3刚体的定轴转动

《物理学》多媒体学习辅导系统第三章刚体得定轴转动一.理解定轴转动刚体运动得角速度与角加速度得概念,理解角量与线量得关系。二.理解刚体定轴转动定律,能解简单得定轴转动问题。五.理解转动惯量得概念,能用平行轴定理与转动惯量得可加性计算刚体对定轴得转动惯本章得重点就是刚体定轴转动得力矩、转动惯量、角动量等物理量得概念与转动定律,难点就是刚体绕定轴转动得角动量守恒定律及其应用。一.角量与线量得关系s=r9v=ra=rta=r2n二.描述刚体定轴转动得物理量与运动规律与描述质点直线运动得物理量与运动规律有类比关系,有关得数学方程完全相同,为便于比较与记忆,列表如下。只要将我们熟习得质点M质点得直线运动刚体定轴转动置移速度加速度xxdxv=dta==a==dtdt2位置位移速度角加速度99d9=dtdd29==tdt匀速直线运动匀速直线运动00200力牛顿第二定律得功mFx01E=mv2k2动能定理量动量定理jxFdx=1mv2-1mv2x2200jtFdt0t00系统得机械能守恒定律若A+A=0,则外非保内kp系统得动量守恒定律若xF=0,则外xmv=常量ii匀角速转动9=9+ot09=9+ot+at2002o2-o2=2a(9-9)00转动惯量定轴转动定律力矩得功ii990k2动能定理冲量矩j9Md9=1Io2-1Io2922200t0角动量(角动量(动量矩)角动量定理jtMdt=Io-Io0t0系统得机械能守恒定律若A+A=0,则外非保内kp系统得角动量守恒定律若xM=0,则外xL=常量i三.对于质点、刚体组成得系统,动能定理仍然适用,系统得动能包括系统内所有质点得平动动能与刚体得转动动能。当系统内力只有保守力作功,其外力与非保守内力作得总功为零,则整个系统机械能守恒。一.一长为l、质量为m得匀直细棒一端固定,可在竖直平面内转动,最初棒静止在水平位l有人这样解:放手后杆受重力矩M=mg21细杆绕点O得水平轴转动得转动惯量为I=ml2,3由转动定律M=I,解得=3g;又根据2一2=29,=09=得2l00,2讨论:上述计算方法就是错误得讨论:刚放手时重力矩M=mg刚放手时重力矩M=mg,角加速度=,但随着杆得转动,重力矩越来越小,在922l22l处,为M=mg1lcos9;角加速度也随之减小,在9处,为=3gcos9。22l0此题得解法有多种,我们介绍两种从功与能得角度求解得方法。解法一:用动能定理杆摆到任一杆摆到任一9角时,其所受得重力矩为l2杆从水平位置转到竖直位置时,重力对杆所作得功为M=mgcos9A=jdA=jMd9=j2mglcos9d9=mgl0220A=A=Ekmgl=1I2一1I22220式中=0I=ml20,3解得IIl解法二:用机械能守恒求解取杆与地球为系统,除重力外无其它力作功,机械能守恒。取竖直位置时杆得质心位置为重力势能零点,有oo2式中1I=ml23解得Il二.如图,一质量为m,得黏土块以水平速度v甩向长为l质量为m得杆得末端,并粘在杆0端。求系统获得得角速度。有人这样解:取黏土块与杆为系统有人这样解:取黏土块与杆为系统,碰撞中水平方向动mvmmv,解得0m,vvm,v讨论:上述计算方法就是错误得!其根源在于没有认真分析守恒定律成立得条件。在黏土块甩在杆上瞬时,杆得上端受到一个很大得力,这个力对黏土块与杆组成得系统而言就是外力,其水平分量亦不可忽略,故水平方向动量不守恒。但这个力通过转轴,其力矩为零,且系统得重力矩也为零,即系统得合外力矩为零,角动量守恒。黏土块开始与杆碰撞得瞬时,系统得角动量仅为黏土块对转轴得角动量,其I=m,l2,o=v0,0l碰撞结束时,系统得角动量为由碰撞过程中角动量守恒解得003(1)0(3)(1)0(3)0cmmkg1mkg滑块m在倾角9=30。得斜面上22间无摩擦,绳与轮间无相对滑动,求滑块得加速度与绳中解:这就是一个质点、刚体组成得系统,需隔离物体,分析各物体所受力(力矩)。作受力分析图,由牛顿第二定律与转动定律立出动力学1T111aT2r222T1T21I=mr2212r2T1T1FF,TT2解得m+m+m122例二如图,均匀细杆可绕距其一端1l(l为杆长)得水平轴o在竖直平面内转动,杆得质4量为m、当杆自由悬挂时,给它一个起始角速度O,如杆恰能持续转动而不摆动(不计一切摩0解:由平行轴定理,杆绕水平轴得转动惯量为117I=I+md2=ml2+ml2=ml2c121648杆与地球组成得系统在转动过程中机械能守恒。