黑龙江省齐齐哈尔市2017届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题-含解析

PAGE黑龙江省齐齐哈尔市2017届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题可得，又，所以=，故选C2.设，若（为虚数单位）为正实数，则复数的共轭复数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】,又其为正实数∴，∴∴复数的共轭复数为故选：B3.若抛物线上的点到其焦点的距离为5，则（）A.B.C.3D.4【答案】D【解析】抛物线的准线方程为根据抛物线定义可知：5=n+1,即n=4故选：D4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此后脚痛递减半,六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”根据这个描述可知该人第五天走的路程为（）A.24里B.12里C.6里D.3里【答案】B【解析】试题分析：记每天走的路程里数为,易知是公比的等比数列,,,故选C.考点：等比数列.5.设，则“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“直线与直线垂直”的充要条件为，解得：∴“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件故选：A6.函数的大致图象为（）A.B.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】①取MN的中点为Q，连接MQ，易知:MQ⊥EF.的周长最大，即ME最大，也就是MQ最大，显然，当M在和A同时取到最大此时x=0或者1，故①错误；②的面积而∴满足等式，当时，,的面积最小值为,故②正确；③，此时为定值，，∴h亦为定值，故③正确故选：C10.已知双曲线的右顶点为，以为圆心，半径为的圆与双曲线的某条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】过A作AB⊥PQ，垂足为B，则B为PQ的中点，即，点A到渐近线的距离为：，即，得到∴，，，又∴双曲线的离心率的取值范围为点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11.由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（）A.300B.338C.600D.768【答案】D【解析】当1在首位时，6只有一种排法，7有四种排法，余下四数共有中排法，共有种；当1在个位时，同样共有96种；当1即不再首位也不在个位时，先把1和6排好，有种排法，再排7有3种排法，余下四数共有中排法，共有种综上：共有=768故选：D点睛：本题是一道带有限制条件的排列组合题目，这种问题的常用解题策略有：相邻问题捆绳法，不邻问题插空法，特殊元素（特殊位置）优先分析法，定序问题缩倍法，多排问题单排法，相同元素隔板法等等.12.已知函数的图象上关于直线对称的点有且仅有一对，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】作出如图：，因为函数，的图像上关于直线对称的点有且仅有一对，所以函数在[3,7]上有且只有一个交点，当对数函数的图像过（5，-2）时，由，当对数过（7,2）时同理a=，所以的取值范围为点睛：对于分段函数首先作出图形，然后根据题意分析函数在[3,7]上有且只有一个交点，根据图像可知当对数函数的图像过（5，-2）时，由，当对数过（7,2）时同理a=由此得出结果，在分析此类问题时要注意将问题进行转化，化繁为简再解题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量的夹角为，，那么__________．【答案】1因为，所以所以所以14.在的展开式中，常数项是__________．【答案】【解析】第一个括号取，第二个括号为∴常数项是故答案为：15.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球表面积为，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】该几何体的直观图为三棱锥.取AD的中点为O，由直角三角形斜边的中线为斜边的一半，可知OA=OB=OC=OD∴O为外接球的球心，又，得到OA=OB=OC=OD=，AD=BD=2,∴AB=∴该几何体的体积为故答案为：点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.16.已知数列的通项公式为（表示不超过的最大整数），为数列的前项和，若存在满足，则的值为__________．【答案】108当时，，显然不存在；当时，，显然不存在；当时，，解得：k=108故答案为：108三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角所对的边分别为，且满足.（1）求的大小；（2）求的最大值.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由条件结合正弦定理得：，又，所以，再利用余弦定理即可得到答案；（2）利用内角和定理，化简得到，结合正弦函数的图象与性质得到最大值.试题解析：解：（1）根据可得，即在中,∵，∴，∴，∵，∴.（2）由（1）知，故，,，∵，∴，∴，∴的最大值为.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.2016年6月22日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为9:11.（1）根据已知条件完成下面的列联表,并判断能否有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”；（2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查.在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“国际教育信息化大会”的人数为，求的分布列及数学期望.附:参考公式，其中.临界值表：【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”.（2）分布列见解析，【解析】试题分析：（Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；（Ⅱ）ξ的可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列及数学期望．试题解析：解：（1）依题意可知，抽取的“青少年”共有人，“中老年”共有人.完成的列联表如下：则，因为,所以有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”.（2）根据题意知选出关注的人数为3，不关注的人数为6，在这9人中再选取3人进行面对面询问，的取值可以为0，1，2，3，则，，，.所以的分布列为数学期望.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.19.如图所示，正三棱柱的底面边长为2，是侧棱的中点.（1）证明:平面平面；（2）若平面与平面所成锐角的大小为，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）要证平面平面，转证平面，又，即证平面.（2）建立空间坐标系，由平面与平面所成锐角的大小为，得到，进而得到四棱锥的体积.试题解析：解：（1）如图①，取的中点，的中点，连接，易知又，∴四边形为平行四边形，∴.又三棱柱是正三棱柱，∴为正三角形，∴.又平面，,而，∴平面.又，∴平面.又平面，所以平面平面（2）（方法一）建立如图①所示的空间直角坐标系，设，则，得.设为平面的一个法向量.由得即.显然平面的一个法向量为，所以，即.所以.（方法二）如图②，延长与交于点,连接.∵,为的中点，∴也是的中点,又∵是的中点,∴.∵平面,∴平面.∴为平面与平面所成二面角的平面角.所以,∴.点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，两个焦点分别为，，四边形的面积是四边形的面积的2倍.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，是椭圆上位于直线两侧的两点.若直线过点，且，求直线的方程.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由已知条件布列关于a，b的方程组，即可得到椭圆的方程；（2）因为，所以直线的斜率之和为0，设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立方程利用根与系数的关系，进而得到直线的方程.试题解析：解：（1）因为,所以，①由四边形的面积是四边形的面积的2倍，可得.②由①可得，所以，所以.所以椭圆的方程为.（2）由（1）易知点的坐标分別为.因为，所以直线的斜率之和为0.设直线的斜率为，则直线的斜率为，，直线的方程为，由可得，∴，同理直线的方程为，可得，∴，，∴满足条件的直线的方程为，即为.21.设函数.（1）当，求函数的单调区间；（2）当时，函数有唯一零点，求正数的值.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为;（2）【解析】试题分析：（1）求导，易知：函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2），对m进行分类讨论，得到函数的最小值，函数有唯一零点即函数的最小值为零.试题解析：解：（1）依题意，知，其定义域为，当时，，.令，解得.当时，.此时单调递增；当时,,此时单调递减.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由题可知，.令，即，因为，所以(舍去)，.当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以的最小值为.因为函数有唯一零点，所以，由即可得，因为，所以，设函数，因为当时该函数是增函数，所以至多有一解.因为当时，，所以方程的解为，即，解得.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）设直线与圆相交于两点，求.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）消去直线l中的参数t，得到直线的普通方程，利用