数字电路逻辑代数精讲演示文稿

数字电路逻辑代数精讲演示文稿当前第1页\共有99页\编于星期日\2点优选数字电路逻辑代数精讲当前第2页\共有99页\编于星期日\2点逻辑代数中的三种基本运算2.2逻辑代数的基本定理2.4逻辑代数的基本公式和常用公式32.3概述32.132.5逻辑函数及其表示方法目录广东工业大学自动化学院当前第3页\共有99页\编于星期日\2点具有无关项的逻辑函数及其化简2.7逻辑函数的化简32.6目录广东工业大学自动化学院当前第4页\共有99页\编于星期日\2点2.1概述广东工业大学自动化学院

逻辑代数是从哲学领域中的逻辑学发展而来的。

1847年,英国数学家乔治·布尔(G.Boole)提出了用数学分析方法表示命题陈述的逻辑结构，并成功地将形式逻辑归结为一种代数演算，从而诞生了著名的“布尔代数”。

1938年，克劳德·向农(C.E.Shannon)将布尔代数应用于电话继电器的开关电路，提出了“开关代数”。随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触点开关，故“开关代数”这个术语已很少使用。为了与“数字系统逻辑设计”这一术语相适应，人们更习惯于把开关代数叫做逻辑代数。逻辑代数是数子系统逻辑设计的理论基础和重要数学工具！当前第5页\共有99页\编于星期日\2点2.1概述广东工业大学自动化学院逻辑：

指事物的因果关系逻辑运算：逻辑变量与及常量之间逻辑的推理运算，不是数量之间的运算。

逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数称逻辑函数，变量称逻辑变量。

逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，通常用"1"和"0"表示。与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。

相似处：

相异处：当前第6页\共有99页\编于星期日\2点2.2逻辑代数中的三种基本运算广东工业大学自动化学院

逻辑代数是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集，常量0和1以及“与”、“或”、“非”三种基本运算所构成。下面用三个指示灯的控制电路来分别说明三种基本逻辑运算的物理意义。当前第7页\共有99页\编于星期日\2点2.2逻辑代数中的三种基本运算广东工业大学自动化学院

与（AND）或（OR）非（NOT）设开关A、B为逻辑变量，约定开关闭合为逻辑1、开关断开为逻辑0；设灯为逻辑函数Y，约定灯亮为逻辑1，灯灭为逻辑0。

当前第8页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院一、与运算(逻辑乘)逻辑关系：只有决定某一事件发生的多个条件同时具备时，事件才能发生，则这种因果关系称之为“与”逻辑。ABY000010100111真值表：“有0出0，全1为1”2.2逻辑代数中的三种基本运算------将逻辑变量所有可能取值的组合与其一一对应的逻辑函数值之间的关系以表格的形式表示出来，叫做逻辑函数的真值表。运算规则：当前第9页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院一、与运算(逻辑乘)逻辑表达式：逻辑符号：2.2逻辑代数中的三种基本运算Y=AAND

B=A&B=A∧B=A·B=AB当前第10页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院二、或运算(逻辑加)逻辑关系：在决定某一事件发生的多个条件中，只要有一个

或一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。ABY000011101111真值表：“有1出1，全0为0”2.2逻辑代数中的三种基本运算运算规则：当前第11页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院二、或运算(逻辑加)逻辑表达式：逻辑符号：2.2逻辑代数中的三种基本运算Y=A

OR

B=A+B=A∨B当前第12页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院三、非运算(逻辑求反)逻辑关系：如果某一事件的发生取决于条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。AY0110真值表：“0的非为1，1的非为0”2.2逻辑代数中的三种基本运算运算规则：当前第13页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院三、非运算(逻辑求反)逻辑表达式：逻辑符号：2.2逻辑代数中的三种基本运算当前第14页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院四、几种常用的复合逻辑运算

与非(NAND)

2.2逻辑代数中的三种基本运算“有0出1，全1为0”“有1出0，全0为1”

或非(NOR)

与或非(AND-OR-INVERT)当前第15页\共有99页\编于星期日\2点四、几种常用的复合逻辑运算异或(Exclusive-OR)---若两个输入变量的值相异，输出为1，否则为0。广东工业大学自动化学院ABY000011101110

