数值分析线性插值与二次插值公式

数值分析线性插值与二次插值公式第一页，共十八页，编辑于2023年，星期三引例1.正弦函数

sinx的计算问题2/18(1)线性函数逼近

y0=x(2)泰勒级数逼近

y1(x)=x–x3/3!+x5/5!(3)抛物线逼近

y2=4x(π–x)/π2第二页，共十八页，编辑于2023年，星期三(1)复杂函数的计算;(2)函数表中非表格点计算(3)光滑曲线的绘制;(4)提高照片分辩率算法(5)定积分的离散化处理;(6)微分方程的离散化处理;(7)积分方程的离散化处理;插值方法的应用:3/18第三页，共十八页，编辑于2023年，星期三引例2.误差函数x00.50001.00001.50002.00002.50003.0000y00.52050.84270.96610.99530.99961.0000当

x∈(0.5,1)时当

x∈(1,1.5)时4/18第四页，共十八页，编辑于2023年，星期三已知f(x)在点xi上的函数值

yi=f(xi),(i=0,1,2,···,n)则称

P(x)为

f(x)的

n次代数插值多项式.称

x0,x1,······,xn为

插值结点;

称

f(x)为被插值函数.如果

P(x)=a0+a1x+···+anxn满足:P(xk)=yk(k=0,1,…,n)设

f(x)∈C[a,b],取点

a≤x0＜x1＜···＜xn≤b代数插值问题插值函数插值条件5/18第五页，共十八页，编辑于2023年，星期三点,则满足插值条件

P(xk)=yk(k=0,1,…,n)的n次插值多项式

P(x)=a0+a1x+……+anxn存在而且是唯一的。证明:由插值条件P(x0)=y0P(x1)=y1··············P(xn)=yn定理5.1若插值结点x0,x1,…,xn

是(n+1)个互异6/18第六页，共十八页，编辑于2023年，星期三方程组系数矩阵取行列式故方程组有唯一解.从而插值多项式P(x)存在而且是唯一的.例5.1已知误差函数在四个点处函数值

x0 0.6000 1.2000 1.8000Erf(x)

0 0.6039 0.9103 0.98917/18第七页，共十八页，编辑于2023年，星期三构造3次多项式P(x)逼近

Erf(x)设P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,令

P(xk)=Erf(xk)得求解,得a0=0,a1=1.293,a2=-0.5099,a3=0.0538所以,P(x)=1.293x–0.5099x2+0.0538x38/18第八页，共十八页，编辑于2023年，星期三x=0:.6:1.8;y=erf(x);x=x';y=y';A=[ones(4,1)xx.^2x.^3];p=A\y;a0=p(1);a1=p(2);a2=p(3);a3=p(4);t=0:.2:2;u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;plot(x,y,'o',t,u)MATLAB数值实验9/18第九页，共十八页，编辑于2023年，星期三过两点直线方程求满足:

L(x0)=y0,L(x1)=y1的线性函数

L(x)已知函数表

x

x0x1

f(x)y0

y1例求的近似值六位有效数10.723810/18第十页，共十八页，编辑于2023年，星期三记当x0≤x≤x1时0≤l0(x)≤1,0≤l1(x)≤1x

x0

x1l0(x)10l1(x)01[y0

y1]=[10]y0+[01]y1线性插值函数的对称形式11/18第十一页，共十八页，编辑于2023年，星期三二次插值问题x

x0x1x2f(x)y0

y1

y2已知函数表求函数

L(x)=a0+a1x+a2

x2满足:L(x0)=y0,L(x1)=y1,L(x2)=y2[y0

y1

y2]=[100]y0+[010]y1+[001]y2L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，12/18第十二页，共十八页，编辑于2023年，星期三二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，x x0 x1 x2l0(x) 1 0 0l0(x)1 0 0l1(x)0 1 0l2(x) 00 1L(x) y0 y1 y2

x x0x1 x213/18第十三页，共十八页，编辑于2023年，星期三二次插值基函数图形取

x0=0,x1=0.5,x2=1l0(x)=2(x–0.5)(x–1);l1(x)=–4x(x–1);l2(x)=2(x–0.5)x14/18第十四页，共十八页，编辑于2023年，星期三二次插值的一个应用——极值点近似计算二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，极值点近似计算公式15/18第十五页，共十八页，编辑于2023年，星期三拉格朗日插值公式插值条件:L(xk)=yk(k=0,1,…,n)其中,第k(k=0,1,…，n)个插值基函数或:16/18第十六页，共十八页，编辑于2023年，星期三Runge反例:,(-5≤x≤5)L10(t)

f(t)

f(x)取xk=–5+k

计算:f(xk)(k=0,1,…,10)构造L10(x).取:tk=–5+0.05k(k=0,1,…,200),计算:L10(tk)17/18第十七页，共十八页，编辑于2023年，星期三x=-5:5;y=1./(1+x.^2);t=-5:0.05:5;y1=1./(1+t.^2);n=length(t);fori=1:nz=t(i);s=0;fork