的某个领域内有定义课件

定义3.1

设函数在点的某个领域内有定义.

(1)如果对于该领域内任意的总有，则称为函数的极大值，并且称点是的极大值点.3.4.1函数的极值总有，则称为函数的极小值，并且称点是的极小值点.(2)如果对于该领域内任意的函数的极大值与极小值统称为函数的

极值，极大值与极小值值点统称为极值点.3.4.1函数的极值定理3.5

(极值存在的必要条件)如果在点处取得极值且在点处可导,则

.3.4.1函数的极值

(1)由正变负，则是极大值点；

(2)由负变正，则是极小值点；

(3)不改变符号，则不是极值点.

定理3.6

(极值判别法Ⅰ)设函数在点的邻域内连续且可导(允许不存在)，当由小增大经过点时，若3.4.1函数的极值例1

求函数的极值．解，令，解得，，.得到三个驻点，没有导数不存在的点.3.4.1函数的极值无极值极大值极小值3.4.1函数的极值由表可见函数的极大值为，极小值为．例2

求函数的极值．解，3.4.1函数的极值当时，不存在．令，解得.极大值极小值3.4.1函数的极值函数极大值为，极小值为．定理3.7(极值判别法Ⅱ)

设函数在点处有二阶导数，且，存在，3.4.1函数的极值

(1)若，则函数在点处取得极大值；

(2)若，则函数在点处取得极小值；

(3)若，则不能判断是否是极值.3.4.1函数的极值因此，当时，第二判别法失效，只能用第一判别法判断.3.4.1函数的极值对于的情形：可能是极大值，可能是极小值，也可能不是极值．例如，，是极大值；，，是极小值；，，但不是极值．例3

求函数的极值．解，令，解得，.，，所以是极大值点.的极大值为.3.4.1函数的极值，所以是极小值点.的极小值为.求函数极值的步骤：3.4.1函数的极值

⑤求出各极值点的函数值.

④分别考察每一个驻点或导数不存在的

点是否为极值点,是极大值点还是极小值点；3.4.1函数的极值

②解方程，求出在定义域内的所有驻点；

①求的导数；

③找出在定义域内所有导数不存在的点；对于一个闭区间上的连续函数,它的最大值、最小值只能在极值点或端点上取得．因此,只要求出函数的所有极值和端点值，它们之中最大的就是最大值，最小的就是最小值.3.4.2函数的最大值与最小值3.4.2函数的最大值与最小值

①求出在内的所有驻点和一阶导数不存在的连续点，并计算各点的函数值.

②求出端点的函数值和.求最大值和最小值的方法如下：

③比较前面求出的所有函数值，其中最大的就是在上的最大值,最小的就是在上的最小值.例4

求函数在上的最大值与最小值.令，解得，，，3.4.2函数的最大值与最小值解．计算出，，，再算出，，3.4.2函数的最大值与最小值比较这五个函数值，得出在上的最大值为，最小值为

.比较这五个函数值，得出在上的最大值为，最小值为.解，令，解得，，，计算出，，再算出，3.4.2函数的最大值与最小值例5

求函数在上的最大值与最小值.例6

求函数在上的最大值与最小值.令，解得，计算出，再计算出，，解，3.4.2函数的最大值与最小值比较以上三个函数值得出在上的最大值为，最小值为.事实上，有，故是单调增加的，单调函数的最大值和最小值都发生在区间的端点处.3.4.2函数的最大值与最小值特别值得指出的是：在一个区间(有限或无界，开或闭)内可导且只有一个驻点，并且这个驻点是的唯一极值点，那么，当是极大值时，就是在该区间上的最大值；当是极小值时，就是在该区间上的最小值．在应用问题中往往遇到这样的情形．这时可以当作极值问题来解决，不必与区间的端点值相比较．3.4.2函数的最大值与最小值解设窗框的宽为，则长为

.例7

欲用长的铝合金料加工一日字形窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能使窗户面积最大，最大面积是多少？3.4.2函数的最大值与最小值于是窗户的面积令，求得驻点，3.4.2函数的最大值与最小值．因为，所以是极大值点.由于在区间(0，2)内有唯一的极大值，则这个极大值就是最大值.于是得到，窗户的宽为，长为时，窗户的面积最大，最大面积为．

1.最大利润问题例8

某厂生产某种产品，其固定成本为3万元，每生产一百件产品，成本增加2万元．其总收入(单位：万元)是产量(单位：百件)的函数.，求达到最大利润时的产量．3.4.3最大值与最小值在经济问题中的应用举例解利润函数为．，令，得(百件).，所以当时，函数取得极大值，因为是唯一的极值点，所以就是最大值点.即产量为300件时取得最大利润.3.4.3最大值与最小值在经济问题中的应用举例

2.最小成本问题例9

已知某个企业的成本函数为，其中－成本(单元：千元)，－产量(单位：吨)，求平均可变成本(单位：千元)的最小值．3.4.3最大值与最小值在经济问题中的应用举例解平均可变成本