探讨中小学数学教育教学的本质特征

第一页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三面朝大海

春暖花开衷心祝愿具有得天独厚的环境，又秉持不断追求高远、开放、包容、活力、生机、奋发、和谐的办学理念的深圳大学愈办愈好！第二页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三同样衷心祝愿深圳大学主办的广东省高中骨干教师培训班愈办愈好！

让培训班不断完善和扩大影响力，使之成为广东省中小学骨干教师教育教学水平提高和教学经验、研究成果交流的平台，在促进教师专业化发展方面发挥积极的作用！第三页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三尊敬的张院长暨各位领导、老师：大家好！感谢各位的莅临、指导。今天，我的报告的题目是试论中小学数学教育教学的本质特征、中心任务与实现途径的探索本报告将分为以下几部分：第四页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三一、采集、解读、推演、表达和验证信息的能力与素质的培养是数学教育教学的本质特征与中心任务二、探讨数学知识、方法的学习与数学解题能力培养的关系.本人提出的显微结构信息解题学主张从微观结构采集解题信息、探寻解题思路三、新课程下如何渗透与体现由动手操作上升到计算推理以及问题促进教学、一题沟通多模块第五页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三四、探讨高考数学“能力立意”的内涵、建构高考数学考试效标五、教师专业化成长六、风景往往在路上、熏陶常常于过程——师生探讨一道乘车座位的概率问题的过程实录七、获全国奖公开课《数学归纳法》教学实况点评（备注：五、六、七三部分为机动部分，有时间才讲）第六页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三本报告，一方面将和大家一起来探讨数学教育教学的本质特征、中心任务与实现途径；另一方面阐述教师的教育教学理论的学习、研究与实践是密不可分的，它们共同促进教师专业化成长与进步。本报告具体如下：敬请您多指导！第七页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三一、采集、解读、推演、表达和验证信息的能力与素质的培养是数学教育教学的本质特征与中心任务本文在2005年深圳市、广东省中学数学教学论文评比中被评为第一名、同年10月又获中国教育学会中学数学专业委员会第十二届学术年会论文奖.第八页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三

为何数学是基础教育中教学时间最长的课程之一？为何高考不分专业，均须开设数学考试科目？从数学考试中能考查与预测人的哪些方面的潜能与素质呢？教学中应如何科学地做到“传知与育人”的统一？数学教育教学的价值与功能何在？这些是人们探讨的重要问题与热门问题［7］～［11］．本文将阐述对数学教育教学的“双功能”的新认识，并运用此新认识阐述几个基本概念，辨析与加涅的认知学习理论学习结果分类的关系，广义知识分类及其学习第九页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三阶段的关系等；阐述此新认识对数学教育教学的指导意义．数学教育教学的“双功能”与任务“教学用的数学”（MathematicsforTeaching）［3］或说（中小学）数学教育教学的功能、教学内容、教学方式与手段等是具有内在要求的，（中小学）数学教育教学的内容是服从与服务于对人的培养的需要而选取、改编的数学内容、方法与思想等，它不是数学的全部内容或说它不是数学的全部知识、结论、方法等的第十页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三简单罗列与汇编，而是从教学目的出发,经教材编写专家改编与改造设计过的人类主流、基础性的数学知识、方法、精神、文化等．第十一页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三

这首先体现与说明：数学教育教学的功能之一，即传承人类主流、基础性的数学知识、方法、精神、文化等；此即常说的“传知”．数学教育教学的功能之二，即训练与培养受教育者学习规则（算法）、运用规则（算法）、发现结构与规律，探求解答的“处理数据、信息，进行计算和推理”［1］的采集、解读信息、推演、表达信息和验证信息（真伪）的能力与素质，此即“育人”．“处理数据、信息，进行计算和推理”，其实乃是“信息推演”或“推演信息”．

第十二页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三

所谓推演信息，就是运用（数学的或其他相关的）知识与方法、规则（算法），通过观察、采集数据与解读信息，进行分析、转化、计算、抽象、概括、综合、猜想、证明等，合情推理与演绎推理出新信息或原信息经等价变换后的新的、更简明、更深刻与更有效的表示或呈现形态（信息呈现的形态是多样的，既有图形性的信息，又有数据性的信息，还有符号与文字等多种形态）．“表达信息”即将所获得的信息用准确、简明的数学语言（符号、图形、图表或文字等）正确地表达出来；体现数学是一种描述第十三页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三和论证事物及其规律的语言．“验证信息”即检验、论证与证明信息的真伪；体现批判精神，体现数学教育教学训练与培养人的唯物主义观念、实事求是的精神、实践是检验真理的唯一标准的理念．现对2004年高考数学广东卷第22题解答过程进行推演信息过程分析：设直线L与椭圆相交于A、B两点，L又与双曲线相交于C、D两点，C、D两点三等分线段AB．求直线L的方程．第十四页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三通过例题研究探讨中小学数学教学的本质与任务第十五页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三

综上，此题的解答过程具体而生动地说明了，在一定意义下，数学解题的实质是（解题者）运用（其）所学的数学知识、方法，去采集与解读题设信息并运用所学的数学知识、方法去推演信息，进而进行信息的表达和验证．

