北航生理论教学课件动力学第3章刚体

§2、刚体定轴转动与平面运动动力学定轴转动刚体在工程中的应用1平面运动刚体在工程中的应用2§2、刚体定轴转动与平面运动动力学§2、刚体定轴转动与平面运动动力学一、刚体定轴转动微分方程刚体对z轴的动量矩Lz=

J

zw动量矩定理在z轴上投影ni=1

zdtdL=

J

za

=

M

z

(Fi

)2ndtJ

z=

M

z

(Fi

)

(1)i

=1d2j2Jz

=mr

r

称为刚体对z轴的回转半径平行轴定理：J

zA2=

J

zC

+

mdz1FiFFnxyw3a问题：如果z轴为动轴，方程（1）在什么条件下还成立？§2、刚体定轴转动与平面运动动力学例：求质量为m

半径为R的均质半圆板对O轴（垂直于图示平面）的转动惯量和回转半径。ORO2

22

RJ

=

1

mR2

r

=例：系统如图所示，OA杆长L，质量为m，阻力系数为c，扭簧刚度系数为k，OA^BC时，弹簧无变形，已知BC杆的转动：j

=b

cos

t

,qABCmgj建立OA杆的运动微分方程。O4§2、刚体定轴转动与平面运动动力学解：研究OA杆，进行受力分析kOmg

+

Mc

+

MJ

q

=

McM

=

-cqni=1JO

dt

2=

MO

(Fi

)d2qqjOAmgFxyFM

kMcLmgM

=

mg

2

sinqMk

=

-k(q

-j)1mL2q

+

cq

+

kq

-

1

mgLsinq

=

kbcost非线性微分方程325常系数非齐次6q

/

radt/s00(1)

:

q

=

0.0rad,

q=

0.0rad/s,

(2)

:

q0

=

1.0rad,

q

=

0.0rad/s,0§2、刚体定轴转动与平面运动动力学m

=

3kg,

L

=

1m,

k

=

14.0

Nm/rad,

b

=

0.02rad,

c

=

1.3Nms/rad7q

/

radt

/

s§2、刚体定轴转动与平面运动动力学m

=

3kg,

L

=1m,

k

=14.0Nm/rad,b

=

0.02rad,c

=

0.64Nms/rad(1)

:q

=

0.0rad,q

=

0.0rad/s,(2)

:q

=

0.001rad,q

=

0.0rad/s,0

0

0

0混沌（Chaos）：在确定的系统中出现类似随机的运动过程§2、刚体定轴转动与平面运动动力学1963年美国科学家洛伦兹（Edward

N.Lorenz)从简化大气对流的动力学方程得到一组三阶的非线性常微分方程。即:发现：该方程在一定参数下为周期解，在某些参数下为混沌解。8§2、刚体定轴转动与平面运动动力学中国农业大学龙运佳教授（力学教师）

将混沌振动应用于压路机，提高功效30％混沌振动在工程中的应用9§2、刚体定轴转动与平面运动动力学静碾光轮串联式压路机1011§2、刚体定轴转动与平面运动动力学mgAB例：已知AB＝2L=R，m，建立系统的运动微分方程解：研究杆，受力与运动分析FABFqni=1JO

dt

2=

MO

(Fi

)d2q12OJ

=

1

m(2L)2

+

m(R2

-

L2

)OM

=

-mg

R2

-

L2

sin

q310mL2q

=

-mg

3Lsinq10Lq

+

3

3g

sinq

=

0问题：如何求约束力？§2、刚体定轴转动与平面运动动力学二、刚体平面运动微分方程设：刚体具有质量对称面S，此平面在某一固定平面内运动，作用在刚体上的力系可简化为该平面内的一个平面力系。xyoz(xM

,

yM

,

zM

)MS问题：用什么方法建立刚体的平面运动与力之间的关系？12§2、刚体定轴转动与平面运动动力学yx'y'cj1FFiFn利用质心运动定理(e)ciFma

=(e)(e)iyccycx

c

ixFFma

=

=ma

=

=mymxni

=1(

e)dt

C

=

M

C

(

Fi

)dLrni

=1icz

'c(

F

(

e)

)J

j

=

Mo

x利用相对质心的动量矩定理13§2、刚体定轴转动与平面运动动力学问题：试分析作用在车轮摩擦力。14FxMcmgFy§2、刚体定轴转动与平面运动动力学例：质量为m,半径为R的均质圆盘在水平面上纯滚动，其上作用有力Fx

,Fy和力偶M

，求圆盘角加速度，质心加速度和摩擦力。FNfFca解：受力分析和运动分析a

=

Racmac

=

Fx

+

Ff

N

y0

=

F

-

mg

-

FRfmR

a

=

M

-

F212ac3mR=

2(

M

+

Fx

R

)3mR

2a

=

2(

M

+

Fx

R

)fF=

2M

-

Fx3R

315FOmg16mgA§2、刚体定轴转动与平面运动动力学例：质量为m

,半径为R

的均质圆盘在质量为m

的水平板A

上纯滚动，板在主动力F的作用下沿光滑水平面直线平移。求在运动过程中，圆盘的角加速度和板的加速度。解题的基本步骤：1、选取研究对象2、受力分析和运动分析3、有几个未知量4、建立动力学方程5、求解方程17§2、刚体定轴转动与平面运动动力学FOmgmgAAaOar解：１、取整体为研究对象受力分析和运动分析Oarmaa

=

mg

+

F

+

FO

f

NfmR

a

=

-F

R212OaaO

A

NAmaa

+

ma

=

F

+

mg

+

mg

+

FOO=

RaOaaOA=

ae

+

ar

=

a

+

arFA4m3F2mR,

a

=a

=

-x

:

maa

+

ma

=

FO

Am(aA

+

Ra

)

+

maA

=

FNAFmgOFNf２、取圆盘为研究对象x

:

maa

=

FO

ffAF

m(a

+

Ra

)

=

F18§2、刚体定轴转动与平面运动动力学思考题：已知均质杆AB上的A点以匀速u

铅垂运动，均质圆盘在地面上纯滚动。试确定当系统运动到图示位置时，地面作用在圆盘上的摩擦力的方向。A：水平向右B：水平向左BFBu

u情况1

情况2A

AF§2、刚体定轴转动与平面运动动力学思考题：已知均质杆AB上的A点以匀速u

铅垂运动，均质圆盘在地面上纯滚动。试确定当系统运动到图示位置时，滑块

A的哪一侧