2022年高考数学试题解析11不等式推理与证明复数

1.【2022年全国甲卷】若z=1+i.则|iz+32|=()

A.4A/5B.4V2C.2V5D.272

【答案】D

根据复数代数形式的运算法则，共轨复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.

因为z=1+i,所以iz+3z=i(l+i)+3(1—i)=2—2i,所以|iz+3z|=V4+4=2V2•

故选：D.

2.【2022年全国甲卷】若z=-l+Wi,则上=()

A.-1+V3iB.-1-V3iC.-i+—iD.-1-^i

3333

【答案】C

由共轨复数的概念及复数的运算即可得解.

z=-1—V3i,zz=(-1+V3i)(—1—V3i)=1+3=4.

z-1+V3i173

--卜—i

zz-1---------3------------3-----3

故选：C

3.【2022年全国乙卷】设(l+2i)a+b=2i,其中a,b为实数，则()

A.a=1,b=-1B.a=1,b=1C.a=-l,b=1D.a=-1,b=-1

【答案】A

根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出.

因为a,beR,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得：a=l,b=—l.

故选：A.

x+y>2,

4.【2022年全国乙卷】若x,y满足约束条件x+2y44,则z=2x-y的最大值是()

.y>o,

A.-2B.4C.8D.12

【答案】C

作出可行域，数形结合即可得解.

由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

转化目标函数z=2%一丫为丫=2x-z,

上下平移直线y=2x-z,可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大,

所以Zmax=2X4—0=8.

故选：C.

5.【2022年全国乙卷】已知z=l—2i,且z+QZ+b=0,其中a,b为实数,则()

A.a=l,b=-2B.a=-l,b=2C.a=1,b=2D.a=-1,b=-2

【答案】A

先算出落再代入计算，实部与虚部都为零解方程组即可

z=1+2i

z+a2+b=l—2i+a(l+2i)+b=(1+Q+b)+(2a—2)i

由z+成+b=0,得°，即Y\

I2a—2=03=-2

故选:A

6.【2022年新高考1卷】若i(l-z)=1,则z+2=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

利用复数的除法可求z,从而可求z+Z

由题设有1-z=：=*=—L故z=l+i,故z+2=(1+i)+(1—i)=2,

故选：D

7.[2022年新高考2卷】(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2—4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

利用复数的乘法可求(2+2i)(l-2i).

(24-2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

故选：D.

8.【2022年北京】若复数z满足i-z=3-4i,贝“z|=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

利用复数四则运算，先求出z,再计算复数的模.

由题意有=芋=故⑶=(2

zy=-4-3i,V-4)2+(-3)=5.

故选：B.

9.【2022年浙江】已知a/€R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位)，则()

A.a=l,b=-3B.a=—l,b=3C.a=-1,b=-3D.a=l,b=3

【答案】B

利用复数相等的条件可求a,b.

a+3i=—1+bi,而a,b为实数，故a=—l,b=3,

故选：B.

x—2N0,

10.【2022年浙江】若实数x,y满足约束条件2x+y-7S0,则z=3x+4y的最大值是()

,x-y-2<0,

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值.

不等式组对应的可行域如图所示：

当动直线3x+4y-z=0过4时z有最大值.

由Gx+y-7=0可得0=3，故4(2.3)，

故Zmax=3x24-4x3=18,

故选：B.

11.【2022年浙江】已知a,beR,若对任意x6R,a|x-b|+|x-4|-|2x-5|>0,则()

A.a<l,h>3B.a<l,d<3C.a>l,b>3D.a>l,b<3

【答案】D

将问题转换为a|x-b|>|2x-5|-|x-4|,再结合画图求解.

由题意有：对任意的X6R,有a|x-b|2|2x-5|-|x-4|恒成立.

1-x,x<|

设f(x)=a\x-b\,g(x)=|2x-5|-|x-4|={3x_9三<x<4，

92

x-l,x>4

即/(x)的图像恒在g(%)的上方(可重合)，如下图所示：

由图可知，a>3,l<b<3,或lWa<3,l<h<4--<3,

故选：D.