这犹如一盘棋的各个棋子摆在对弈双方的面前，谁的“采集、解读棋盘上各棋子之间关系的信息”与“推演这些棋子间相互关系的信息”的能力高，谁就是赢家．

第十六页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三将数学教育教学的“传知”功能与其“育人”功能二者相比较，我们认为采集、解读、推演、表达和验证信息的能力与素质的训练与培养的“育人”功能居主要地位、核心地位，“其意义不仅仅是学习一种专业工具，而更是一种人的理性思维品格和思辩能力的教育，是聪明智慧的启迪，是潜在能力性和创造性的开发，其价值远非传统数学教育观相提并论的”；而传承人类主流、基础性的数学知识、方法、精神、文化的功能居次要地位、辅助地位，是为采集、解读、推演、表达和验证信息的能力与素质的训练与培养服务的．第十七页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三

在一定意义下，运用所学的（数学或相关的）知识、方法、规则（算法），去采集与解读（题设）信息并运用观察、归纳、猜想、证明、计算、分析、综合、转化等手段去推演、表达信息和验证信息的能力是人们认识与改造世界的核心能力与素质，此乃“审时度势”之能力与素质，同样其亦是加涅所言的“运用符号办事的能力”

［6］；第十八页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三

而数学知识在一定的意义与范围上是可以用“外存”的方式代替个体“内存”的．若一个人的采集、解读、推演、表达和验证信息的能力与素质较好，则他能运用所掌握的（数学或其他相关方面的）知识与方法，去推演新信息，去认识与解决新问题，去批判性地验证相关信息；就是他一时遗忘或缺少某一方面的知识或方法，在查阅和学会这些知识与方法，将“外存”调入“内存”后，他亦能迅速而有效地运用之去推演新信息、解答新问题、验证相关新信息．第十九页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三科学大家钱伟长20世纪70年代研制出我国当时最新型高性能电瓶即是一个有力的例证；反之，若一个人仅有一大堆问题所涉及到的知识与方法，但他缺乏推演信息的能力与素质，那他亦无法解答相关问题的．第二十页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三

在一定意义下，数学教育教学的这一“双功能”，乃是数学教育教学的实质，乃是数学教育教学的其他相关功能的基础和核心．这亦是数学教育教学的价值所在．第二十一页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三二、用数学教育教学“双功能”的新认识来阐述几个相关概念中学数学教育教学中，常论及能力，“能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新能力”［5］．以上五项能力，哪个是核心能力呢？我们认为思维能力，其次是创新能力．“思维能力，会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表达”［5］．第二十二页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三“观察”、“比较”、“分析”、“抽象与概括”、“推理”、“表达”等概念或术语大家经常使用，但其涵义应如何阐述呢？我们现用数学教育教学“双功能”的新认识来阐述之：“观察”，本质上就是“采集信息、解读信息”的过程与方法；“比较与分析”，本质上就是将“采集的信息、解读的信息”进行对比、加工，就是把所采集的信息“剖析为它的组成要素或部分，籍以弄清楚概念的相对层次，并使所表达的各概念之间的关系显示明白”［16］；第二十三页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三“抽象与概括”，本质上就是从诸多事物（所蕴涵的信息）中，舍弃个别的、非本质的属性（信息），抽出共同的本质的属性（信息）的过程与方法；其实质是提炼思考、研究的各个对象的信息的交集（共同的、本质的信息）；“推理”，乃是对已采集或解读的信息进行推演并须得出新信息，“会用演绎、归纳和类比进行推理”的着力点是“推理”，所谓“推理”既是一个动作过程，又是一个出结果的过程，即“推理”是运用“演绎”、“归纳和类比”去开展推演信息的过程，此动作过程所追求的或说其最终结果应是推演出新信息．第二十四页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三“综合”，“就是把诸要素和各组成部分合在一起，以形成各个片段、组成和要素加工的过程，把它安排成一个过去尚未明显存在的样式或结构”［16］；也就是说综合乃是对事物各个侧面、各个部分的信息进行整合以构建新的整体信息；“表达”，乃是等价转化信息的表现形态．综上，思维能力的核心与实质乃是“采集信息、解读信息，推演出新信息，准确表达信息并批判性地验证（检验、证明）所获信息的真伪”的能力．第二十五页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三“观察、比较、分析”是对信息的由表及里逐步深化的处理过程与方法；“综合、抽象与概括”是对信息的深层次的处理，并以获取改组或深层的新信息为标志的过程与方法．“演绎”是由信息“”的过程．“归纳”是将诸多的信息或多种表现形态的信息归纳为其“上位信息”．即由“”．“类比”是将信息A（数量、关系、结构、方法等）类推到与之具有某些共同点的而实质上又有差别的信息B中去．第二十六页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三用数学教育教学的“双功能”的新认识来阐述或讨论加涅的认知领域的学习中的学习的结果分类等问题加涅的学习结果分类包括认知、动作技能和态度三个方面［6］；

