2022年高考数学试题分类汇编函数与导数

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐2022年高考数学试题分类汇编函数与导数2022年高考数学试题分类汇编函数与导数

一．挑选题：

1.（全国一1

）函数y=的定义域为

（C）A．{}

|0xx≥

B．{}

|1xx≥C．{}{}|10xx≥

D．{}

|01xx≤≤

2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时光

t的函数，其图像可能是（A）

3.（全国一6）若函数(1)yfx=-的图像与函

数

l1y=的图像关于直线yx=对称，则()fx=

（B）A．21

xe

-

B．2x

e

C．21

xe

+

D．22

xe

+

4.（全国一7）设曲线11

xyx+=

-在点(32)，处的切线与直

线10axy++=垂直，则a=（D）A．2

B．

12

C．12

-

D．2-

5.（全国一9）设奇函数()fx在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f=，则不等式()()

0fxfxx

-->

B．bac>>

C．cab>>

D．bca>>

10.（北京卷3）“函数()()fxx∈R存在反函数”是“函

数()fx在R上为增函数”的（B）A．充分而不须要条件B．须要而不充分条件C．充分须要条件

D．既不充分也不须要条件

11.（四川卷10）设()()sinfxxω

?=+，

其中0ω>，则()f

x是偶函数的充要条件是(D)

（Ａ）()01f=

（Ｂ）()00f

=

（Ｃ）()'

01f

=

（Ｄ）()'

00f

=

12.（四川卷11）设定义在R上的函数()

f

x满足

()()213f

xfx?+=，若()12

f=，则

()99f=(C)

（Ａ）13（Ｂ）2（Ｃ）

132

（Ｄ）

213

13.（天津卷3

）函数1y=+04x≤≤）的反函数

是（A）

（A）2

(1)yx=-（13x≤≤）（B）2

(1)yx=-（04x≤≤）（C）2

1yx=-（13x≤≤）（D）21yx=-（04x≤≤）

14.（天津卷10）设1a>，若对于随意的[,2]xaa∈，都有2

[,]yaa∈满足方程loglog3aaxy+=，这时a的取值集合为（B）

（A）2{|1}aa-

B．3a-

D．13

a0时

()fx是单调函数，则满足3

()4

xfxfx+??

=

?+??

的全部x之和为（C）

A．3-

B．3

C．8-

D．8

二．填空题：

1.（上海卷4）若函数f(x)的反函数为f－1(x)＝x2（x＞0），则f(4)＝2

2.（上海卷8）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)＞0的x的取值范

围是(－1,0)∪(1,+∞)

3.（上海卷11）方程x2+2x－1＝0的解可视为函数y＝x+2的图像与函数y＝1

x

的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0

的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(xi,4

xi

)（i＝

1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是(－∞,－6)∪(6,+∞);4.（全国二14）设曲线ax

ye

=在点(01)，处的切线与直线

210xy++=垂直，则a=．2

5.（北京卷12）如图，函数

()fx的图象是折线段ABC，其中ABC

，，的

坐

标

分

别

为

(04)(20)(64)，，，，，，则

((0))

ff=

2；0

(1)(1)

limxfxfx

?→+?-=?－2．（用数

字作答）

6.（北京卷13）已知函数2

()cosfxxx=-，对于

ππ22??

-???

?，上的随意12xx，，有如下条件：①12xx>；

②2

2

12xx>；③12xx>．其中能使12()()fxfx>恒成立的条件序号是②．

7.（北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为小学的一块空地设计植树计划如下：第k棵树种植在点

()kkkPxy，处，其中11x=，11y=，当2k≥时，

111215551255kkkkkkxxTTkkyyTT--??--?

????=+--?????????????

--?????

=+-???????

?

，．()

Ta表示非负实数a的整数部分，例如(2.6)2

T=，(0.2)0T=．按此计划，第6棵树种植点的坐标应为(12)，；第2022棵树种植点的坐标应为(3402)，

．8.（安徽卷13）函

数2()log(1)

fxx=-的定义域

为．[3,)+∞9.（江苏卷8）直线12

yxb=

+是曲线()

ln0yxx=>的一条切线，则实数b＝．ln2－1．10.（江苏卷14）()331fxaxx=-+对于[]

1,1x∈-总有()f

x≥0成立，则a=．4

11.（湖南卷13）设函数()yfx=存在反函数

1

()yf

x-=,且函数()yxfx=-的图象过点(1,2),则

函数1

()yfxx-=-的图象一定过点.(-1,2)

12.（湖南卷14

）已知函数()1).1fxaa=

≠-（1）若a＞0,则()fx的定义域是3,

a??-∞??

?

(2)若()fx在区间(]0,1上是减函数，则实数a的取值

范围是.()(],01,3-∞?

13.（重庆卷

13)已知1

249

a=

(a>0)，则

23

loga=.3

14.（浙江卷15）已知t为常数，函数txxy--=22

在

区间[0，3]上的最大值为2，则t=___。1

15.（辽宁卷13）函数100

x

xxyex+，()0fx'=

求得两根为3

ax-±=

即

()fx

在

3a?∞??

?