12.[2022年新高考2卷】(多选)若x,y满足久2+y2-xy=1,则()

A.x+y<1B.x+y>—2

C.x24-y2<2D.%24-y2>1

【答案】BC

根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

因为ab<(早)2<Ca,b6R),由％2+y2—xy=1可变形为，(%+y)2—1=3xy<

3(等了，解得-2Wx+yW2,当且仅当％=y=-l时，x+y=-2,当且仅当％=y=l

时，x+y=2,所以A错误，B正确；

由/4-y2-=1可变形为(%2+y2)-1=%y<三二，解得d+y2<2,当且仅当算=y=

±1时取等号，所以C正确；

2

因为/+y—xy=1变形可得(x-/+ly2—],设％_Z=cos仇与y=sin。,所以％=

cos0+专sin仇y=专sin。，因此%2+y2=cos20+|sin20+专sinJcos。=1+专sin29—

如S20+：

="狗式28-版由2｝所以当％=g,y=-当时满足等式，但是/+y2“不成立，

所以D错误.

故选：BC.

2()22年高考模拟试题

1.(2022•北京四中三模)在复平面内，复数z=±2对应的点位于()

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

根据复数的除法运算法则求复数z的代数形式，根据复数的几何意义确定对应点的象限.

z=l-2i=(l-2i)-(-i)=_2_i；

11-(-1)

所以复数z在复平面上的对应点为(-2,-1),该点在第三象限.

故选：C.

2.（2022・湖南•长沙一中模拟预测）己知复数2=红土匚，彳是z的共飘复数，则彳.z=（）

l+i

A.0B.gC.1D.2

【答案】B

利用复数的除法可求z,进而可求）z.

i+i2+i3-1-1+i1I.

**7=--------------=------=------------------=------1----I

'1+i1+i（l+i）（l-i）22'

故选:B.

3.（2022•内蒙古,满洲里市教研培训中心三模（文））复数z满足（l+2i）z=3-i,则z的虚部

为（）

77.7.1

A.——B.——1C.—1D.-

5555

【答案】A

化简方程求出复数z的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部.

因为（l+2i）z=3-i,

所以d3L旦=匚公，

l+2i(l+2i)(l-2i)555

7

所以复数z的虚部为

故选：A.

4.(2022•黑龙江•哈九中模拟预测(文))观察下列等式，尸=『，尸+23=32,1+23+33=62,

尸+23+3、+4?=1()2,根据上述规律，/+2?+3?+43+5^+63+…+/=()

n4+n3+2n2n4+2H3+n2

AA.-----------Bn.-----------

44

_H4—n3+2n2、n4-2n)+n2

C.-----------D.-----------

44

【答案】B

根据1:产，32=(1+2)=62=0+2+3)2,102=(1+2+3+4)，观察其规律,可得

l3+23+33+43+53+634--+M3=(l+2+3+4+---+n)2.

I3=I2-

13+23=32=(1+2)2,

l3+23+33=62=(l+2+3)2,

F+23+33+干=1()2=0+2+3+4『，

33333332

根据上述规律，W1+2+3+4+5+6+-+/I=(1+2+3+4+-+H)

(n(n+1)Y_n4+2n}+rr

=l2)~4,

故选：B.

5.(2022•江苏•南京市天印高级中学模拟预测)若复数z满足(1-i)z=l+i,则彳=()

A.-iB.i

C.1D.-1

【答案】A

根据复数的除法运算求得复数z,继而可得其共辄复数.

由题意(l-i)z=l+i,得z=W=£21=i,

1-i2

故5=-i，

故选：A

6.(2022•四川眉山•三模(文))由若干个完全一样的小正方体无空隙地堆砌(每相邻两层堆

砌的规律都相同)成一个几何体，几何体部分如图所示.用下面公式不能计算出该几何体三

视图中所看到的小正方体或全部小正方体个数的是()

B.1+3H---b(2〃-1)=〃2

C.12+22+---+Z?2=-^——△---1D-l3+23+---+/23=———L

64

【答案】D

计算正视图或左视图看到的小正方形的个数是相同的，再计算俯视图中看到的小正方形的个

数和几何体的全部小正方体个数即可.

从正视图或左视图可以看出小正方形的个数为1+2+…+〃=风回

2

从俯视图可以看到小正方形的个数为1+3+…+（2〃-1）=〃2

几何体的全部小正方体个数为12+22+…+〃2=»（»+1）（2»+1）

6

故选：D.

7.（2022•北京•北大附中三模）已知。>6>0,下列不等式中正确的是（）

A.—>—B.ab<b2

ab

,1「11

C.a-b+---->2D.---<----

a-ba-\b-\

【答案】C

由。>b>0,结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.