真值表：

逻辑表达式：

逻辑符号：2.2逻辑代数中的三种基本运算“不同为1，相同为0”当前第16页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院四、几种常用的复合逻辑运算同或(Exclusive-NOR，即异或非)---若两个输入变量的值相同，输出为1，否则为0。ABY001010100111

真值表：

逻辑表达式：

逻辑符号：Y=A⊙B2.2逻辑代数中的三种基本运算“相同为1，不同为0”注意：异或和同或互为反函数当前第17页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.2逻辑代数中的三种基本运算[例]试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。解：Y1有0出0全1出1

01100110

00110011Y2Y3相同出

0相异出

1当前第18页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.3逻辑代数的基本公式和常用公式一、基本公式根据与、或、非的定义，得P24表2.3.1的布尔恒等式序号公式序号公式101′

=0;0′=110

·A=0111+A=121

·A=A120+A=A3A·A=A13A+A=A4A·A′=014A+A′=15A·B=B·A15A+B=B+A6A·(B·C)=(A·B)·C16A+(B+C)=(A+B)+C7A·(B+C)=A·B+A·C17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A证明方法：推演真值表当前第19页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院二、若干常用公式(P25)序号公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB+

A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′2.3逻辑代数的基本公式和常用公式当前第20页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院一、代入定理

------在任何一个包含A的逻辑等式中，若用另一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。应用举例：

式（17）A+BC=(A+B)(A+C)2.4逻辑代数的基本定理代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围。A+B(CD)=(A+B)(A+C)(A+D)=(A+B)(A+CD) 当前第21页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院----对任一逻辑式Y，若将式中

变换顺序先括号，然后乘，最后加

不属于单个变量的上的反号保留不变二、反演定理2.4逻辑代数的基本定理当前第22页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院应用举例：

例1：

若Y=A(B+C)+CD

，求

例2：若Y=（（AB´+C）'+D）'+C

，求

2.4逻辑代数的基本定理Y'=（（（A´+B）C´）'D´）'C

´当前第23页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院

----对任一逻辑式Y，若将式中

变换顺序先括号，然后乘，最后加

三、对偶定理

若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。即：对偶式YD利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式。2.4逻辑代数的基本定理当前第24页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院应用举例：利用对偶定理，可证明公式（17）：2.4逻辑代数的基本定理当前第25页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法一、逻辑函数

逻辑代数中函数的定义与普通代数中函数的定义类似，即随自变量变化的因变量。但和普通代数中函数的概念相比，逻辑函数具有如下特点：

1．逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有0和1两种可能；

2．函数和变量之间的关系是由“或”、“与”、“非”三种基本运算决定的。

任何一个逻辑电路的功能都可由相应的逻辑函数完全描述，因此，能够借助抽象的代数表达式对电路加以分析研究。当前第26页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院二、逻辑函数的表示方法真值表逻辑函数式逻辑图波形图卡诺图计算机软件中的描述方式

各种表示方法之间可以相互转换2.5逻辑函数及其表示方法当前第27页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院1、真值表

若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真值表是否相同即可。2.5逻辑函数及其表示方法

---用来反映输入变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数值的表格称真值表。当前第28页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法2、逻辑函数式

----表示输出函数和输入变量逻辑关系的表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。

逻辑表达式是由逻辑变量和“或”、“与”、“非”

等逻辑运算符以及括号所构成的式子。

常用的逻辑表达式有与或表达式、或与表达式、与非与非表达式、或非或非表达式、与或非表达式等。当前第29页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法3、逻辑图

----由逻辑（图形）符号及相应连线构成的，用来表示逻辑变量之间关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。

4、波形图（时序图）

----将输入变量所有可能出现的取值与对应的输出按时间顺序依次排列起来画成的时间波形。

当前第30页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院例：2.5逻辑函数及其表示方法当前第31页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院6、EDA中的描述方式

HDL(HardwareDescriptionLanguage)VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit)VerilogHDL EDIF DTIF 。。。

2.5逻辑函数及其表示方法5、卡诺图当前第32页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法三、各种表示方法间的相互转换1.列真值表列真值表方法(1)按

n位二进制数递增的方式列出输入变量的各种取值组合。(2)

