2022年考研数学模拟试题(数学一)(附答案)

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参考答案

一、挑选题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，惟独一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）

1.设()fx在(,)-∞+∞内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）.（A）sin()fx'（B）

sin()xtftdt??

（C）0

(sin)xftdt?（D）0

[sin()]x

tftdt+?

2.设1

1

1e,0,()1e1,

0,xx

xfxx?

+?≠?=?-??=?则0x=是()fx的（）.

（A）可去间断点（B）跳动间断点（C）其次类间断点（D）延续点3.若函数()fx与()gx在(,)-∞+∞内可导，且()()fxgx-（B）()()fxgx''的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比（比例系数0k>），求球体的质量M及球体绕z轴旋转的转动惯量zI.18.（本题满分11分）设函数()fx在[2,4]上延续，在(2,4)内可导，且

4

23

(2)(1)()fxfxdx=-?，证实：存在(2,4)ξ∈，使得2()

()1ffξξξ

'=

-.19.（本题满分10分）

（数学一）证实：在右半平面0x>上，曲线积分

22(4)()4L

xydyxydx

xy++-+?与路径无关，并求一个二元函数(,)uuxy=，使得22

(4)()4xydyxydx

duxy++-=+.

20.（本题满分11分）

设二维随机向量(,)XY联合概率密度为,0,

(,)0,yxexyfxy-?=-（B）()()fxgx''的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比（比例系数0k>），求球体的质量M及球体绕z轴旋转的转动惯量zI.解由题设知，球体Ω

上任一点的密度(,,)xyzρ=

，

球体的质量(,,)MxyzdVΩ

Ω

ρ=

=???

22cos2220

4

sin3

akddrdrkarπ

π?θ??π==?

??

.

转动惯量222

2

()(,,)zIxyxyzdVΩ

Ω

ρ=

+=???

22cos33420

16

sin35

addkrdrkaπ

π?θ??π==

?

??

.18.（本题满分11分）设函数()fx在[2,4]上延续，在(2,4)内

可导，且4

23

(2)(1)()fxfxdx=-?，证实：存在(2,4)ξ∈，使得2()()1ffξξξ

'=

-.证令2

()(1)()Fxxfx=-，则2

()2(1)()(1)()Fxxfxxfx''=-+-，由积分中值定理知，存在[3,4]c∈，使得

4

223

(2)(1)()(1)()fxfxdxcfc=-=-?，即(2)()FFc=，

由罗尔定理知，存在(2,)(cξ∈?，使得()0Fξ'=，即

22(1)()(1)()0ffξξξξ'-+-=，即2()

()1ffξξξ

'=-.19.（本题满分10分）

（数学一）证实：在右半平面0x>上，曲线积分

22(4)()4L

xydyxydx

xy++-+?与路径无关，并求一个二元函数(,)uuxy=，使得22

(4)()4xydyxydx

duxy++-=

+.

证2222

4,44xyxy

PQxyxy

-+=

=++，2222

222222

42(4)48(4)(4)Qxyxxyyxyxxxyxy?+-+--==?++，2222

222222

(4)8()48(4)(4)Pxyyxyyxyxyxyxy?-+==

?++，在右半平面0x>上，

QPxy??=??，故曲线积分22(4)()4Lxydyxydx

xy++-+?与路径无关.解所求函数(,)22

(1,0)

(4)()4xyxydyxydx

uxy

++-=

+?

，取积分路径为(1,0)到(,0)x，再到(,)xy的折线段，则

22221

00

1(4)121ln[arctanln(4)]422y

xyxydyyudxxxyxxyx+=+=++++?

?22121arctanln(4)22

yxyx=

++.20.（本题满分11分）

设二维随机向量(,)XY联合概率密度为,0,(,)0,yxexyfxy-???条件概率密度0,,

(,)()(),.

YXxyXyxfxyfyxfxeyx-≤?==?>?

⑵ZXY=+的取值范围为(0,)+∞当0z≤时，()0ZFz=，

当0z>时，{}{}()(,)Zxyz

FzPZzPXYzfxydxdy+≤=≤=+≤=

??

2220

()zzzzxzxy

y

xxzx

x

dxxedydxxedyxeedx===-??

??

?

220

zzx

z

xxedxe

xedx--=-??

2

0,0()()(1),02

zZzzfzFzzeez-

-≤??'==?-+>??21.（本题满分11分）设1,

,nXX是取自总体X一个容易随机样本，X的概率密度为

ln,0,()010,0,

xxfxxθθθ?->=<<?

≤?，

⑴求未知参数θ的矩估量量；

⑵求未知参数θ的最大似然估量量.解⑴1()lnEXxfxdxθ+∞-∞

=

=-?

，令11lnX

XEXeθθ

-==-

?=，所以θ的矩估量为1

?X

eθ

-=.

⑵似然函数11

()ln(ln)(ln)n

i

n

ixxxnLθθθ

θθθθ=∑=--=-，

1

ln()()lnln(ln)n

iiLxnθθθ==+-∑

1

ln()1()0lnniiLn

xθθθθθ=?=+=?∑，解得1lnxθ=-，1

xeθ-=，

所以θ的最大似然估量为x

e1-

∧=θ.

22.（11分）已知两个向量组()()T

T

121,2,3,1,0,1αα==与()()T

T

121,2,,4,1,5tββ=-=.⑴t为何值时，两个向量组等价？

⑵两个向量组等价时，求出它们之间的线性表示式.解⑴对矩阵()1212,,,Aααββ=作初等行变换，得

()1212111411

14,,,2022~024********Attααββ--??????

==--????-+-????

11

14~02470010t-???--??-??

，当1t=时，12112(,,)(,)rrααβαα=，12212(,,)(,)rrααβαα=，12,ββ可由12,αα线性表示，且12112(,,)(,)rrββαββ=，12212(,,)(,)rrββαββ=，12,αα可由12,ββ线性

表示，即两个向量组等价.

⑵两个向量组等价时，

1101

211147~0247~012

200000000A?

??-????

??

??????

??

?

，故112212172,22βααβαα=-=

+，1122127412,9999

αββαββ=+=+.23.（11分）已知二维向量α不是二阶方阵A的特征向量.

⑴证实,Aαα线性无关；

⑵若2

60AAααα+-=，求A的所有特征值，并推断A能否与对角矩阵相像.⑴证设120kkAαα+=，则20k=，否则1

2

kAkαα=-

，α是的A特征向量，与题设冲突，将20k=代入120kkAαα+=，得10kα=，又0α≠，故10k=，所以,Aαα线性无关；

⑵解2

2

60(6)0AAAAαααα+-=?+-=

(