．而在认知领域的学习方面，加涅将认知领域的学习中的学习的结果分类如下：（一）、言语信息：如说出教师节是哪一天．第二十七页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三（二）、智慧技能（对外办事的能力）：1、辨别：如指出英文字母b、d、p的区别．2、具体概念：如在多个表达式中找出一元二次式．3、定义性概念：如理解弧长公式．4、规则：如用来计算梯形的面积．5、高级规则：如用简单的规则解决复杂的问题．第二十八页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三（三）、认知策略（对内调控的能力）：如运用逆推法证明几何问题．言语信息方面（陈述性知识），加涅所指的既是知识也是能力．这里的知识是回答世界是什么的知识，它对学生的能力要求主要是记忆．加涅的言语信息的学习，乃是“双功能”论中的“传知”．智慧技能（程序性知识），加涅所指的是运用符号对外办事的能力．这里的知识是回答怎么办的知识，它对学生的主要要求是理解和运用概念和规则（算法）的能力，进行逻辑推理的能力．其内部又分为五个亚类，由简单到复杂构成如下层级关系：第二十九页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三

基本学习形式：联想与连锁辨别辨别

（需要以联想与连锁为先决条件）概念（需要以辨别为先决条件）规则（需要以概念为先决条件）高级规则（需要以规则为先决条件）．加涅认为，这里的联想与连锁是指刺激与反应之间的一系列联系的形式，也可以说是条件反射学习，在此基础上形成最低级的智慧技能——辨别．辨别指发现事物或符号间的差别，在此基础上逐步形成概念、规则和高级规则．

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加涅所言的“智慧技能”在一定意义下乃是“双功能”论中的“采集、解读、推演与表达信息”的能力，“联想与连锁”、“辨别”、“概念”、“规则”、“高级规则”的层级关系不断推进与提升，从其思维的对象、手段与结果来看，均是“运用所学的概念、规则、算法来采集、解读信息、推演表达信息与验证信息”．第三十一页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三

认知策略（程序性的知识），加涅所指的是个体对认知过程进行调节与控制的能力，包括学习者控制自己的注意、选择性知觉、调节编码方式、提高记忆质量等能力，它是学生学会学习的核心成分．与智慧技能不同的是，它是一种对内调控的能力，而智慧技能是一种对外办事的能力．在一定意义下，加涅所言的认知策略亦是学习者通过调控自己的注意、选择性知觉来调控自己的“采集信息”的心智动作，“调节编码方式”、“提高记忆质量”等能力，亦是学习者调控“解读信息”、“推演信息”的心智动作．第三十二页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三四、用数学教育教学的“双功能”论进一步阐述“目标导向的教学设计”［6］；在数学教学中的应用时需要深化的认识与操作“目标导向的教学设计”［6］中的“六步三阶段两分支学与教”模型的学与教的步骤如下：

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综上，中小学数学教学既有传承人类主流、基础性的数学知识、方法、精神、文化等的功能与任务，更具有训练与培养受教育者学习规则（算法）、运用规则（算法），发现结构与规律，探求解答的“处理数据、信息，进行计算和推理”的采集、解读、推演、表达和验证信息的能力与素质的培养的功能与任务．此“双功能”乃是数学教育教学的实质与价值所在，乃是数学教育教学其他相关功能与功效的基础与核心．此“双功能”论的新认识，对数学教学中如何“传知与育人”具有积极的指导意义．第三十四页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三[参考文献][1]中华人民共和国教育部制订．全日制普通高级中学数学教学大纲[M]．人民教育出版社2002，4．

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第四十四页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三你能否想到一道更容易着手的相关题目？一道更为普遍化的题目？一道更为特殊化的题目？一道类似的题目？你能解出这道题的一部分吗？…”.

从以上可以看到“解题表”[1]突出的是题目！其分析问题、寻找解题思路的分析层面往往是以“题目”作为思考的单元和对象.那能否在其基础上更进一步呢？第四十五页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三大家知道，以往中医仅用“望闻问切”手段来诊断；而如今随着医学理论和技术的发展，中医并不是仅仅依赖传统的“望闻问切”；而是辅之以抽血化验等微观分析，且其结果往往是当今医学诊断的不可或缺的依据.同样，化学科学的发展也经历了从“分子层面”上升到“原子层面”的过程，并不断深入.第四十六页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三受此启示，我们在数学教学与数学解题中，可否从以题目为思考单元的“题目层面”进一步细化并上升到“题目的微观结构层面”并从这些微观结构中采集解题信息、探寻解题思路呢？文[7]写道：“采集、解读、推演、表达和验证信息的能力与素质的训练和培养是数学教育教学的本质特征与中心任务”,本文所言“公式”是中学数学所包含的概念、定理、公式、法则等基础知识的统称．“开口动脑记公式，悟其结构巧解题”[4]与“动手用心导公式、第四十七页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三悟其结构巧解题”主张以“结构分析”的观点，来寻找问题的结构与公式结构的联系，并以公式及公式的变形的结构为导向来转化与化归问题，进而解答问题；教学过程中，在处理数学知识、方法学习与数学解题能力培养之间的关系上，其为中小学师生们提供了一个可供参考的简明、可行的数学教与学的策略与途径．

现举例阐述笔者提出的从微观结构采集解题信息、探寻解题思路的显微结构信息解题学第四十八页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三第四十九页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三第五十页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三第五十一页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三第五十二页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三第五十三页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三第五十四页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三第五十五页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三第五十六页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三第五十七页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三第五十八页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三第五十九页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三更多例题,让我们进步研究和感受之!第六十页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三以上示例都是常见的问题,在中学数学各个章节中，它们是都俯首皆拾、举不胜举的.正是因为这些问题的常见性，所以，在一定程度上，这正好可以说明通过“开口动脑记公式”、“动手用心导公式”，进而达“悟其结构巧解题”，即本人所提出的“显微结构信息解题学”的普适性、可推广性，即其通性通法性.