解：对十选项A,因为a>b>0,0<—<y,而C的正负不确定，故A错误；

ab

对于选项B,因为。>。>0,所以附>〃，故B错误；

对于选项C,依题意〃>6>0,所以“-b>0,—^>0,所以O-6+—!—W2j（a-b）x—L=2,

故C正确；

对于选项D,因为与丁二正负不确定，故大小不确定，故D

a-\b-\

错误；

故选：C.

8.（2022•山东泰安・模拟预测）已知4/+9//+2/=1,则5/+3歹?的最小值是（）

125

A.2B.—C.-D.3

72

【答案】A

对原式因式分解得（4/+/用2+2/）=1,然后利用基本不等式即可求解.

由4/+9xy+2黄=1,得（4/+/）（X2+2/）=1<产2+丁丁+2））=（至券J,

HP4<（5X2+3/）2,所以5X2+3/22,当且仅当+/=/+2/，即y=3》2=；时，等

号成立，所以5/+3V的最小值是2.

故选：A.

9.(2022,辽宁实验中学模拟预测)已知实数“，A满足a?+log„b=1,(0<a<1),则(logi-/

的最小值为()

A.0B,-1C.1D.不存在

【答案】A

由题设条件可得log“b=l-〃，从而利用换底公式的推论可得log-=丁二，代入要求最小

]—Q-

值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值

221

a+log〃=l=log“b=l—。=>log；,a=-——

1-a7

又0va<l,则0<1-/<1

；腕〃”/=后+(1-叫-己x百-1=。

1,、万

当旦仅当Th—rv=1-2即“=在时取等号

4(1—)2

故选：A

10.(2022•全国•模拟预测)已知正实数x,4满足卜x+j4d+1)(77^_“=K则x+2y

的最小值为()

3

A.1B.2C.4D.-

2

【答案】B

将已知的式子2x+j4f+l==正亘t1=_1++1,然后判断函数

VAH-Iy丁丫⑺

/(r)=/+#7T,r>0,的单调性，从而可得2x=；,即2盯=1,再利用基本不等式可求

得结果

因为(2x+-J4x2+(J/+1—ij=y,

所以2工+，4/+1=/'-=^y+1+~-~+J—+1.

VZ+i-iyynyJ

设/(/)=z+J产+1'Z>0,易知/(/)=Z+J/+1在(0,+8)上单调递增,

故2x=；,即2号=1,又x>0,y>0,所以x+2yN27^=2,

当且仅当x=2y时取等号，

所以x+2y的最小值为2.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等

式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得2盯=1,再利

用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题

11.(2022•北京中学三模)设m为实数，复数4=1+25=w+3i(这里i为虚数单位)，

若4年为纯虚数，则区+Zz|的值为.

【答案】50

先根据马•云■为纯虚数计算出机的值，再计算4+马，最后计算|Z1+Z21的值

•••Z]=l+2i,z2=m+3i,z2=/w-3i

Z[•Z2=(1+2i)(/n-3i)=—3i+2im+6=(m+6)+(2加-3)i

QZ|.W为纯虚数

/.zn+6=0=>/77=-6

4+z2=(1+2i)+(-6+3i)=一5+5i

•••|Z1+Z2|=J(-5)2+52=5近

故答案为：572

12.(2022•全国•模拟预测)已知正数。，6满足4+2b=l,则空坦的最小值为_____.

ab

【答案】4百+4##4+4百

根据题意得/+2/+1=/+26+("+2。)一,再化简整理利用基本不等式求解即可.

abab

a2+2〃+i_+(a+2b)2_2a2+446+6/

ababab

.-、2a_6b

=丝+丝+422、巴竺+4=4班+4,当且仅当《石

ba、baa+2/）=l

即a=2/一3，6=2-百时取得等号.

故答案为：4^3+4.

13.（2022•浙江•杭师大附中模拟预测）已知正数a,b,c,则「，甘。的最大值为________

2a+b+c

【答案】逅

4

将分母变为（2/停〃+’2）分别利用基本不等式即可求得最大值.

ab+he_ab+bcab+bc_1_V6

.•"+从+,"+为+序-「新+2序飞丁（当且仅当

>/2a=-^-b»=c时取等号），

33

・•・J"J的最大值为远.

2a+b-+c4

故答