分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格。当前第33页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院举例：举重裁判电路（P29）ABCY0000010100111001011101112.5逻辑函数及其表示方法设开关A、B、C断开时为0状态，闭合时为1状态；灯Y亮时为1状态，灯灭时为0状态。则可列出真值表为3

个输入变量有23

=8

种取值组合。00000111当前第34页\共有99页\编于星期日\2点(1)找出函数值为1的项。(2)将这些项中输入变量取值为

1

的用原变量代替，取值为

0的用反变量代替，则得到一系列与项(乘积项）。(3)将这些与项相加即得逻辑式。广东工业大学自动化学院2.真值表逻辑式ABCY00000010010001111000101111011110Y

=

2.5逻辑函数及其表示方法例如:

+

AB′C+ABC′方法:

A′BC当前第35页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法3.逻辑式真值表

一般首先按自然二进制码的顺序列出函数所含逻辑变量的所有不同取值组合，再确定其对应的函数值。

例：列出下面逻辑函数的真值表

Y=

A′B

+

B′C+AC′解：（1）按自然二进制码的顺序列出变量A、B、C的所有不同取值组合。（2）逐个将变量A、B、C的各个取值组合代入逻辑函数中，求出相应的函数值。ABCY00000101001110010111011101111110当前第36页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法3.逻辑式真值表

一般首先按自然二进制码的顺序列出函数所含逻辑变量的所有不同取值组合，再确定其对应的函数值。

例：列出下面逻辑函数的真值表

Y=

A′B

+

B′C+AC′ABCY00000101001110010111011101111110快捷的方法？当前第37页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法4.逻辑式逻辑图

---用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。

例如:

先括号，然后与，用两级电路实现当前第38页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法5.逻辑图逻辑式

---从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式

例如:

当前第39页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法6.波形图真值表P34例ABCY00000

0

0

00

0

1

10

1

0

10

1

1

01

0

0

01

0

1

11

1

0

01

11

1当前第40页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院四、逻辑函数的两种标准形式

逻辑函数的几种常见形式2.5逻辑函数及其表示方法

任何一个逻辑函数，其表达式的形式都不是唯一的。下面从分析与应用的角度出发，介绍逻辑函数表达式的基本形式、标准形式及其相互转换。例如与或表达式

或与表达式与非-

与非表达式或非-

或非表达式与或非表达式当前第41页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法

逻辑函数的两种基本形式

-----“与-或”表达式和“或-与”表达式。

1.“与-或”表达式

----指由若干“与项”进行“或”运算构成的表达式。

每个“与项”可以是单个变量的原变量或者反变量，也可以由多个原变量或者反变量相“与”组成。

例如：

“与项”又被称为“乘积项”或“积项”，相应地“与-或”表达式又称为“积之和”表达式。当前第42页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法2.“或-与”表达式

----指由若干“或项”进行“与”运算构成的表达式。

每个“或项”可以是单个变量的原变量或者反变量，也可以由多个原变量或者反变量相“或”组成。

例如：

“或项”又被称为“和项”，相应地“或-与”表达式又称为“和之积”表达式。但不论什么形式都可以变换成两种基本形式。

逻辑函数表达式可以被表示成任意的混合形式。例如，

当前第43页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法

逻辑函数的两种标准形式

逻辑函数的两种基本形式都不是唯一的。例如：

为了在逻辑问题的研究中使逻辑功能能和唯一的逻辑表达式对应，引入了逻辑函数表达式的标准形式。逻辑函数表达式的标准形式是建立在最小项和最大项概念的基础之上的。

最小项之和形式-----标准与或式最大项之积-形式----标准或与式当前第44页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院m是乘积项包含n个因子n个变量均以原变量和反变量的形式在m中出现一次n个变量可以构成2n个最小项1.最小项m2.5逻辑函数及其表示方法（1）最小项定义（n变量的逻辑函数）（P35）（2）最小项的数目当前第45页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院最小项举例：两变量A,B的最小项三变量A,B,C的最小项2.5逻辑函数及其表示方法当前第46页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院最小项取值对应的十进制数编号ABC0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m72.5逻辑函数及其表示方法（3）最小项的编号----用mi表示最小项。（以3个变量为例）当前第47页\共有99页\编于星期日\2点