人类最重要的知识是关于方法的知识.人们能否正确解决问题的关键就在于能否正确认识与把握问题的实质.

第六十一页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三中学数学教学的本质和核心环节是什么？笔者认为“采集、解读、推演、表达和验证信息的能力与素质的训练和培养是数学教育教学的本质特征与中心任务”[7]，笔者同时还认为数学教学的核心环节在于：一、讲授与引导学生学习所规定的数学知识、方法等；二、运用所学数学知识和方法去分析、解答相应数学问题或数学应用问题（实际问题）；三、在以上两点的基础上及教学过程中，培养学生的以“采集、解读、推演、表达和验证信息”为核心要素的第六十二页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三分析问题和解决问题的能力，并结合教学内容和受教育对象的特点，适时、适当、润物细无声地进行情感、态度和价值观等的教育，促进学生的健康成长与可持续发展.第六十三页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三《普通高中数学课程标准（实验）》[10]写到：“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。”.第六十四页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三笔者期盼所提出的“显微结构信息解题学”能从教学操作的技术层面上，为减少或杜绝题海战术的教学提供参考方法与途径，相信它有助于培养学生的从问题的题设、结论与知识、公式的微观结构上入木三分地采集解题信息，寻找与感悟其内在、深层的联系，并将问题的结构向知识、公式变形的结构转化，形成解题思路、巧妙解答问题的能力，这将有利于减轻学生负担，提高课堂教学效益，促进学生的发展.第六十五页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三3、运用一些教育教学理论解析此两副对联如下：3.1上联“开口动脑记公式”与“动手用心导公式”的理论解析乔治•波利亚（GeorgePlóya）曾说：“资源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本.”[1]．因此，形成良好的认知结构应成为教学的落脚点之一.本文所言“知识”即为加涅所言的“言语信息”，加涅所指言语信息的既是知识也是能力[2].在高中第六十六页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三数学教学中的“知识是指《全日制高级中学数学教学大纲》所规定的教学内容的数学概念、性质、公式、法则、定理及其中的数学思想和方法”[5].本文将之统称为“公式”.3．1．1、“开口”与“动手”此上联的“开口”，它既指学习者个体“开口”复述知识，而“开口”复述知识便是“促进陈述性知识巩固”的“复述策略”[2]（P232）的实施过程；又指学习系统中师与生、生与生的交流，通过反省来主动建构的过程.第六十七页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三在加涅的学习记忆模型[2]（P97）中，学习是学习者通过自己对来自环境刺激的信息进行内在的认知加工而获得能力的过程.信息进入短时记忆便被编码和贮存.如果学习者能进行复述，信息就能保持较长的时间，即进入下一个加工阶段；否则就被遗忘.贮存在长时记忆中的信息须经过“提取”才能用，提取的信息构成“反应发生”的基础.所以，“开口”这一主动操作过程与环节有助于学习者学习的信息输入、有助于形成陈述性知识的命题网络表征与程序性知识的产生式系统表征.第六十八页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三“动手”意味学习者对所学知识、方法的具体直接地操作.从广义上而言，“动手”包含了“开口”.由于“动手”是学习者除借助于自身的各种器官外，还向外借助纸、笔等工具来操作，这样使得记忆容量增大、记忆的稳定性获得保障，这为学习者相对于“动口”单一的操作而言能更长时间、更深入地操作、研究所学知识.第六十九页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三3．1．2“动脑”根据奥苏伯尔的同化理论[2]（P124），学习者在学习一段语言或文字符号的材料后，在他的头脑里留下的是这段材料的意义，且须在学习者认知结构中找到固着点，新的意义才能在学生的头脑中持久保持.进而形成各部分综合贯通的网络结构，即奥苏伯尔称之为认知结构.知识习得的关键是理解，而理解的实质是学习者既知道新的知识的内部联系，也清楚新旧知识的关系.因此，能有效地促进新旧知识间的联系与发现新知识内部联系的方法和技术，都能有效地促进这类知识的巩固[2]（P129）.第七十页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三“动脑”是“精加工策略”[2]的需要.“精加工”是通过在要记忆的材料上增加相关的信息来达到对新材料记忆的学习方法.“动脑”是学习者“主动加工的心理”动作与过程，学习者“具有主动加工的心理倾向”是“有效学习的条件”之一.“动脑”亦是学习者对（知识）信息进行编码，是重建与改组图示的重要环节与过程.第七十一页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三3．1．3、“记公式”与“导公式”明确强调“记公式”，这，首先是给学生一个导向，引导其“选择性知觉”，更加有效地指向或聚焦于关键内容与目标上；其次，“记公式”有利于学习者后期的提取应用这些知识与进一步改造之，促进知识的迁移与转化，并逐步形成技能.功效多样性的“导公式”.我们将公式的变形、推导与运用常理解或视为“导公式”.第七十二页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三“导公式”是“记公式”的发展，其内涵更加丰富、操作更加具有针对性、实用性．“导公式”，在新课阶段，是着眼于发现、探索与推导公式；在知识建构与复习巩固阶段，是着眼于建立知识间的联系与网络体系，加深理解、巩固记忆；在解题中，是着眼于将题设条件、问题结构，以公式或公式的变形（结构）为模型与转化的方向进行转化，以达运用公式解题.第七十三页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三

