北京密云第六中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

北京密云第六中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图,输出的S值为（A） （B）（C） （D）参考答案：D2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（

）

A．－2

B．2

C．－4

D．4参考答案：D略3.《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同）.二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至后的那个节气（小暑）晷长为（

）A.五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸参考答案：B【分析】由题意知，从夏至到冬至，冕长组成了等差数列，其中，，结合等差数列通项公式，可求公差，进而可求小暑晷长.【详解】解：设从夏至到冬至，每个节气冕长为，即夏至时冕长为，冬至时冕长为，由每个节气晷长损益相同可知，常数，所以为等差数列，设公差为，由题意知，，解得，则.故选:B.【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的求解及应用.本题的关键是将各个节气的冕长抽象成等差数列.4.若直线与直线互相垂直，那么a的值等于(

)A．1

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：由得，故选D.考点：平面内两直线垂直与平行的判定.5.复数的虚部为（）A．iB．﹣iC．D．﹣参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数===﹣+i的虚部为．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．6.设，是非零向量，记与所成的角为，下列四个条件中，使成立的充要条件是（

）．A．

B． C． D．参考答案：B 等价于非零向量与同向共线，故选B.7.若变量x,y满足约束条件则目标函数Z==x+2y的取值范围是

A.[2,6]

B.[2,5]

C.[3,6]

D.[3,5]

参考答案：A略8.函数的大致图象为

参考答案：答案：D9.高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为

(

)

A．

B.

C．

D.参考答案：D略10.已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．解答： 解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数(a＜b)在R上单调递增，则的最小值为______.参考答案：3略12.已知向量，，．若，则________．参考答案：解答：，∵，∴，解得.

13.在的展开式中项的系数为

．参考答案：1014.已知等差数列的前n项和为，若，则公差___________.参考答案：3略15.若函数的反函数为，则．参考答案：116.在直角坐标系中，抛物线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．若直线经过抛物线的焦点，则常数

．参考答案：略17.若对任意的，均有，则a的取值范围是________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤20.（本小题满分16分）已知函数，其中m，a均为实数．（1）求的极值；（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得成立，求的取值范围．参考答案：对于函数在上值域中每一个值，函数在上总有两个不同自变量与之对应相等．首先求出函数在上值域，然后根据函数在上必须不为单调函数且每段单调区间对应的值域都需包含.由在不单调得，由每段单调区间对应的值域都需包含得，.试题解析：（1），令，得x=1．

…1分列表如下：x（-∞，1）1（1，+∞）+0-g(x)↗极大值↘

19.某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为ξ1（万元）的概率分布列如表所示：ξ1110120170Pm0.4n且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p，乙项目产品价格一年内调整次数X（次）与ξ2的关系如表所示：X（次）012ξ241.2117.6204.0（1）求m，n的值；（2）求ξ2的分布列；（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用概率和为1，期望值列出方程组求解即可．（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0，求出概率，得到ξ2的分布列；（3）利用期望关系，通关二次函数求解最值即可．【解答】解：（1）由题意得：，得：m=0.5，n=0.1．（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0，P（ξ2=41.2）=（1﹣p）[1﹣（1﹣p）]=p（1﹣p）P（ξ2=204.0）=p（1﹣p）所以ξ2的分布列为ξ241.2117.6204.0Pp（1﹣p）p2+（1﹣p）2p（1﹣p）（3）由（2）可得：=﹣10p2+10p+117.6根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需E（ξ1）＜E（ξ2），即120＜﹣10p2+10p+117.6，得0.4＜p＜0.6．因为，所以当时，E（ξ2）取到最大值为120.1，所以预测投资回报率的最大值为12.01%．20.本题满分12分）等比数列的各项均为正数，且（1）求数列的通项公式.（2）设求数列的前项和.参考答案：解：（1）设数列{an}的公比为q，由得所以。有条件可知，故。……4分由得，所以…5分

故数列{an}的通项式为

……………6分（2）==.……………………8分故

…………10分所以数列的前n项和为

………12分略21.已知函数f（x）=x﹣﹣lnx，a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）由已知中函数的解析式，求出函数的定义域，求出导函数，分a≥，0＜a＜两种情况，分别讨论导函数的符号，进而可得f（x）的单调性；（II）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，则f（x）﹣x+x2＞0在（1，+∞）恒成立，即a＜x3﹣xlnx在（1，+∞）恒成立，令g（x）=x3﹣xlnx，分析g（x）的单调性，进而可将问题转化为最值问题．【解答】解：（I）函数f（x）=x﹣﹣lnx的定义域为（0，+∞），且f′（x）=1+﹣=①当△=1﹣4a≤0，即a≥时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）在（0，+∞）为增函数．②当△=1﹣4a＞0，即0＜a＜时，由f′（x）＞0得，x2﹣x+a＞0，即x∈（0，），或x∈（，+∞）由f′（x）＜0得，x2﹣x+a＜0，即x∈（，）∴f（x）在区间（0，），（，+∞）为增函数；在区间（，）为减函数．（II）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，则f（x）﹣x+x2=＞0在（1，+∞）恒成立，即a＜x3﹣xlnx在（1，+∞）恒成立，令g（x）=x3﹣xlnx，h（x）=g′（x）=3x2﹣lnx﹣1，则h′（x）==，在（1，+∞）上，h′（x）＞0恒成立，故h（x）＞h（1）=2恒成立，即g′（x）＞0恒成立，故g（x）＞g（1）=1，故0＜a≤1，即实数a的取值范围为（0，1]．22.（本小题满分14分）如图1，在直角梯形中，，，，.把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，连接,点分别为线段的中点．(I)

求证：平面平面；(II)求直线与平面所成角的正弦值；(III)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等？请说明理由.参考答案：解：（I）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上

所以平面，所以

…1分因为在直角梯形中，，，，

所以，，所以是等边三角形，

所以是中点，

…2分所以

…3分同理可证又所以平面

…5分（II）在平面内过作的垂线如图建立空间直角坐标系，则，，

…6分

因为，设平面的法向量为因为，所以有，即，令