要使杆恰能持续转动而不摆动,杆转过lE=mglP2动能增加为E=I2I2k220由E=E解得kP=2+07l=40=407l7ll杆处于水平位置时势能增加为E=mgE=I2I2k220由E=E解得kP=27l杆处于水平位置时重力矩为ll由转动定律M=Iala===I7la===I7ml27l第一关1.选出下述说法中得正确者。Avrvv正值;nB.法向加速度a恒大于零,切向加速度at也恒大于零;nC.对定轴转动刚体而言,刚体上一点得线速度v、切向加速度a、法向加速度a得大小tn都与该质点距轴得距离r成正比;D.D.因a=,所以,上面(C)中关于法向加速度得叙述不正确。nrv答:C2.在下列说法中,错误得就是:A.刚体作定轴转动时,其上各点得角速度相同,线速度则不同;B.刚体定轴转动得转动定律为M=Ia,式中M、I、a均为对同一条固定轴而言得,否则该式不成立;C.刚体得转动动能等于刚体上各质元得动能之与;D.对给定得刚体而言,它得质量与形状就是一定得,则其转动惯量也就是唯一确定得。答:D3.细棒可绕光滑轴转动,该轴垂直地通过棒得一个端点,今使棒从水平位置开始下摆,在棒转到竖直位置得过程中,下述说法正确得就是A.角速度从小到大,角加速度从大到小;B.角速度从小到大,角加速度从小到大;C.角速度从大到小,角加速度从小到大;D.角速度从大到小,角加速度从大到小。4.几个力同时作用于一个具有固定转轴得刚体上。如果这几个力得矢量与为零,则正确答案就是A.刚体必然不会转动;B.转速必然不变;C.转速必然会变;D得转动惯量最大得与最小得就是A与(2);答:B6.一质点作匀速率圆周运动时A.它得动量不变,对圆心得角动量也不变;B.它得动量不变,对圆心得角动量不断改变;C.它得动量不断改变,对圆心得角动量不变;D.它得动量不断改变,对圆心得角动量也不断改变。答:C第二关1.刚体绕定轴作匀变速转动时,刚体上距转轴为r得任一点得A.切向、法向加速度得大小均随时间变化;B;C速度得大小变化;D.切向加速度得大小变化,法向加速度得大小恒定。答:C2.两个匀质圆盘A与B得密度分别为p与p,且p>p,但两圆盘质量与厚度相同。ABAB如两盘对通过盘心垂直于盘面得轴得转动惯量分别为I与I,则ABA.I>I;ABB.I>I;BAC.I=I;AB答:B1(解m=m即pr2h=pr2h,p>p则r>r,又I=mr2,：I>I)ABAABBABBA2BA3.关于力矩有以下几种说法(1)内力矩不会改变刚体对某个定轴得角动量;(2)作用力与反作用力对同一轴得力矩之与为零;(3)大小相同方向相反两个力对同一轴得力矩之与一定为零;(4)质量相等,形状与大小不同得刚体,在相同力矩作用下,它们得角加速度一定相等。在上述说法中A.只有(2)就是正确得;B.(1)与(2)就是正确得;答:B4.水平刚性轻杆上对称地串着两个质量均为m得小球,如图所示。现让细杆绕通过中心得竖直轴转动,当转速达到时,两球开始向杆得两端滑动,此时便撤去外力,任杆自由转动0(不考虑转轴与空气得摩擦)。在此过程中球与杆组成得系统A.动能守恒与动量守恒;BB.动能守恒与角动量守恒;C.只有动量守恒;第三关C第三关C.要由该时刻得角速度决定;D.要由该时刻得角加速度决定。D答:D5.工程技术上得摩擦离合器就是通过摩擦实现传动得装置,其结构如图所示。轴向作用力可以使A、B两个飞轮实现离合。当转动转动时,此刚体系统在两轮接合前后A.角动量改变,动能亦改变;B.角动量改变,动能不变;C.角动量不变,动能改变;D.角动量不变,动能亦不改变。答:C6.如右图所示,一均匀细杆可绕通过上端与杆垂直得水平光滑轴O旋转,初始状态为静止止悬挂,现有一个小球从左方水平打击细杆,设小球与轴杆之间为非弹性碰撞,则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统A.机械能守恒B.动量守恒C.对转轴O得角动量守恒D.机械能,动量与角动量都不守恒答:C1.一飞轮绕轴作变速转动,飞轮上有两点P与P,它们到转轴得距离分别为d与2d,则121B.;4在任意时刻,P与P两点得加速度大小之比a1B.;412121A.;2答:At,n,tn1212(解:a=raa=r2a=a2+a2=ra2+4,aa=r/r=t,n,tn12122.