3．2下联“悟其结构巧解题”的解析3．2．1、“悟”此“悟”字，左边是“竖心旁”，表示思维器官，更意味着一个“思维”与“建构”的动作与过程；而右边的“吾”乃“我（们）”之意，表示学习的主体——学习者自我的思维与建构，表示师生双方共同合作互动来讨论、分析、研究“公式”，“加强知识发生、发展过程”的教学.第七十四页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三3．2．2、“其结构”“其结构”，代表思维的对象既是指已贮存于命题网络的陈述性知识（图示）、程序性知识所形成的“产生式表征系统”的结构，又指学习者所面临的问题的结构；并明确暗示与诱导学习者要学习与模仿“庖丁解牛”的技艺，其所见“非牛也”，而是“骨架”（结构）．另外，此“结构”亦是思维对象的数量、位置、关系等要素的统称．第七十五页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三3．2．3、“悟其结构”“悟其结构”，乃是在教师的指导下学习者通过思维、交流，深入挖掘“公式”所蕴涵的“程序性知识”，积极地通过变式练习，促进所掌握的“尚暂时处于陈述性知识状态中的程序性知识”转化为程序性知识，形成解题技能.第七十六页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三文[3]中有：“个体CPFS结构是知识理解的基础”，“个体CPFS结构有助于知识贮存和提取”，“个体CPFS结构融知识与方法于一体”等理论结论.文[6]中“具备优良的CPFS结构的学生更能合理、正确地表征问题，进而有效地解决问题.”

笔者提出的“悟其结构”便是一条帮助、引导学生自我建构“个体的CPFS结构”的具有可操作性且行之有效的途径与方法之一．第七十七页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三3．2．4、“悟其结构巧解题”“巧解题”，它着力于培养学生的“创新能力”.“创新能力”的培养，在一定意义下，就是培养学生的“全面、准确地采集信息”、“深刻而敏锐地解读题设信息”，进而“灵活与巧妙地推演信息”，以达解答问题．此乃落实“传知”与“育人”([7]).而这一培养过程中的核心环节与技术，乃是既“悟”“知识、方法”的结构，又敏锐而深刻地采集、解读题设信息，“悟”出学习者所面临的问题的“结构”以及将“知识结构”与待解答的问题的“结构”进行比对，进行联第七十八页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三想、猜想，找出联系，进而创造性地灵活解题．这也是《怎样解题表》[1]中所列“回到定义！”的具体化与可操作化．

“回到定义！”去寻找“定义”与问题二者“结构”上的关联．并“将问题向定义、公式、定理（的结构）转化、向已解过的问题或模型转化”，进而解答问题.

这也是“化归思想”的细化与可操作化．从这个意义讲，“悟其结构巧解题”乃是一条数学知识、方法学习与解题能力训练的教学策略，乃是一门新兴的“显微结构信息解题学”.第七十九页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三“悟其结构巧解题”亦是对“变式练习，知识转化为技能”、“技能在新的情境中的应用”[2](P221)的进一步深化与具体可操作化．开展怎样的“变式练习”，才能更加有效呢？引导学生“悟其结构”进而“巧解题”是一条较有效的方法与途径．首先，“悟其结构”的过程中，既促进学生将所习得的知识进行转化，又促进和发展学习者运用知识解决问题的技能．第八十页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三其次，文[9]中指出：“…‘过程性知识’…与提高学生的数学素养，培养学生的创新能力密切相关．”、“…留给学生自由活动的空间，他获得的就不仅仅是一个数学问题的解答…而是一个从整体意义上对数学活动的领悟…”．“悟其结构巧解题”，将文[9]中所言的“领悟”可操作化为对知识、方法及问题的结构进行寻找、解读与研究，这既利于“结果性知识”的学习，又利于解答问题；同时，亦从这一既有动作操作，又有思维操作的探求活动过程中，积极、有效地获取了“过程性知识”，增强了学习者的数学素养与创新能力．第八十一页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三

4、结束语加涅所指的智慧技能是运用符号对外办事的能力．它对学生的主要要求是理解和运用概念和规则（算法）的能力，进行逻辑推理的能力[2]．在一定意义下，此“智慧技能”乃是“采集、解读、推演表达与验证信息”的能力[7].“开口”与“动手”意味操作、“联想与连锁”；“动脑”意味辨别；“记公式”与“导公式”意味建构具体概念；“其结构”乃是形成与掌握“规则”；“悟其结构”，乃是形成与掌握“高级规则”，并运用之巧妙而灵活第八十二页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三地解决复杂的问题．这里的各步依序都是其下一步的先决条件．这表明此两副对联合乎加涅的“智慧技能”的层级关系[2]．