，递增

，

33aa?+

??

?

，递减，

3a??

-++∞

????

递增

（2

）2

33133-?-?

，且2

3a>解得：74a≥

2.（全国二22）．（本小题满分12分）设函数sin()2cosxfxx

=

+．

（Ⅰ）求()fx的单调区间；

（Ⅱ）假如对任何0x≥，都有()fxax≤，求a的取值范围．解

：

（

Ⅰ

）

2

2

(2cos)cossin(sin)

2cos1()(2cos)

(2cos)

xxxxxfxxx+--+'=

=

++···············································································2分

当2π2π2π2π33

kxk-

-

，即()0fx'>；

当2π4π2π2π33

kxk+

．因此()hx在[)0arccos3a，上单调增强．故当(0arccos3)xa∈，时，()(0)0hxh>=，即sin3xax>．于

是

，

当

(0arxa∈，时

，

si

nsi

n

()2cos3

xxfxaxx

=

>

>+．

当0a≤时，有π1

π0222fa??=>

?

??

≥．因此，a的取值范围是

13

??

+∞????

，．·······························································3.（北京卷18）．（本小题共13分）已知函数2

2()(1)

xbfxx-=

-，求导函数()fx'，并确定

()fx的单调区间．

解：2

4

2(1)(2)2(1)

()(1)

xxbxfxx'=

-

3

222(1)xbx-+-=-3

2[(1)](1)

xbx--=-

-．

令()0fx'=，得1xb=-．

当11b-时，函数()fx在(1)-∞，上单调递减，在(11)b-，上单调递增，在(1)b-+∞，上单调递减．当11b-=，即2b=时，2

()1fxx=

-，所以函数()fx在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递减．

4.（四川卷22）．（本小题满分14分）已知3x=是函数()()2ln110fxaxxx=++-的

一个极值点。（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数()f

x的单调区间；

（Ⅲ）若直线yb=与函数()yfx=的图象有

3个交

点，求b的取值范围。【解】：（Ⅰ）由于()'

2101afxxx

=

+-+

所以()'

361004

af

=

+-=因此16a=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()(

)()2

16ln110,1,f

xxxxx=++-∈-+∞

()()2

'

2431xxf

xx

-+=

+

当()()1,13,x∈-+∞时，()'

0fx>

当()1,3x∈时，()'

0fx-=

()()2

13211213f

e

f--恒成立．

当0x时，()0fx'>．因此函数()fx在[1,1]-上的最大值是(1)f与(1)f-两者中的较大者．

为使对随意的[2,2]a∈-，不等式()1fx≤在[1,1]-上

恒成立，当且仅当1

11))1((ff≤-≤???，即

22baba

≤--≤-+??

?

，在[2,2]a∈-上恒成立．

所以4b≤-，因此满足条件的b的取值范围是

(,4]-∞-．

6.（安徽卷20）．（本小题满分12分）设函数

1()(01)

lnfxxxxx

=

>≠且（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；

（Ⅱ）已知1

2a

xx>对随意(0,1)x∈成立，求实数a的取值范围。

解(1)'

2

2

ln1(),lnxfxxx

+=-

若'

()0,fx=则

1x

=

列表如下(2)在1

2a

xx

>两边取对数,得1ln2lnaxx

>,因为01,x

(1)

由(1)的结果可知,当(0,1)x∈时,1()()fxfee

≤=-,

为使(1)式对全部(0,1)x∈成立,当且仅当

ln2

ae>-,即

ln2ae>-

7.（山东卷21）（本小题满分12分）已知函数

1()ln(1),(1)

n

fxaxx=

+--其中n∈N*,a为常数

.

（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；

（Ⅱ）当a=1时，证实：对随意的正整数n,

当x≥2时，有f(x)≤x-1.

（Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}，

当n=2时，2

1()ln(1),(1)

fxaxx=

+--

所以2

3

2(1)().

(1)

axfxx--=

-（1）当a＞0时，由f(x)=0得

11x=+

＞1

，21x=-

＜

1，

此时f′（x）=

123

()()

(1)

axxxxx.

当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减；当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0,f(x)单调递增.

（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)

无极值.

综上所述，n=2时，

当a＞0时，f(x)在1x=+

处取得微小值，极

小值为2(1(1ln

).2

afa

+

=

+

当a≤0时，f(x)无极值.

（Ⅱ）证法一：由于

a=1,所以

1()

ln(1).

(1)

n

fxxx

=+--当n为偶数时，

令1()1ln(1),(1)

n

gxxxx=--

则g

′

（

x

）

=1+

1

1

12(1)

1

1

(1)

nnnxnxxxx++--

=

+

＞0（x≥2）.

所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，又g(2)=0因此1

()1ln(1)

(1)

n

gxxxx=

≥g(2)=0恒成立，

所以f(x)≤x-1成立.

当n为奇数时，

要证()fx≤x-1,因为

1(1)

n

x-＜0，所以只需证

ln(x-1)≤x-1,

令h(x)=x-1-ln(x-1),则h′（x）=1-121

1

xxx-=

--≥0（x≥2）,

所以当

x∈[2，+∞]时，

()1ln(hxxx=

单调递增，又h(2)=1＞0，所以当x≥2时，恒有h(x)＞0,即ln（x-1）＜x-1命

题成立.