下列说法中哪个或哪些就是正确得(1)作用在定轴转动刚体上得力越大,刚体转动得角加速度应越大;(2)作用在定轴转动刚体上得合力矩越大,刚体转动得角速度越大;(3)作用在定轴转动刚体上得合力矩为零,刚体转动得角速度为零;(4)作用在定轴转动刚体上合力矩越大,刚体转动得角加速度越大;(5)作用在定轴转动刚体上得合力矩为零,刚体转动得角加速度为零。A.(1)与(2)就是正确得;B.(2)与(3)就是正确得;答:答:与m,系统对OO,轴得转动惯量为答:答:ii4.一质点从静止出发绕半径为R得圆周作匀变速圆周运动,角加速度为a,当质点走完一圈回到出发点时,所经历得时间就是2B.aC.CaD.不能确定答:B00200aa00200aa5.一人张开双臂,手握哑铃,坐在转椅上,让转椅转动起来,若此后无外力矩作用,则当此人收回双臂时,人与转椅这一系统得A.转速加大,转动动能不变;=1=1>;122B.mR2mr2;2211D答:D.角动量保持不变,转动动能加大。答:D(解:张开双臂转动惯量为I大于收回双臂转动惯量为I,收回双臂得过程外力矩121122I2而11I2IE=I2=12=E.1>E。)k22222I1k1Ik1226.两质量为m1与m2得质点分别沿半径为R与r得同心圆周运动,前者以1得角速度沿顺时针方向,后者以得角速度沿逆时针方向。以逆时针方向为正向,则该二质点组成得2系统得角动量就是A.mR2mr2;12211;(解:L=mR2,L=mr2,L=L+L=mr2mR2)111222122211第四关1.定轴转动刚体得运动方程就是=5+2t3,t=1.00s时刚体上距转轴0.1m得一点得加速度得大小就是B.;(I+B.;(I+m)R20A1B.ml2;4答:答:B==6t2a=d=12tdta=d=12tdttnaaa(12rt)2+(36rt4)2=12rt1+9t4tn2.有一半径为R得匀质水平圆转台,绕通过其中心且垂直圆台得轴转动,转动惯量为I,开始时有一质量为m得人站在转台中心,转台以匀角速度转动,随后人沿着半径向外跑0去,当人到达转台边缘时,转台得角速度为II+mR2I+mR20IIIC.;0mR20(解:人与转台组成得系统外力矩M=0,角动量守恒。转台得转动惯量为I,人在台心时人得转动惯量为0,人在台边时人得转动惯量为I0I+mR20mR2,：I=(I+mR2),0I+mR20l3.质量m长l得细棒对通过距一端、与棒垂直得轴得转动惯量为31A.ml2;97C.ml2;;Dml2。1(解:棒对通过质心与棒垂直得轴得转动惯量为I=ml2,由平行轴定理mlc122394.水平刚性轻杆上对称地串着两个质量均为m得小球,如图所示。现让细杆绕通过中心得竖直轴转动,当转速达到o时,两球开始向杆得两端滑动,此时便撤去外力,任杆自由转动0(不考虑转轴与空气得摩擦),当两球都滑至杆端时,系统得角速度为A.o0000答:C00IoIIoI (2)01000 (2)5.长为l质量为m得均匀细棒,绕一端点在水平面内作匀速率转动,已知棒中心点得线速率为v,则细棒得转动动能为1AA.mv222B.mv231C.mv261D.mv2。答:B1l2vl(解:细棒得转动转动惯量为I=ml2,棒中心点得线速率为v=o1l2vlk223(l)3k223(l)36.原来张开双臂以O角速度旋转得冰上芭蕾舞演员其转动动能为E,将手臂收回使0k01转动惯量减少到原来得,则其转速与动能分别变为3A.3O;3E;0k0k3k0904k0答:A1II=II由角动量守由角动量守恒0IO111IO=IO,O=00=3O;E=IO2=.I.9O2=3E。)00I0k22300k0第五关1.一轻绳绕在具有水平转轴得定滑轮上,绳下端挂一物体,物体得质量为m,此时滑轮得角加速度为a,若将物体卸掉,而用大小等于mg、方向向下得力拉绳子,则滑轮得角加速度将A.变大B.不变;答:A(解:挂物体时:mg-F=maTFr=IaT112II=3I00用大小等于mg、方向向下得力拉时mgr=Ia2a=mgr2Iaa)12.可绕水平轴转动得飞轮,直径为1.0m,一条绳子绕在飞轮得外周边缘,在绳得一端加一不变得拉力,如果从静止开始在4s钟内绳被展开10m,则绳端点得加速度与飞轮得角加速度分别为答:答:2s210(解:绳得端点作匀加速直线运动,由s=at2,得a===1.25(m.s22s2102t2422r3.