另一点，“下位学习”[2]中，学习者往往更容易理解与掌握所学习的知识与方法，而此两副对联正是先学、记、导、悟公式，再来运用与解题，这正合“下位学习”[2]理论．同样，这亦表明其蕴涵了数学教与学的程序性、顺序性．第八十三页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三笔者提出的“显微结构信息解题学”主张以“结构信息分析”的观点，深入到问题的微观结构信息中去寻找问题的结构与公式结构的联系，并以公式及公式的变形的结构为导向来转化与化归问题，进而解答问题.综上，教学过程中，在处理数学知识、方法学习与数学解题能力培养之间的关系上，“开口（动手）动脑记（导）公式、悟其结构巧解题”既是数学教与学的程序，又是数学学习与解题的诊断程序．第八十四页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三数学教学第一阶段是加强数学知识、方法的发生、发展的教学；第二阶段是教师引领与指导学生“开口（动手）动脑记（导）公式”建构知识结构；第三阶段，在变式练习中注意引导学生“悟其结构巧解题”，科学地达到将“陈述性知识上升与转变为程序性知识”，进而促进学生能力的提高；第四阶段，测评诊断与纠错阶段，当学生在测评环节出现不同程度（层级）的解题困难时，教师就要逐层往下朔源，查出症结所在并及时排除．数学教师在向学生“提供反馈与纠正”的过程中，不仅应让学生知道自己的对错，而还应第八十五页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三从“采集、解读、转化、推演、表达信息与验证信息”[7]的角度与高度来帮助学生分析自己出错的原因，并针对出错原因进行修改．故，数学教育教学的各步或各环节均需围绕“采集、解读、推演、表达信息与验证信息的真伪的能力与素质的的训练与培养”这一中心展开［7］．引导学生“开口动脑记公式，悟其结构巧解题”［4］．第八十六页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三在这个意义下，“动手用心导公式、悟其结构巧解题”为中小学师生们提供了一个简明、可行的数学教与学的策略与途径；愿“动手用心导公式、悟其结构巧解题”有助于同学们自己的解题思路来得更自然、顺畅、有利于增强教与学的效益！[参考文献][1]乔治•波利亚（GeorgePlóya）．怎样解题(HowtoSolveIt---ANewAspectofMathematicalMethod)[M]．阎育苏译，张公绪校，科学出版社，1982．[2]皮连生．学与教的心理学[M]．华东师范大学出版社，1997．[3]喻平、单墫．数学学习心理的CPFS结构理论[J]．数学教育学报，2003，12（1）：12-16．[4]袁智斌．数学学习与解题对联[J]．数学通讯，2004，（17）．第八十七页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三[5]教育部考试中心．2004普通高等学校招生全国统一考试语文、数学、英语、法语、德语、西班牙语、文理综合科考试大纲[M]．高等教育出版社2004年2月．[6]喻平．个体CPFS结构与数学问题表征的相关研究[J]．数学教育学报，2003，12（3）：10-12．[7]袁智斌．采集、解读、推演、表达和验证信息的能力与素质的培养是数学教育教学的本质特征与中心任务．中国教育学会中学数学专业委员会第十二届年会获奖论文，2005年10月长沙．[8]张奠宙，戴再平，唐瑞芬，李士锜．数学教育研究导引[M]．江苏教育出版社，1994年10月．P363--375．[9]涂荣豹，宁连华．论数学活动的过程知识[J]．数学教育学报，2002，11（2）：7-12．

