常数项级数的概念和性质演示文稿

常数项级数的概念和性质演示文稿当前第1页\共有39页\编于星期六\5点常数项级数的概念和性质当前第2页\共有39页\编于星期六\5点常数项级数的概念和性质二、常数项级数的概念

三、无穷级数的基本性质四、级数收敛的必要条件第一节

第九章一、问题的提出

当前第3页\共有39页\编于星期六\5点一、问题的提出1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积当前第4页\共有39页\编于星期六\5点二、级数的概念1.级数的定义:(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分和当前第5页\共有39页\编于星期六\5点2.级数的收敛与发散:当前第6页\共有39页\编于星期六\5点余项当前第7页\共有39页\编于星期六\5点解当前第8页\共有39页\编于星期六\5点

收敛

发散

发散

发散

综上当前第9页\共有39页\编于星期六\5点解已知级数为等比级数，当前第10页\共有39页\编于星期六\5点解当前第11页\共有39页\编于星期六\5点当前第12页\共有39页\编于星期六\5点

例4.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为当前第13页\共有39页\编于星期六\5点三、基本性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.当前第14页\共有39页\编于星期六\5点解当前第15页\共有39页\编于星期六\5点当前第16页\共有39页\编于星期六\5点性质3.在级数中去掉、加上或改变有限项,不会影响级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数机动目录上页下页返回结束当前第17页\共有39页\编于星期六\5点性质4.

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:

设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.因此必有例如机动目录上页下页返回结束当前第18页\共有39页\编于星期六\5点注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.

收敛

发散当前第19页\共有39页\编于星期六\5点例6.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.当前第20页\共有39页\编于星期六\5点四、级数收敛的必要条件

设收敛级数则必有证:

可见:

若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动目录上页下页返回结束当前第21页\共有39页\编于星期六\5点注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上

,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.机动目录上页下页返回结束当前第22页\共有39页\编于星期六\5点五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法当前第23页\共有39页\编于星期六\5点一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:定理部分和数列为单调增加数列.当前第24页\共有39页\编于星期六\5点证明即部分和数列有界3.比较审敛法当前第25页\共有39页\编于星期六\5点不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.当前第26页\共有39页\编于星期六\5点解由图可知当前第27页\共有39页\编于星期六\5点重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.当前第28页\共有39页\编于星期六\5点证明当前第29页\共有39页\编于星期六\5点4.比较审敛法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;当前第30页\共有39页\编于星期六\5点证明由比较审敛法的推论,得证.当前第31页\共有39页\编于星期六\5点当前第32页\共有39页\编于星期六\5点解原级数发散.故原级数收敛.当前第33页\共有39页\编于星期六\5点证明当前第34页\共有39页\编于星期六\5点收敛发散当前第35页\共有39页\编于星期六\5点比值审敛法的优点:不必找参考级数.