全部最小项的和必为1。A'B'CAB'C

任意两个不同的最小项的乘积必为0。mi·mj=0广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法（4）最小项的性质

任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。（以3个变量为例）当前第48页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院两个相邻的最小项之和可以合并，并消去一对因子，只留下公共因子。2.5逻辑函数及其表示方法例：（4）最小项的性质相邻最小项两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。当前第49页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.逻辑函数最小项之和的形式2.5逻辑函数及其表示方法由若干最小项相“或”构成的逻辑表达式称为标准与-或表达式，也叫做最小项表达式。

该函数表达式又可简写为F(A，B，C)=m1+m2+m4+m7

=

例如，如下所示为一个3变量函数的标准“与-或”表达式

*3.最大项及逻辑函数最大项之积的形式（自学）当前第50页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法

将一个任意逻辑函数表达式转换成标准与-或式有两种常用方法，一种是代数转换法，另一种是真值表转换法。

（1）代数转换法

------就是利用逻辑代数的公理、定理和规则进行逻辑变换，将函数表达式从一种形式变换为另一种形式。

1.转换为标准与-或式

（即最小项表达式）一般步骤如下：

Step1：先将函数表达式变换成一般“与-或”表达式。

Step2：反复使用

将表达式中所有非最小项的“与项”扩展成最小项。五、逻辑函数形式的变换当前第51页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法例1：将逻辑函数表达式转换成标准“与-或”表达式。

（1）代数转换法

当前第52页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院例2：2.5逻辑函数及其表示方法将逻辑函数表达式

转换成标准“与-或”表达式。

解:Step1将函数表达式变换成一般“与-或”表达式。即：Step2把“与-或”式中非最小项的“与项”扩展成最小项。当前第53页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法（2）真值表转换法

逻辑函数的最小项表达式与真值表具有一一对应的关系，因此，可以通过函数的真值表写出最小项表达式。

由于函数的真值表与函数的标准表达式之间存在一一对应的关系，而任何个逻辑函数的真值表是唯一的，可见，任何一个逻辑函数的标准形式也是唯一的。当前第54页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.5逻辑函数及其表示方法例：将逻辑函数表达式转换成标准“与-或”表达式。

解:首先，列出Y的真值表如下表所示:然后，根据真值表可直接写出Y的最小项表达式。ABCY00000010010001111000101011011111当前第55页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院（1）与或式→与非与非式

----利用摩根定理将整个式子两次求反。2.5逻辑函数及其表示方法2.转换为其他形式(P38)写出

的与非表达式。例：还原律摩根定律当前第56页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院（3）与或式→与或非式

---利用Y+Y′=1，先求Y′的最小项表达式，然后再求反。（Ｐ３８例２.５.８）2.5逻辑函数及其表示方法（2）或与式→或非或非式→与或非式

----利用摩根定理将整个式子两次求反。例：还原律摩根定律或非或非式：摩根定律与或非式：当前第57页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法

实现某一逻辑功能的逻辑电路的复杂性与描述该功能的逻辑表达式的复杂性直接相关。一般说，逻辑函数表达式越简单，设计出来的相应逻辑电路也就越简单。

由于“与-或”表达式和“或-与”表达式可以很方便地转换成任何其他所要求的形式。因此，从这两种基本形式出发讨论函数化简问题，并将重点放在“与-或”表达式的化简上。

为了降低系统成本、减小复杂度、提高可靠性，必须对逻辑函数进行化简。

逻辑函数化简有3种常用方法。即：代数化简法、卡诺图化简法和列表化简法。当前第58页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院化简的目的：消去多余的乘积项和每个乘积项中

多余的变量2.6逻辑函数的化简方法例：

最简与-或式标准：

(1)乘积项(即与项)的个数最少(2)每个乘积项中的变量数最少与门个数最少与门的输入端数最少当前第59页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法

------反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子，得到最简形式。一、公式（代数）化简法

这种方法没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对逻辑代数中基本公式、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。

几种常用方法如下：

当前第60页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法1.并项法：运用，将两项合并为一项，并消去一个变量。当前第61页\共有99页\编于星期日\2点运用A+AB