[英文摘要与关键词]DiscussionontherelationshipbetweenMathematicsstudyandthecultivationofMathematicsproblemsolvingabilityYuanzhibin(ShenzhenForeignLanguagesSchool,YantianRoadYantianDistrict,Shenzhen,518083)第八十八页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三Abstract:WhenwearecopingwiththerelationshipbetweenMathematicsknowledgeandcultivationofMathematicsproblemsolvingability,GeorgePlóyaproposed:“Returntodefinition”[1]whileR.MGagnesaidthatverbalinformationwasnotonlyknowledge[2],butalsoability;andProf.YuPingandProf.ShanZunsuggested“TheCPFSStructureTheoryofMathematicsstudypsychology”[3].AllthesetheorieswaitfortheiropportunitiestobeintroducedintoMathematicsteaching,andtheycanfullydisplaysitsinstructioneffectstoteachingonthebasesoffurtherresearch.“Formula”appearsinthisthesisthecollectivenounofconcept,theorem,formula,andprincipleinmiddleschoolmathematics.Herearetwoantitheticalcoupletsdescribingthewayofproblemsolving:memorizingtheformula,understandingitsstructureandsolvingtheproblem;deducingtheformula,understandingitsstructureandsolvingtheproblem.Bothofthemisto“analyzethestructure”inordertoseektherelationshipbetweenthestructureoftheproblemandtheformula,andthenapplyformuladirectlyortransformthestructureoftheformulatosolvetheproblem.Andfinally,aconciseandfeasiblestrategyof第八十九页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三teachingandlearningmathematicsisproposedformiddleschoolteachersandstudentstohandletherelationshipbetweencopingwiththeMathematicsstudyandthecultivationofMathematicsproblemsolvingability.Inthefollowingthesis,Iwillusesomeeducationtheoriestoanalyzetheantitheticalcouplets.Keywords:Mathematicsstudyformulastructureproblemsolvingabilitycultivation第九十页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三三、新课程下如何渗透与体现由动手操作上升到计算推理以及问题促进教学、一题沟通多模块此文发表在2007年6月《中学数学教学参考》（高中版）（核心期刊）略有修改新标下实施的数学新课程分为多模块，这些模块是隔绝不通的，还是既各自独立又相互联系、共同构成新课程的有机整体呢？如何让学生感受到这些模块间的联系，使他们既见树木又见森林呢？第九十一页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三问题促进教学,一题沟通多模块!第九十二页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三小结：“以问题引导教学”.在此题的（解答）教学中，以问题促进教学，一题沟通多模块，并让学生经历由动手操作上升到计算推理，这将有益学习者在数学学习与解题中提高“采集、解读、推演、表达和验证信息的能力”【3】，提升数学学习成绩，促进学习者形成正确的数学观念.第九十三页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三另一方面，高三的教学是否只是练习、考试加试卷讲评呢？此题的（解答）教学过程生动而具体地展示了高三复习阶段的教学是新课程下的高中三年教学不可分的部分，它是三年教学的升华.高三的教学应该在深入研究新课标、深刻理解新课程理念的基础上，通过挖掘教材中蕴藏的丰富的数学教育、教学的资源，探出新方法，以达沟通各模块、各章节，使学生所学知识、方法能够融会贯通，使学生感受和逐步形成对高中新课程的整体性认识，第九十四页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三并注重引导学生亲身经历直观感知、观察发现、归纳推理、空间想象、抽象概括、符号表达、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构的思维过程及数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.尝试、倡导、推广并不断改进与坚持这样的数学教与学，相信我们的教学将会更有效、收获将会更丰富.第九十五页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三参考文献1、单墫等．普通高中课程标准实验教科书（必修）数学2[M]．江苏教育出版社，2004年8月．2、广东省考试中心.2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）语文、数学（理科）、英语、理科基础科考试大纲的说明[M].广东高等教育出版社，2006年12月3、袁智斌．采集、解读、推演、表达和验证信息的能力与素质的培养是数学教育教学的本质特征与中心任务[A]．中国教育学会中学数学专业委员会第十二届（2005年10月）年会获奖论文．4、袁智斌.由动手操作上升到计算推理[J]．中学数学教学参考（高中版），2007年6月第九十六页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三四、探讨高考数学“能力立意”的内涵、建构高考数学考试效标本文2005年8月发表在《中学数学教学研究》（华南师范大学）第九十七页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三1、内容摘要：高考数学的命题工作从追求“知识的覆盖率”，逐步转到“能力立意”［1］这是一个进步，也是一个发展，应予积极肯定和大力支持．诸多文章、书籍和文件都谈及或研讨高考数学“能力立意”，但笔者研读这些材料感到高考数学“能力立意”的内涵有待研究与界定．本文将论述此研究的必要性、界定高考数学“能力立意”的内涵、建构高考数学考试效标．2、关键词：高考数学，能力立意，考试效标第九十八页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三1、引子高考数学的命题工作从追求“知识的覆盖率”，逐步转到“能力立意”［1］这是一个进步，也是一个发展，应予积极肯定和大力支持．诸多文章、书籍和文件都谈及或研讨高考数学“能力立意”，但笔者研读这些材料感到高考数学“能力立意”的内涵有待研究与界定．