率为96%，一年可获利润12％；若失败则丧失全部资金；若把资金全存在银行，可获得年利率6%，为辅助决策可求助于咨询公司，费用为5万元，根据咨询过去公司类似200例咨询工作，有下表：33第三十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期三实施结果投资投资合计咨询意见成功失败可以投资1542156次不宜投资38644次合计1928200次试用决策树方法分析该公司是否应该咨询？资金该如何使用？34第三十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期三T1：咨询公司意见：可以投资T2：咨询公司意见：不宜投资E1：投资成功E2：投资失败35第三十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期三

156P(T1)=×100%=0.78200

44P(T2)=×100%=0.22200P(E1)=0.96P(E2)=0.0436第三十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期三

154P(E1/

T1)==0.987156

2P(E2/

T1)==0.013156

38P(E1/

T2)==0.86544

6P(E2/

T2)==0.1354437第三十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期三P(T1)P(T2)42.72投资投资存银行存银行47.7238第三十八页，共五十六页，编辑于2023年，星期三答：求助于咨询公司如果投资公司给出可以投资意见则投资如果投资公司给出不宜投资意见则存入银行39第三十九页，共五十六页，编辑于2023年，星期三第三节：效用理论(1)、什么是效用值例：工厂价值200万元，发生火灾可能性0.001(千分之一)。厂长上保险：2500元不上保险：2000000×0.001=2000(元)例：厂长上：2500元(大病保险费)发：2000元(医药费)40第四十页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例：单位(1)、直接1万元(2)、抽奖3万元(0.5)0(0.5)1.5万元老王：(1)小李：(2)货币的主观价值——“效用值”衡量人们对货币的主观认识。41第四十一页，共五十六页，编辑于2023年，星期三①同样货币在不同的风险场合，其价值在同一个人感觉不一样。②同样货币，在不同的人来看，有不同的价值观。42第四十二页，共五十六页，编辑于2023年，星期三(2)、效用值计算及效用曲线表明决策者对不同风险的态度的变化曲线效用函数u(x),

0≤u(x)≤1x：货币值

u(x)：效用值求效用曲线方法：对比提问法43第四十三页，共五十六页，编辑于2023年，星期三对比提问法：设计两种方案A1，A2A1：无风险可得一笔金额X2A2：以概率P得一笔金额X3，以概率(1-P)损失一笔金额X1X1<X2<X3，u(xi)表示金额xi的效用值。44第四十四页，共五十六页，编辑于2023年，星期三在某种条件下，决策者认为A1，A2两方案等效。P·U(x1)+(1-P)U(x3)=U(x2)(

)P,x1,

x2,

x3为4个未知数。已知其中3个可定第4个。45第四十五页，共五十六页，编辑于2023年，星期三可以设已知x1,

x2,

x3，提问确定P。一般用改进的V－M法，即固定P=0.5,每次给出x1,

x3，通过提问定x2，用(*)求出U(x2)5点法，定5个点作图46第四十六页，共五十六页，编辑于2023年，星期三例1、在某次交易中，决策者认为：可承担的最大损失是-1000万元可获得的最大收益是2000万元

U(2000)=1U(-1000)=0提问(1)A1:无风险得？你觉得A1，A2等效？A2:以0.5可能得2000万，0.5可能损失1000万。回答1200万，0.5U(2000)+0.5U(-1000)=U(1200)

则U(1200)=0.547第四十七页，共五十六页，编辑于2023年，星期三提问(2)A1:无风险得？你觉得A1，A2等效？A2:以0.5可能得1200万，0.5可能损失-1000万。回答800万，0.5U(1200)+0.5U(-1000)=U(800)0.5×0.5=U(800)=0.25提问(3)A1:无风险得？你觉得A1，A2等效？A2:以0.5可能得800万，0.5可能损失-1000万。回答200万，U(200)=