三个完全相同得转轮绕一公共轴旋转。它们得角速度大小相同,但其中一轮得转动方向与另外两个相反。今沿轴得方向把三者紧靠在一起,它们获得相同得角速度。此时系统得动能与原来三轮得总动能相比,正确答案就是1319答:B答:B1311131130初始动能k02020末动能k22909k04.一均匀圆盘状飞轮,质量为20kg,半径为0.3m。则它以每分钟60转得转速旋转时得动能为答:Ck22(k22(2)(60)2(2)(60)5.在竖直位置。被一粒石子击中后细棒获得角速度o。则棒转到水平位置时得角速度与角加0速度大小分别为AA.o-3gl,a=2l;g3g0l,2lC.o2-3g,a=3gl;D.o2-3gl,a=3gl。02B.o2-a=;l2解得(解:由机械能守恒,E=EkPIω2IωIω2Iω2=mg22022021I=ml23=20lM=IlM=mg2==)6.如图,质量为m、半径为r得圆盘,可无摩擦地绕水平轴转动,轻绳得一端系在圆盘得1边缘,另一端悬挂一质量为m得物体。则当物体由静止下落高度h时,其速度为24mghA.266mghB.2m+3m124mghC.26mgh3m+m12答:A(解:由机械能守恒定律,E=Ekp11I2+mv2=mgh2222而1I=mr22v=r4mgh4mghm3－16细棒长为l,质量为,设转轴通过棒上离m中心为h得一点并与棒垂直,则棒对此轴得转动惯量为(用平行轴定理计算)得垂直轴得转动惯量为I=1ml2,由平行轴定理I=I+md2,d=h可求c12c出结果33－17在半径为R得均匀薄圆盘中挖出一直径为R得圆形R面积,所剩部分质量为m,圆形空面积得中心距圆盘得中心为,2求所剩部分对通过盘心且与盘面垂直得轴得转动惯量。指导:此题用补偿法解,先求未挖过得半径为R实心大圆盘对1R轴线得转动惯量I,=m,R2,再由平行轴定理求半径为得小圆盘对边缘且垂直于盘得22轴得转动惯量I轴得转动惯量I,=I,+m,d2(d=),即c22222328两者之差即为所要求得剩余部分转动惯量。式中各部分质量可这样求:小圆盘得面积 (2)4s,4,m,4114 (2)4s,4,m,4114挖出小圆盘质量m'=m,而实心大圆盘得质量m,,=m+m=m3333－18如图所示,两个物体质量分别为m与m,定滑轮得质量为m,半径为R,可122FFRFR=IαTT2而设绳与滑轮无相对滑动,且可不计滑轮轴得摩擦力矩。求m下落得加速度与两段绳中得张1指导:此题中定滑轮得质量为m不可忽略,滑轮为刚体,因此要对滑轮与两个物体分别进行受力分析。如图,由牛顿第二定律、转动定律立出各物体得动力学方程mgF=ma1T11对m,由牛顿第二定律2FF=maTr22对m,由定轴转动定律I=I=mR22F=mgr2由此可解得物体得加速度与绳中得张力3－19如图所示,一质量为m、半径为R得圆盘,可绕垂直通过盘心得无摩擦得水平轴指导:此题用机械能守恒解。以圆盘、物体与地球为系指导:此题用机械能守恒解。以圆盘、物体与地球为系kp111222物体速度RvR由静止下落高度h时,其速度得大小。3－20如图所示,一物体质量为5kg,从一倾角为37。得斜面滑下,物体与斜面得摩擦系数为0.25。一飞轮装在定轴O处,绳得一端绕在飞轮上,另一端与物体相连。若飞轮可瞧成实心圆盘,质量为20kg,半径为0.2m,其所受得摩擦阻力矩忽略不计。求:(1)物体沿斜面下滑得加速度;(2)绳中得张力。指导:设物体得质量为m,滑轮得质量为m,滑轮得半径为r。隔离物体分析受力如图,2图中F=F,,因物体沿斜面方向运动,所以在该方向与与之垂直得方向上列动力学方程:TT对物体,F=mg,由牛顿第二定律,沿张力方向(平行于斜面)G1mgsin37。_F_F=ma1Tr1在垂直于斜面得方向1N对滑轮,由转动定律T而rN1I=mr222联立这些方程可解得物体得加速度a=(|(_))|m1mg与绳中得张力Fm2a。1223－21如图所示,连在一起大小不同得鼓轮,其质量分别为m,与m,,半径分别为r与121r。两鼓轮各绕有绳索,两绳索各挂有质量分别为m与1mmm)。求鼓轮得角加速度与绳得张力。221(各鼓轮可瞧成质量均匀分布得圆盘,绳索质量与轴承摩指导:隔离