本文将论述此研究的必要性、界定高考数学“能力立意”的内涵、建构高考数学考试效标．现论述如下：第九十九页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三2、进一步研究高考数学能力立意的必要性从高考数学科考试的性质与要求出发，看研究与界定高考数学能力立意命题原则的内涵与建构高考数学考试效标的必要性．“普通高等学校招生全国统一考试是由…的考生参加的选拔性考试，高等学校根据成绩，…择优录取，因此，高考具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度”［1］，“数学科考试，…既重视考查中学数学知识掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能”［1］．第一百页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三“数学科的考试，按照‘考查基础知识的同时，注重考查能力’的原则，确立以能力立意命题的指导思想，增加应用性和能力型的试题，加强素质的考查，融知识、能力与素质于一体，全面检测考生的数学素养”［1］．以上出现了几个关键词：“知识”、“能力”、“素质”、“潜能”、“选拔性考试”等．在《考试大纲》［1］中，对“知识”给予了明确界定（详见［1］的P139－140，在此不再复述）．对“能力”亦在［1］中P140给予了说明与界定。第一百零一页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三如“能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识．…”［1］研读《考试大纲》［1］，笔者总感到《考试大纲》［1］对“能力”的说明与界定尚有待深化．比如“思维能力：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括”，试问“分析、综合、抽象与概括”什么？“会用演绎、归纳和类比进行推理”，试问“推理”什么？如何测量与评价？第一百零二页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三由于《考试大纲》［1］对“能力”的说明与界定尚有待深化，尚存有待研究之处，所以在《考试大纲》［1］的命题基本原则中便出现了一些表层的说明与做法．如“在知识网络交汇点设计试题，使考查达到必要的深度”，难道“知识网络交汇点”就是“能力”的本质体现、必要条件或载体吗？一道优美的平面几何题或一道数论难题被解题高手深透研究后，仅用简明的知识与巧妙的方法便给出解答，难道就不是能力强的体现吗？第一百零三页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三又如“…注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度”［1］，这一提法对吗？从哲学上讲，事物的矛盾既具有矛盾的普遍性，又具有矛盾的特殊性，“注意通性通法”是对的，但绝不能由此就“淡化特殊技巧”．所谓“技巧”，就是相对“通性通法”而言的特殊方法；“技巧”往往是基于人对问题深刻剖析，准确认识后再采取的行之有效且事半功倍的巧妙之法．如若在肩负选拔人才之重任的高考（命题）中，都一味淡化“技巧”，那你如第一百零四页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三何能甄别与选拔优秀人才呢？故一定的“特殊技巧”应在高考数学中占有一席之地，这首先是基于高考是选择性考试，有“技巧”的施展空间，才能让考生们八仙过海，各显神通，才能真正体现区分度，落实与实现高考的选拔功能；其次，“矛盾的特殊性”亦要求应针对问题的特殊性“对症下药”，巧妙解答．庖丁解牛的高妙技法的实质乃是其“以无厚而入有间”方才达“游刃有余”，进而在既注重通性通法，又提供灵活运用技巧解题的“空间”，才能真正“有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度”．第一百零五页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三再者，笔者对近些年高考试卷上附列一些数学公式的做法颇不理解、不认同．这是因为笔者认为这种做法有悖于加涅的学习结果分类［6］．根据加涅的理论，言语信息（陈述性知识）既是知识也是能力，从而对数学知识（公式、定理等）的掌握情况的考查，亦是高考数学的测评指标与效标［2］．故高考数学试卷上附列数学公式是不当的，应予及时调整．再如“对能力的考查，强调‘以能力立意’，就是以数学知识为载体，从问题入手，把第一百零六页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料”［1］．这一描述过于笼统，缺乏可操作性。因为一名考生看到这一说明时，很难准确把握“以能力立意”的内涵，教师们对“以能力立意”亦会有各自不同的理解而导致教学操作千差万别．其原因便是高考数学科所要测评的“能力”的内涵有待进一步研究与界定；高考数学的“以能力立意”的命题原则有待深化、细化与量化并需建构高考数学考试效标［2］．第一百零七页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三3、探讨高考数学命题的“以能力立意”的内涵高考数学命题其实就是为了“既重视考查中学数学知识掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能”［1］而设计、命制的一份测量量表（试卷）．那么为设计、命制这样一份测量量表，就必须明确我们欲测量的“潜能”是什么以及如何测量与评价．“需要考查测验到底测量了哪些心理属性，对这些心理属性能够测量到什么程度，这是测验的有效性．为了估计测验的有效性，需要建立参照标准．我们常常把反映某种属性的有效客观标准称作效标”、“一个测验的有第一百零八页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三效性必须着眼于该测验本身所具有的独特的目的、功能和使用范围”［2］中小学数学教育教学的本质特征是什么？中小学数学教育价值何在？为何数学是基础教育中教学时间最长的一门课程？为何高考不分专业，均须开设数学考试科目？从数学考试中能考查与预测人的哪些方面的潜能与素质呢？数学教育教学的主要功能是什么？数学教育教学的功能之一：传承人类主流、基础性的数学知识、方法、精神、文化等；此即人们常说的“传知”．第一百零九页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三数学教育教学的功能之二：训练与培养受教育者学习规则（算法）、运用规则（算法）、发现结构与规律，探求解答的“处理数据、信息，进行计算和推理”［4］的采集、解读信息、推演、表达信息和验证信息（真伪）的能力与素质，此即“育人”．所谓推演信息，就是运用（数学的或其他相关的）知识与方法、规则（算法），通过观察、采集数据与解读信息，进行分析、转化、计算、抽象、概括、综合、猜想、证明等，演绎、推理出新信息或原信息经等价变换后的新的、更简明、更深刻第一百一十页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三与更有效的表示或呈现形态（信息呈现的形态是多样的，既有图形性的信息，又有数据性的信息，还有符号与文字等多种形态）．“表达信息”即将所获得的信息用准确、简明的数学语言（符号、图形、图表或文字等）正确地表达；体现数学是一种描述和论证事物及其规律的语言．“验证信息”即检验、论证与证明信息的真伪；体现批判精神，体现数学教育教学训练与培养人的唯物主义观念、实事求是的精神、实践是检验真理的唯一标准的理念．第一百一十一页，共一百二十四页，编辑于2023年，星期三在一定意义下，运用所学的（数学或相关的）知识、方法、规则（算法），去采集与解读（题设）信息并运用观察、归纳、猜想、证明、计算、分析、综合、转化等手段去推演、表达信息和验证信息的能力是人们认识与改造世界的核心能力与素质，此乃“审时度势”之能力与素质，同样其亦是加涅所言的“运用符号办事的能力”［6］；这一能力在一定意义下就是《考试大纲》［1］所欲考查的“能力”