《一元二次不等式的应用》示范公开课教学设计【高中数学必修5（北师大版）】

4/4《一元二次不等式的应用》教学设计教学目标教学目标【知识与能力目标】会求解方程的存在性问题，会解简单的分式不等式和简单的高次不等式．【过程与方法目标】培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力．【情感态度价值观目标】激发学习数学的热情，培养勇于探索、创新的精神，同时体会从不同侧面观察同一立场的思想．教学重难点教学重难点【教学重点】熟练掌握一元二次不等式的解法，初步掌握分式不等式及简单高次不等式的解法．【教学难点】分式不等式及简单高次不等式的解法的理解．教学过程教学过程解分式不等式的关键是转化，根据实数运算的符号法则，分式不等式的同解变形有如下几种：eq\f(f（x）,g（x）)>0⇔f(x)g(x)>0；eq\f(f（x）,g（x）)<0⇔f(x)g(x)<0；eq\f(f（x）,g（x）)≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0；eq\f(f（x）,g（x）)≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0.一元高次不等式f(x)>0用穿针引线法(或数轴穿根法，或根轴法，或区间法)求解，其步骤是：①将f(x)最高次项的系数化为正数；②将f(x)分解为若干个一次因式的积或一次因式与二次不可分解的因式的积；③将每一个使一次因式等于0的根标在数轴上，从最大根的右上方依次穿过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；④根据曲线显现的f(x)的值的符号，写出不等式的解集．【问题导思】不等式eq\f(x＋2,x－3)>0①，eq\f(x＋2,x－3)≥0②.不等式①与(x＋2)(x－3)>0同解吗？不等式②与(x＋2)(x－3)≥0同解吗？1.eq\f(f（x）,g（x）)＞0与f(x)·g(x)＞0同解．2.eq\f(f（x）,g（x）)＜0与f(x)·g(x)＜0同解．3.eq\f(f（x）,g（x）)≥0与f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0同解．4.eq\f(f（x）,g（x）)≤0与f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0同解．高次不等式的解法:【问题导思】对于函数f(x)＝x(x－1)(x－2)有几个零点？分别是什么？若x分别属于下列区间，f(x)的符号怎样？①(－∞，0)；②(0，1)；③(1，2)；④(2，＋∞)．【提示】三个，0，1，2.①f(x)<0②f(x)>0③f(x)<0④f(x)>0如果把函数f(x)图像与x轴的交点形象地看成“针眼”，函数f(x)的图像看成“线”，那么这种求解不等式的方法，我们形象地把它称为穿针引线法．分式不等式的解法:解不等式：(1)eq\f(2x＋1,1－x)<0；(2)eq\f(x＋1,2x－3)≤1.【思路探究】(1)eq\f(2x＋1,1－x)<0等价于哪个整式不等式？(2)eq\f(x＋1,2x－3)≤1应如何变形？【自主解答】(1)由eq\f(2x＋1,1－x)<0，得eq\f(x＋\f(1,2),x－1)>0，此不等式等价于(x＋eq\f(1,2))(x－1)>0，解得x<－eq\f(1,2)或x>1，∴原不等式的解集为{x|x<－eq\f(1,2)，或x>1}．(2)∵eq\f(x＋1,2x－3)≤1，∴eq\f(x＋1,2x－3)－1≤0.∴eq\f(－x＋4,2x－3)≤0.即eq\f(x－4,x－\f(3,2))≥0.此不等式等价于(x－4)(x－eq\f(3,2))≥0，且x－eq\f(3,2)≠0，解得x<eq\f(3,2)或x≥4，∴原不等式的解集为{x|x<eq\f(3,2)，或x≥4}．1．本例(2)易出现把eq\f(x＋1,2x－3)≤1直接变形为x＋1≤2x－3这样的错误．2．解分式不等式一般先移项，使不等式的一端为零，再利用不等式的性质将其转化整式不等式(组)来解．简单高次不等式的解法：解不等式eq\f(3x2,2x－1)－x>0.【思路探究】先把不等式通分化简，再用穿针引线法求解．【自主解答】原不等式可改写为eq\f(3x2－x（2x－1）,2x－1)＞0.即eq\f(x（x＋1）,2x－1)＞0，此不等式可转化成x(x＋1)(2x－1)＞0，函数f(x)＝x(x＋1)(2x－1)的函数值的符号如图所示．由图可知，不等式x(x＋1)(2x－1)＞0，即原不等式的解集为{x|－1＜x＜0，或x＞eq\f(1,2)}．高次不等式的解法：化成标准型p(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)>0(或<0)．再利用穿针引线法写出解集，穿根的步骤：(1)分解因式；(2)确定零点；(3)在数轴上按照从小到大的顺序标根；(4)当最高次项的系数为正时，右起为正(其中奇过偶不过)进行穿根．解不等式x－eq\f(8,x)<2.【解】先化简不等式得x(x2－2x－8)<0，分解因式得x(x＋2)(x－4)<0.如图所示，由穿针引线法可知原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，4)．一元二次不等式的实际应用:解不等式应用题，一般可按以下四步进行：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回答实际问题．等价转化思想在解分式不等式中的应用:(12分)解不等式eq\f(x＋1,x)≤3.【思路点拨】先通分再转化整式不等式．【规范解答】原不等式可化为eq\f(x＋1,x)－3≤0，即eq\f(1－2x,x)≤0，∴eq\f(2x－1,x)≥0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（2x－1）≥0，,x≠0，))解得x≥eq\f(1,2)或x<0.故原不等式的解集为{x|x≥eq\f(1,2)或x<0}.解分式不等式就是把分式不等式转化为整式不等式求解．要注意转化时看一下是否等价．这体现了等价转化思想．总结：1．解分式不等式和高次不等式一般的方法是穿针引线法，先将不等式化为标准型，即右边为零，左边分解成几个因式的积或商，使每个因式的x系数全为1，再把各根依次从小到大排在数轴上后，要从右上方开始往左穿，若有重根，则奇次重根一次穿过，偶次重根要穿而不过，