=A

吸收多余的与项。广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法2.吸收法：当前第62页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法3.消项法：运用，消去多余的与项。当前第63页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法4.消因子法：运用吸收律

，消去多余因子。当前第64页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法5.配项法：（P41~P42---自学）

实际应用中遇到的逻辑函数往往比较复杂，化简时应灵活使用所学的公理、定理及规则，综合运用各种方法。（参见）

代数化简法的优点：不受变量数目的限制；当对公理、定理和规则十分熟练时，化简比较方便。

代数化简法的缺点：没有一定的规律和步骤，技巧性很强，而且在很多情况下难以判断化简结果是否最简。

当前第65页\共有99页\编于星期日\2点2.6逻辑函数的化简方法广东工业大学自动化学院二、卡诺图化简法卡诺图是最小项按一定规则排列成的方格图。1.最小项的卡诺图

卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。

结构特点：(1)

n个变量的卡诺图由2n个小方格构成；

(2)几何图形上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。

卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，但任何一种排列方案都必须具备以上特点。当前第66页\共有99页\编于星期日\2点2.6逻辑函数的化简方法变量取0的代以反变量取1的代以原变量AB二变量卡诺图0101000110110001AB0101m0m1m2m3

0

1

2

3ABA'AB'

BA'B'A'BAB'AB当前第67页\共有99页\编于星期日\2点2.6逻辑函数的化简方法三变量卡诺图ABC010011

10

m6

m7

m4

m2

m3000

m0

m5001

m1

6

7

5

4

2

3

1

0以循环码排列以保证相邻性01当前第68页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法四变量卡诺图

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10ABCD00011110000111

10当前第69页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院五变量的卡诺图2.6逻辑函数的化简方法当前第70页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法ABCD相邻项在几何位置上也相邻卡诺图特点：循环相邻性同一列最上与最下方格相邻同一行最左与最右方格相邻当前第71页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法如何写出卡诺图方格对应的最小项？已知最小项如何找相应小方格？例如:

原变量取1，反变量取0。1001？ABCD0001111000011110

1用原变量表示，0用反变量表示。当前第72页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法

(1)

求逻辑函数真值表或者标准与-

或式或者与-

或式。

(2)

画出变量卡诺图。

(3)

根据真值表或标准与

-

或式或与

-

或式填图。基本步骤2.用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数举例

[例]

试画出函数Y=∑m(0,1,12,13,15)的卡诺图解：

(1)

画出四变量卡诺图(2)

填图逻辑式中的最小项m0、m1、m12、m13、m15对应的方格填1，其余不填（或填0）。ABCD0001111000011110

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10

1

1

1

1

1

已知标准与或式画函数卡诺图

当前第73页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法已知真值表画函数卡诺图[例]

已知逻辑函数Y的真值表如下，试画出Y的卡诺图。解：(1)

画3变量卡诺图。ABCY00010010010101101001101011011110ABC0100011110

6

7

5

4

2

3

1

0m0m2m4m6

1

1

1

1(2)找出真值表中Y=1

对应的最小项，在卡诺图相应方格中填1，其余不填。当前第74页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法已知一般表达式画函数卡诺图解：(1)

将逻辑式转化为与或式(2)

作变量卡诺图找出各与项所对应的最小项方格填1，其余不填。[例]已知Y=A'D+((AB)'

(C+(BD)')'，试画出Y的卡诺图。ABABCD0001111000011110(3)

根据与或式填图

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

AB对应最小项为同时满足A=1，B=1的方格BC'D对应最小项为同时满足B=1，C=0，D=1的方格A'D对应最小项为同时满足A=0，D=1的方格当前第75页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院

3.用卡诺图化简函数2.6逻辑函数的化简方法（1）化简的依据

在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。通过把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并，达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的。----具有相邻性的最小项可合并，并消去不同因子。当前第76页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院（2）合并最小项的规则2.6逻辑函数的化简方法

两个相邻小方格可以合并成一项，且消去一个变量。11A′B′C+AB′C11A′C'11ABABC0001111001=B′C(A′+A)=B′C消去取值不同的变量取，保留取值相同的变量。当前第77页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法4（22）个相邻的小方格可合并成一项，且消去两个变量。ABC0001111001

