专题32巧构二面角备战2016高考技巧之高中数学黄金解题模板解析版

立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是高考的热点问题，每年、解.在高常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.方法一 第三 1.在边长为aCDC于DD折成二面角DC后，Ca2时二面角DC的大小 【答案】60线也是中线是解题的关键，根据已知条件能够说明DC为二面角DC的平面角，连接C

CD为正三角形，从而得出二面角DC的大小为60 DE，BADE，且EADAAB2CB2,如图（2）ABABCDABCDABEM为CEAMDEBC求三棱锥CBEDEBDC222（2）V=3

（3） （3）EBDCEBDABD中点GEGAGEDEBADABAGBDEGAGEEBDA的平面角DABAG

2,tanAGE

EA 2222222二面角EBDC的正切值为 2方法二射影法解题模板：第一 第二 第三 2SABCD的底面是正方形，SDABCD，SD2aADDEa(0

求证：对任意的(02]ACBE设二面角CAED的大小为 直线BE与平面ABCD所成的角为若tantan1求2（2）2（1）出．再用λ表示出tan和tan，代入tantan1，解方程即可．BCCD2AA12EE1FADAA1ABEE1//FCC1BFC1C7（2） 77（2）FCHFCBCFBBHFCBHCC1BHFCC1．HHGC1FGBG．HGC1FBHFCC1，所以C1F面BHG3BGC1F，所以BGH为所求二面角的平面角，在RtBHG中，BH ，又FH＝1，且FCC13HG

，BG

32 14，因此cosBGHGH 32

72 2

27二面角的余弦值 77BCCD2AA12EE1FADAA1ABEE1//FCC1BFC1C7（2） 77再在三角形中解出BGH方法 空间向量 第三 再利用cos

aa3例3.如图，在四棱锥CD中，底面CD为直角梯形，D//C，DC90，平面D底面CD，Q为D的中点，是棱C上的点，D2，C1aa32求证：平面Q平面D若二面角QC为30，设tC，试确定t的值（Ⅰ）见解析（Ⅱ）t3（Ⅱ）D，Q为D的中点，QD．平面D平面CD，且平面 平CDD，Q4P-ABCDABCDPADABCDPDPBPAPDPCDEABPEC900AB2EPCB7（2）7沿CDADCB．ABDEFEDFCBCPAPDEDEF（2）

21（3） BCP4230)APDE 76ABEF所在的平面与等边ABC所在的平面垂直，AB2AF2，OAB的OEFCFCEB【答案】（1）证明见解析；（2）试题分析：第一问根据等边三角形，确定出OCAB，根据面面垂直的性质，得出OCABEF【20158】如图，已知ABCDAB的中点，沿直线CD将ACD折成ACD，所ACDB的平面角为，则（）A.ADB

B.ADB

C.ACB

D.ACB【答案】22cos2t2

2

cos2

2sin2

2sin2

sin2 sin2

cosADB sin2 ∵sin2

0，sin2

0，∴coscosADB（当 时取等号2【名师点睛】本题主要考查立体几何中的动态问题，属于较难题，由于ABCA'CB的大小关系是不确定的，再根据二面角的定义即可知ADBACBC时，等号成立以立体几何为背景的创新题是浙江高考数学试卷的热点问题，12年，13年选择题压轴题均考查了立体几【2015高考19A1B1D1DCBAAA1B1BADD1A1ABCD均为EB1D1A1DE的平面交CD1F.EFB1C（Ⅰ）EFBC（Ⅱ）6 （Ⅰ）B1C//A1DB1C//A1DE，再由线面平行的性质定理知B1D1E点的坐标为(0.50.5,1nAEnADrs,t应满足的方程组0.5r10.5s10(1,1,1

11

st 【考点定位】1.线面平行的判定定理与性质定理；2.二面角的求解.【名师点睛】解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面【2015，22（10分ABCBADPAAD2ABBC2PABPCDQBPCQDPBQAPAQD （1）3（2）2 n2π－〈n1，n2〉．AB=BE=EC=2，G，FBE，DC的中点(Ⅰ)GF//ADE(Ⅱ)AEFBECAD G 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)23(Ⅱ)BECB作

