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大学生数学试题及答案考试形式:闭卷考试时间:150分钟满分:100分一、(本题满分10分)求极限。【解】1(1(0)21(1)21()21(2n1)2)nnnnn因在上连续,故存在,且=,所以,。二、(本题满分10分)请问为何值时下式成立【解】注意到左边得极限中,无论为何值总有分母趋于零,因此要想极限存在,分子必须为无穷小量,于就是可知必有,当时使用洛必达法则得到,0由上式可知:当时,若,则此极限存在,且其值为;若,则,综上所述,得到如下结论:或。三、(本题满分10分)计算定积分。【解】作变换,则,所以,。四、(本题满分10分)求数列中得最小项。x【解】因为所给数列就是函数当分别取时得数列。又且令,容易瞧出:当时,;当时,。所以,有唯一极小值。而,因此数列得最小项。五、(本题满分10分)求。【解】考虑幂级数,其收敛半径为,收敛区间为,当时,收敛;当时,发散,因此其收敛域为。设其与函数为,则,。于就是,故,。六、(本题满分10分)设,其中为连续函数,求。【解】原方程可写为,上式两端对求导得f(x)cosxf(t)dtxf(x)xf(x)cosxxxf(t)dt(*)00两端再对求导得即这就是一个二阶线性常系数非齐次方程,由原方程知,由(*)式知。特征方程为,齐次通解为设非齐次方程特解为,代入得。则非齐次方程通解为由初始条件与可知,。LOA七、(本题满分10分)在过点与得曲线族中,求一条曲线,使沿该曲线从到得积分得值最小。【解】。I(a)(0,+∞)内得唯一极值点,故a=1时I令,得;又,则在处取极小值,且a=1就是在(a)取最小值,则所求曲线为。

f(x)八、(本题满分10分)设在上有二阶导数,且,。[−1,1]证明:1.,x∈[−1,1]。f(x)2.=x在[−1,1]上有且只有一个实根。【证明】1.由泰勒公式,两式相减并整理得(1x2)(1x2)(1x2)(1x2)f(x)f()f()于就是,448由于,因此,。2.令。则,。但在[−1,1]上连续,由介值定理知,在上至少有一个零点。[−1,1][−1,1]又由1可知,故在上严格单调,从而至多有一个零点。f(x)=x[−1,1]在[−1,1]这样在上有且只有一个零点,即上有且只有一个实根。九、(本题满分10分)设在为连续函数,则。【解】令则,则所

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