1111ABC00011110011111ABC0001111001

1

11

1CA′C′当前第78页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法ABCD00011110000111104（22）个相邻的小方格可合并成一项，且消去两个变量。1111B′D′当前第79页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法8（23）个相邻的小方格可合并成一项，且消去3个变量。ABCD000111100001111011111111ABCD0001111000011110111111112n个相邻的小方格可合并成一项，且消去n个变量。C′B′当前第80页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院（3）卡诺图化简的步骤2.6逻辑函数的化简方法

ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

画函数卡诺图

将各圈分别化简对填1的相邻最小项方格画包围圈将各圈化简结果逻辑加

画包围圈规则包围圈必须包含2n

个相邻1方格，且必须成矩形。先圈大再圈小，圈越大越好；1方格可重复圈，但须每圈有新1；每个“1”格须圈到，孤立项也不能漏掉。当前第81页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法m15

m9

m7

m6

m5

m4

m2

m0解：(1)画变量卡诺图[例]用卡诺图化简逻辑函数

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000011110(2)填卡诺图

1

1

1

1

1

1

1

1(3)画包围圈dcba(4)将各包围圈分别化简Yc

=BCD孤立项Yd=AB′C′DYb

=

A′BYa

=

A′D′(5)将各圈的化简结果相加，得最简与或式当前第82页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法解：(1)画变量卡诺图[例]用卡诺图化简逻辑函数

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000011110(2)填卡诺图

1

1

1

1

1

1

1

1(4)求最简与或式

Y

=

1(3)画包围圈当前第83页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法找

AB

=11,C

=

1

的公共区域找

A

=

1,

CD

=

01

的公共区域找

B

=

1,

D

=

1

的公共区域解：(1)画变量卡诺图ABCD0001111000011110(2)填图

1

1(4)化简(3)画圈[例]用卡诺图化简逻辑函数0011m30100m4

1

1

1

1

1

1

1

1要画吗？Y=当前第84页\共有99页\编于星期日\2点例：0001111001ABC广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法

1

1

1

1

1

1

1

1当前第85页\共有99页\编于星期日\2点例：0001111001ABC广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法

1

1

1

1

1

1Y=当前第86页\共有99页\编于星期日\2点例：0001111001ABC广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法

1

1

1

1

1

1Y=当前第87页\共有99页\编于星期日\2点化简结果不唯一广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法当前第88页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法[例]已知某逻辑函数的卡诺图如下图所示，试写出其最简与或式。ABCD0001111000011110

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1Y=当前第89页\共有99页\编于星期日\2点广东工业大学自动化学院2.6逻辑函数的化简方法[例]已知某逻辑函数的卡诺图如下图所示，试写出其最简与或式。ABCD0001111000011110

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0方格很少且为相邻项，故用圈0法先求Y′

的最简与或式。当0的数目远少于1的数目且相邻时，采用圈0的方法有时会比圈1来得简单。当前第90页\共有99页\编于星期日\2点2.7具有无关项的逻辑函数及其化简一、约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项广东工业大学自动化学院约束----指在某些逻辑函数中，输入变量的取值不是任意的，有一定的限制（约束），即有些取值是不允许出现的。例如：在8421BCD码中，1010~1111这6种代码是不允许出现的，这6种取值所对应的最小项就为约束项。约束项----指不允许出现的输入变量取值组合所对应的最小项。约束项的值恒等于0。

通常用约束条件来描述约束的具体内容，约束条件用一个值恒为0的条件等式表示。当前第91页\共有99页\编于星期日\2点2.7具有无关项的逻辑函数及其化简广东工业大学自动化学院任意项-----输入变量的某些取值的组合根本不存在，或者某些取值的组合也确实存在，但它的存在对逻辑函数的输出没有任何影响。例如：

A、B

为连动互锁开关，设开为

1

,

关为

0,

则

AB

只能取值

01

或

10

,

不会出现

00

或11。

无关项-----约束项和任意项都可以写入函数式中，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。

无关项在卡诺图和真值表中用“”“

”来标记，在逻辑式中则用字母d

和相应的编号表示。

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