EC,因为BE^CE，所以BQ^BEAB^BECAB^BE，AB^BBEBQBAx轴，y轴，zA(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)AB^BECBA=(0,0,2)BEC的法向量，n(x,yzAEF的法向量.又AE20,-2AF=(2,2,-n=(2,-nAE=0， 2x-2z=n=(2,-由 取z=2 nAF

î2x+2y-z=从而cosnBA=

n |n|×|BA

=23´ 2所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值 3（Ⅱ）

，ABAC2，A1A4（2）8A1BB1B，得A1DBB1DBA1FBDB1FBD，因此A1FB1【名师点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质以及二面角的求解，属于中档题，在解题时，应观察各个直线与平面之间的位置关系，结合线面垂直的判定即可求解，在求二面角时，可以利用图形中的位置例如三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，在复习时应予以关注.【201517DEFABCAB2DEGHACBCBD//FGH若CFABCABBCCF

，BAC

FGHACFD的角（锐角）（II）BD//FGH因此GBGCGD以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成方法，要注【2015高 A1A底面ABCDABAC,AB=1,ACAA12ADCD=5,M和NB1C和D1D的中点D1-AC-B1EABNEABCD1AE71 7【答案】(I)

；33

2NE,nNE1(1)2(2)2(III)A1EA1B1，其中[0,1E(0NE,nNE1(1)2(2)2

1，整理得243037又因为[0,1]，解得 277 27【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用是向量的最大优势，把空间一些难以问题转化成计算问题，有效的解决了一些学生空间想象能力较差的问题2分别为线段AB,BC上的点，且CDDE 2,CE2EBDEAPDCECECDB 3（2） 36(2)解：由（１）CDEDCE＝，如（１９）图，过点ＤDFCEＦ，DF＝FC＝EF＝１，又已知EB＝１，FB＝２． 由

，故AC＝DF＝ 由（1）DEPCDPCDn2可取为ED,n211从而法向量n1

的夹角的余弦值为cosn1n2

n1n2 3 3故所求二面角A-PD-C的余弦值 36法就是求直线的方向向量、平面的法向量，按照空间角的计算进行计算，也就是把几何问题完全代数BCMGHNFGH标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由MN//AEGM的余弦值（1）F、G、H的位置如图所示 FEF M 223（1）F、G、H的位置如图所示 FEF M （3）ACMMPAC【名师点睛】立体几何解答题的考查内容，不外乎线面、面面位置关系及空间夹角与距离的计算.（1）注ABCDF、G、H的位置.（2）根据直线与平面平行的判定定理，应MNBDH内的一条直线.O、MMNHOMNOH，MN//BDH.（3）AEGMMAEGC的垂线，EGMAEGM的平面角.PABCDPDABCD，PDCDPCEEFPBPBFDE,DF,BD,BE.PB平面DEFDBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写DEFABCDπDC 2（Ⅱ） 22（【考点定位】四棱锥的性质，线、面垂直的性质与判定，二面角.2C1D2是D是C与的交点．将沿折起到1的位置，如图2．CD1C1平面CD1C与平面1CD6（II） 63 PABCDPAABCDABCDPAADEF分别ABPD的中点．PFDFDEBAAFPCDEPCD3（2） 33（2）PABC中，PAABC，2ACPC2ACBCFAP的中点，MND 分别为线段PC,PB,AC,AB上的动点，且 DEPACMPCDACAFMND（2） 7PABCACBCBCPACDEPACMNPACMNFMMNDM，从而得FMD即为二面角AA12EE1FADAA1ABEE1//FCC1BFC1C7（2） 77（2）FCHSABC中，SBABCSB=AB2BCSC

6,ABC

2SDEBSDEBACDSBDE（Ⅱ）3SBDE3P-ABCDABCDPAPDDA2BAD600PBAD6若PB ，求二面角APDC的余弦值6（Ⅰ）ADEPEBEBDPAPDDAABCD为菱形，且BAD600PAD和ABDPEADBEADAD平面PBE，又PB平面PBE，∴PBAD（Ⅱ） 55（0,0,0，ABCDABEMNDEABNAME（Ⅱ）（Ⅰ）求二面角C1ABC5 556DDxyz6

3,BC求二面角C1ABC5 55M如图已知菱形ABCD的边长为6，BAD60，AC BDO.将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD32，得到三棱锥BACD.MMBC的中点，求证:OM平面