2021-2022学年广东省广州市广东中学(高中部)高三数学文上学期期末试卷含解析

2021-2022学年广东省广州市广东中学(高中部)高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于(

) A．1 B． C．2 D．参考答案：C考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可．解答： 解：长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，长方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以侧视图的面积为：2．故选：C点评：本题考查几何体的三视图形状，侧视图的面积的求法，判断几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力．2.在?ABCD中，AB=2AD=4，∠BAD=60°，E为BC的中点，则?=（）A．6 B．12 C．﹣6 D．﹣12参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，代入各点坐标计算【解答】解以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，0），C（5，），D（1，）．E（，）=（，），∴=（﹣3，）．==﹣12，故选：D3.已知函数与的图象如图所示，则（

）A．在区间(0,1)上是减函数

B．在区间(1,4)上是减函数C．在区间上是减函数

D．在区间上是减函数参考答案：C4.若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：B【考点】复数的基本概念．【分析】复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，可得sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出．【解答】解：∵复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴cosθ=﹣．则tanθ==﹣．故选：B．5.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘(转盘如图)，经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为20°，50°和60°，则抽奖一次中奖的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：C6.为了得到函数的图象，只需把函数的图象 A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：D7.数列中，，且，则前2010项的和等于A．1005

B．2010

C．1

D．0参考答案：A8.已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a＝(

)A.

B.

C．3

D．9参考答案：A9.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数为 （）A．101

B．808

C．1212

D．2012参考答案：B10.一个四面体如图1，若该四面体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则它的体积（）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：如图，由题意知，且平面，平面，因此，选C.考点：三视图，棱锥的体积.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程的解为

。参考答案：1或312.不等式的解是

．参考答案：略13.某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是名．参考答案：7【考点】7C：简单线性规划．【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z=x+y，则题意求解在可行域内使得z取得最大．【解答】解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z=x+y?y=﹣x+z则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，截距最大时的直线为过?（4，3）时使得目标函数取得最大值为：z=7．故答案为：7．14.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为________参考答案：【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，根据圆锥底面圆周长等于展开后半圆的弧长得出，由题意得出，再由勾股定理得出的值，最后利用锥体的体积公式计算出圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则，由题意可知，，，由勾股定理得，因此，该圆锥的体积为，故答案为：.【点睛】本题考查圆锥体积的计算，涉及圆锥的侧面展开图问题，解题时要注意扇形弧长等于圆锥底面圆周长这一条件的应用，考查空间想象能力，属于中等题.15.在平面直角坐标系中，经过原点和点的直线的倾斜角α=

．参考答案：【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；方程思想；分析法；直线与圆．【分析】设此直线的倾斜角为α，则k=tanα==﹣，即可得出．【解答】解：设此直线的倾斜角为α，则k=tanα==﹣，∵α∈[0,π），所以α=【点评】本题考查了行列式的代数余子式，本题难度不大，属于基础题．16.若实数x，y满足约束条件且目标函数的最大值为2，则实数m=______．参考答案：2【分析】作出可行域，寻求目标函数取到最大值的点，求出m.【详解】先作出实数x，y满足约束条件的可行域如图，∵目标函数z=x-y的最大值为2，由图象知z=2x-y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2．由，解得A（2，0），同时A（2，0）也在直线x+y-m=0上，∴2-m=0，则m=2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查线性规划，利用最值求解参数，作出可行域是求解的关键.17.函数f(x)＝在[2,3]上的最小值为________最大值为________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与圆交于两点，是圆上不同于两点的动点，求面积的最大值.参考答案：l

（1）圆的普通方程为，直线的方程可化为，l

即直线的直角坐标方程为.l

（2）圆心到的距离为l

所以，l

又因为圆上的点到直线的距离的最大值为，l

所以l

即面积的最大值为.19.已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．（Ⅰ）求证：|MN|=（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．参考答案：解：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、，

，

∴切线的方程为：，又切线过点，有，即，

（1）

同理，由切线也过点，得．（2）由（1）、（2），可得是方程的两根，

（*）

，把（*）式代入,得,因此，函数的表达式为．

（Ⅱ）当点、与共线时，，＝，即＝，化简，得，

，．

（3）

把（*）式代入（3），解得．

存在，使得点、与三点共线，且．

（Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，，

则．

依题意，不等式对一切的正整数恒成立，，即对一切的正整数恒成立．

，，．

由于为正整数，．

又当时，存在，，对所有的满足条件．因此，的最大值为．

解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值．，长度最小的区间为，

当时，与解法相同分析，得，解得．

略20.（本小题满分12分）已知△ABC的三内角A,B,C所对边的长依次为a,b,c，若，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．参考答案：（Ⅰ）4:5:6;（Ⅱ）【知识点】正弦定理；平面向量数量积的运算解析：(I)依题设：sinA＝＝＝，sinC＝＝＝，故cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos(A＋C)＝－(cosAcosC-sinAsinC)＝－(－)＝.则:sinB＝＝＝所以4:5:6…………6分(II)由(I)知：4:5:6，不妨设：a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0.故知：||＝b＝5k，||＝a＝4k.

依题设知：||2＋||2＋2||||cosC＝4646k2＝46，又k＞0k＝1.故△ABC的三条边长依次为：a＝4，b＝5，c＝6.△ABC的面积是…………12分【思路点拨】（Ⅰ）A，C为三角形内角，先求出sinA，sinC，由cosB=cos[π-（A+C）]展开即可求出cosB的值，从而可求出sinB，由正弦定理即可求出a：b：c的值；（Ⅱ）由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，即可求出△ABC的面积．21.（本题满分13分）已知向量，（），令，且的周期为

[来源:

/](1)求f()的值；(2)写出在上的单调递增区间及值域参考答案：(2)+1当（）时，单增，

---7分即（）,

---9分∵∴在上的单调递增区间为

---10分…11分∴∴函数的值域为…13分

22.设数列{an}的前n项和为Sn，满足（1﹣q）Sn+qan=1，且q（q﹣1）≠0．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．参考答案：【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）求出a1=1．利用当n≥2时，由Sn﹣Sn﹣1=an，利用q（q﹣1）≠0，说明{an}是以1为首项，q为公比的等比数列，求出通项公式．（Ⅱ）求出Sn=，灵活S3+S6=2S9，得到a2+a5=2a8．说明a2