综上所述，结论成立.

证法二：当a=1时，1()ln(1).(1)

n

fxxx=

+--当x≤2，时，对随意的正整数n，恒有

1(1)

n

x-≤1，

故只需证实1+ln(x-1)≤

x-1.令

[)()1(1ln(1))2ln(1),2,hxxxxxx=--+-=∈+∞则12()1,1

1

xhxxx-'=-

=

--

当x≥2时，()hx'≥0，故h(x)在[)2,+∞上单调递增，因此当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1)≤x-1成立.

故当x≥2时，有

1ln(1)(1)

n

xx+--≤x-1.

即f（x）≤x-1.

8.（江苏卷17）．某地有三家工厂，分离位于矩形ABCD的

顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，

为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含

边界），且A,B与等距离的一点O处建筑一个污水处理厂，

并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y

表示成θ的函数关系式；

②设OPx=(km)，将y表

示成xx的函数关系式．

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理

厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则10coscosAQOAθθ

=

=

,故

10

cosOBθ

=

，又OP＝1010tanθ-10－10taθ，

所以10101010tancoscosyOAOBOPθθ

θ

=++=

+

+-

所求函数关系式为2022sin10cosyθ

θ

-=

+04πθ?

?，y是θ的增函数，所以当C

B

P

O

A

D

θ=

6

π

时，min10y=+这时点P位于线段AB的

中垂线上，且距离AB

边

3

km处。

9.（江苏卷20）若()1

13

xpfx-=，()2

223

xpfx-=，

12,,xRpp∈为常数，

且()()()()()()()

112212,,fxfxfxf

xfxfxfx≤??=?

>??（Ⅰ）求()()1f

xfx=

对全部实数成立的充要条件（用

12,pp表示）

；（Ⅱ）设,ab为两实数，ab.

（1）当12pp-32log>时.()[][]1

1

1113

,,3,,xppxxpbfxxap--?∈?=?∈??，

()[][]2323

log2

22log2

23

,,3

,,xppxxpbfxxap-+-+?∈?=?∈??当[]1,xpb∈，

()()

213log2

10

23

31,ppfxfx--=>，所以()()12fxfx=由于

()()120,0fxfx>>，所以()()12fxfx>

故()()2f

xfx=

=23log2

3px-+

由于()()f

af

b=，所以231

log2

33pabp

-+-=，所以

123log2,bppa-=-+即

123log2abpp+=++

当

[]21,xpp∈时，令

()()12fxfx=，则

231log2

3

3

xppx

-+-=，所以123log2

2

ppx+-=

，

当1232log2,2ppxp+-?

?∈

????

时，()()12fxfx≥，所以()()2f

xfx=

=23log2

3

xp-+

1231log2,2ppxp+-??

∈????

时，()()12fxfx≤，所

以()()1f

xfx=

=13

px

-()fx在区间[],ab上的单调增区间的长度和

12312log2

2ppbpp+--+

-=123log2

2

2

2

ppabbabb+++--=-

=

（

2）

当

21

pp-3

2l

og>时.

()[][]1

1

1113

,,3

,,xppx

xpbfxxap--?∈?=?∈??，

()[][]2323

log2

22log2

23

,,3,,xppxxpbfxxap-+-+?∈?=?∈??当[]2,xpb∈，

()()

213log2

10

23

31,ppfxfx--=>=由于

()()120,0fxfx>>，所以()()12fxfx>，

故()()2f

xfx=

=23log2

3

xp-+

当[]1,xap∈，

()()

123log2

10

23

31,ppfxfx--=>，所以()()12fxfx，0x>

，

由

111()fx=

+

，

若令8bax

=

，则8abx=…①，而

(

)fx=

+

…②

（一）、先证()1

f

x>；

由于

11x

>

+，

1

1a

>

+

，

1

1b

>

+

，

又由28

abx

+++≥=，

得6

abx

++≥,所以

()111

111

fx

xab

=>++

+++

32()()

(1)(1)(1)

abxabaxbx

xab

++++++

=

+++

9()()

(1)(1)(1)

abxabaxbx

xab

++++++

≥

+++

1()()

1

(1)(1)(1)

abxabaxbxabx

xab

+++++++

==

+++

．

（二）、再证()2

fx

++

…⑦,由于

11

ab

ab

+≥

++

，

只要证

(1)(1)8

abab

abab

>

+++

，即

8(1)(1)

abab

+>++，也即7

ab

+()hx在（-1，0）上为增函数，当x＞0时，()0,hx'=当x＞0时，

()(0)0.gxg()fx在（-1，0）上为增函数.

当x＞0时，()0,fx'知，1.1

ln(1)

ann

≤

-+设(]11(),0,1,

ln(1)

Gxxxx

=

-

∈+则22

2

2

2

2

11(1)ln(1)().(1)ln(1)

(1)ln(1)

xxxGxxxx

xxx++-'=-

+

=

++++

由（Ⅰ）知，

2

2

ln(1)0,

1x

x