高考福建理科数试题及答案(word解析)

年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年福建，理1，5分】复数的共轭复数等于（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由复数，得复数的共轭复数，故选C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．（2）【2014年福建，理2，5分】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）（A）圆柱（B）圆锥（C）四面体（D）三棱柱【答案】A【解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形，故选A．【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．（3）【2014年福建，理3，5分】等差数列的前项和，若，则（）（A）8（B）10（C）12（D）14【答案】C【解析】设等差数列的公差为，由等差数列的前项和公式，得，解得，则，故选C．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．（4）【2014年福建，理4，5分】若函数的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由函数的图像过点，得．选项A中的函数为，则其函数图像不正确；选项B中的函数为，则其函数图像正确；选项C中的函数为，则其函数图像不正确；选项D中的函数为，则其函数图像不正确，故选B．【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．（5）【2014年福建，理5，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的得值等于（） （A）18（B）20（C）21（D）40【答案】B【解析】输入，，第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，，满足，结束循环，，故选B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．（6）【2014年福建，理6，5分】直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由直线与圆相交，得圆心到直线l的距离，解得．当时，，，则的面积为；当时，同理可得的面积为，则“”是“的面积为”的充分不必要条件，故选A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．（7）【2014年福建，理7，5分】已知函数，则下列结论正确的是（）（A）是偶函数（B）是增函数（C）是周期函数（D）的值域为【答案】D【解析】由函数的解析式知，，，，则不是偶函数；当时，令，则在区间上是增函数，且函数值；当时，，则在区间上不是单调函数，且函数值；∴函数不是单调函数，也不是周期函数，其值域为，故选D．【点评】本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．（8）【2014年福建，理8，5分】在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由向量共线定理，选项A，C，D中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B中的向量组不共线，可以作为基底，故选B．【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题．（9）【2014年福建，理9，5分】设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】设圆心为点，则圆的圆心为，半径．设点是椭圆上任意一点，则，即，∴，当时，有最大值，则，两点间的最大距离为，故选D．【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．（10）【2014年福建，理10，5分】用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取．“”表示取出一个红球，而“”则表示把红球和篮球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球．5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球．（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由．解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为和．所以,从而双曲线E的离心率．（2）由（1）知，双曲线E的方程为．设直线与轴相交于点．当轴时，若直线与双曲线有且只有一个公共点，则，又因为的面积为8，所以．此时双曲线的方程为．若存在满足条件的双曲线，则的方程只能为．以下证明:当直线不与轴垂直时，双曲线：也满足条件．设直线的方程为，依题意,得或．则，记．由，得，同理得．由得：即．由得，．因为，所以，又因为．所以，即与双曲线有且只有一个公共点．因此，存在总与有且只有一个公共点的双曲线，且的方程为．【点评】本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．（20）【2014年福建，理20，14分】已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为．（1）求的值及函数的极值；（2）证明：当时，；（3）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有．解：解法一：（1）由，得．又,得．所以．令，得．当时,单调递减；当时，单调递增．所以当时，取得极小值,且极小值为无极大值．（2）令，则．由（1）得，故在R上单调递增，，因此，当时，，即．（3）①若，则．又由（2）知，当时，．所以当时，．取，当时，恒有．②若，令，要使不等式成立，只要成立．而要使成立，则只要，只要成立．令，则．所以当时,在内单调递增．取，所以在内单调递增．又．易知．所以．即存在，当时，恒有．综上，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有．解法二：（1）同解法一．（2）同解法一．（3）对任意给定的正数，取，由（2）知，当时，，所以，当时，因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有．【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．（21）【2014年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵的逆矩阵．（1）求矩阵；（2）求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解：（1）因为矩阵是矩阵的逆矩阵,且，所以．（2）矩阵的特征多项式为，令，得矩阵的特征值为或，所以是矩阵的属于特征值的一个特征向量．是矩阵的属于特征值的一个特征向量．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．（21）【2014年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为，（为参数）．（1）求直线和圆的普通方程；（2）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围．解：（1）直线的普通方程为．圆的普通方程为．（2）因为直线与圆有公共点，故圆的圆心到直线的距离，解得．【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