直线和圆的位置关系

中物理北师大版数学九年级下册第3章圆3.6.2直线和圆的位置关系第2课时切线的判定及三角形的内切圆直线和圆的位置关系相交相切相离图形

公共点个数公共点名称－直线名称－距离d与半径r的关系lOdrlOABdrlOAdr2

个交点割线1

个切点切线d＜rd=rd＞r0个温故知新2.三角形的外心：定义：1.外接圆定义：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆.这个三角形叫作这个圆的内接三角形.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.●OABC三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.作图：三角形三条边的垂直平分线的交点.性质：温故知新ＯABC问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？观察：（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？O圆的切线的判定一合作探究

圆心O到直线l的距离等于半径OA.由圆的切线定义可知直线l

与圆O相切.过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.∵OA为⊙O的半径BC

⊥

OA于A∴BC为⊙O的切线ＯABC切线的判定定理应用格式O归纳总结判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd归纳总结例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.OBAC证明：连接OC.

∵OA＝OB,CA＝CB,

∴AB⊥OC.

∵OC是⊙O的半径,∴AB是⊙O的切线.典例精析

例2

如图,△ABC

中，AB

＝AC

，O是BC的中点，⊙O

与AB

相切于E.求证：AC

是⊙O的切线．BOCEA分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.F证明：连接OE，OA,过O作OF⊥AC.∵⊙O与AB相切于E

，∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，

O是BC的中点．∴AO平分∠BAC，FBOCEA∴OE＝OF.∵OE是⊙O半径，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是⊙O的切线．又OE⊥AB，OF⊥AC.(1)有交点，连半径,证垂直;(2)无交点，作垂直,证半径.证切线时辅助线的添加方法例1例2有切线时常用辅助线添加方法

见切点，连半径，得垂直.切线的其他重要结论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.归纳总结作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.MND作三角形的内切圆已知：△ABC.求作：与△ABC的各边都相切的圆.画一画步骤：作角平分线→定内心→定半径→作圆观察与思考与△ABC的三条边都相切的圆有几个？因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交点O到△ABC三边的距离相等且唯一，所以与△ABC三边都相切的圆有且只有一个.D1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.B2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.2.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.┐ACO┐┐DEF1.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心.归纳总结定义性质3.三角形的内心一定在三角形的内部4.内心与顶点连线平分内角。*重心：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.

*外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.到三个顶点的距离相等。*垂心：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.

*内心：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.到三边的距离相等。归纳总结三角形的“四心”例3：

△ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=70°，求∠BOC的度数。ABCO解：∵∠A=70°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°∵⊙O是△ABC的内切圆∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线即∠OBC=∠ABC∠OCB=∠ACB

典例精析∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-×110°=125°.ABCOcDEr例4：如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）.解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.F则AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以当△ABC为直角三角形，a,b为直角边时,△ABC的内切圆的半径·BDEFOCA例5：如图，△ABC的内切圆的半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOCaba＋b＋c知识拓展1.判断下列命题是否正确.⑴经过半径外端的直线是圆的切线.⑵垂直于半径的直线是圆的切线.⑶过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.(5)三角形的内心是三角形三个角平分线的交点.(6)三角形的内心到三角形各边的距离相等.

(7)三角形的内心一定在三角形的内部.（×）（×）（√）（√）（√）（√）（√）随堂练习2.如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(

)A．40°B．55°C．65°D．70°B4.如图，在⊙O中，AB=OA，P是半径OB延长线上一点，且PB=OB，PA与⊙O的位置关系是________.3.如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB=40°，直线BC与⊙O的位置关系为_________.相切相切6.如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的面积为_________.5.如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是_________.70°3

π7.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线.∴CD为⊙O的切线.证明∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DBC.∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB,∴∠OCB=∠DBC,∴OC∥BD.∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，8.如图，在△ABC中，AB=AC，AB是直径，BC与⊙O相交于点D，DE切⊙O于点D.求证：DE⊥AC.∴DE⊥AC.证明连接OD.∵DE是⊙O的切线，∴DO⊥DE.∵OB=OD，∴∠B=∠BDO.∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BDO=∠C，∴OD∥AC，证明：连接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OPB=∠C.

∴OP∥AC.

∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.

∴PE为⊙O的切线.9.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E.

求证:PE是⊙O的切线.OABCEP10.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．MN

如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.(1)证明：∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，故BD＝ED；(1)求证：BD＝ED；能力拓展(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．(2)解：∵AD＝8cm，