第十一章曲线积分与曲面习题课

第十一章 曲线积分与曲面积分习题课

一、主要内容二、典型例子1曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分计算计算联系联系（一）曲线积分与曲面积分2曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义nL

f

(x,

y)ds

=lim

f

(xi

,hi

)Dsilfi

0

i=1L

P(x,

y)dx+Q(x,

y)dyn=lim[P(xi

,hi

)Dxi

+Q(xi

,hi

)Dyi]lfi

0

i=1联系L

Pdx

+

Qdy

=

L

(P

cosa

+

Q

cos

b

)ds计算L

f

(x,

y)dsb=

f

[j,y

]

j¢2

+y

¢2

dta三代一定

(a

<

b)

Pdx

+

QdyLb=

a

[P(j,y

)j¢+

Q(j,y

)y

¢]dt二代一定(与方向有关)3与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域D

上P(x,y),Q(x,y)具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.等价命题在D内L

Pdx

+Qdy与路径无关C

Pdx

+

Qdy

=

0,闭曲线C

D在D内存在U

(x,y)使du

=Pdx

+Qdy在D内,¶P

=¶Q¶y

¶x4曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义n

f

(x,

y,z)ds=lim

f

(xi

,hi

,zi

)Dsilfi

0S

i=1nR(x,

y,z)dxdy=limR(xi,hi

,zi

)(DSi

)xylfi

0S

i=1联系

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy

=

(P

cosa

+

Q

cos

b

+

Rcosg)dSS

S计算

f

(x,

y,z)dsS=

f

[x,

y,z(x,

y)]

1+zx

+zydxdy2

2Dxy一代,二换,三投(与侧无关)R(x,

y,z)dxdS=–R[x,

y,z(x,

y)]dxdyDxy一代,二投,三定向(与侧有关)5理论上的联系1.定积分与不定积分的联系baf

(

x)dx

=

F

(b)

-

F

(a)

(F

¢(

x)

=

f

(

x))牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系((沿L的正向)LDPdx

+

Qdy-

)dxdy

=¶x

¶y¶Q

¶P格林公式63.三重积分与曲面积分的联系W

S¶x

¶y

¶z

(¶P

+

¶Q

+

¶R)dv

=

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy高斯公式¶y

¶z

¶z

¶x

¶x

¶yS=

Pdx

+

Qdy

+

RdzG4.曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式

(¶R

-

¶Q

)dydz

+

(¶P

-

¶R)dzdx

+

(¶Q

-

¶P

)dxdy7¶x

¶y

¶z梯度

gradu

=

¶u

+

¶u

+

¶u

i

j

k旋度环流量+

+¶x

¶y

¶z¶P

¶Q

¶RdivA

=S通量

F

=

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy¶x

¶y)

j

+

(

-

)k¶R

¶Q

¶P

¶z

¶x-

)i

+

(

-¶y

¶z¶R

¶Q

¶ProtA

=

(G8G

=

Pdx

+

Qdy

+

Rdz散度（二）场论初步例1

计算

Lx2

+

y2

ds，其中，L

为圆周：x2

+

y2

=

ax.解：L的极坐标方程：r

=a

cosq

(-p

£

q

£

p

).2

2ds

=

[r(q)]2

+[r¢(q)]2

dq

=

adqLaxds原式=a2

cos2

q

a

dq-p

2p=

2220pcosqdq=

2a=

2a

2a

xoyqr

t9例1

计算

Lx2

+

y2

ds，其中，L

为圆周：x2

+

y2

=

ax.a

a2

2a2x

=另解：L的参数方程：+

cos

t，y

=sin

t，

(0

£

t

£

2p

).2ads

=

[x¢(t)]2

+[

y¢(t)]2

dt

=

d

ta

xoytaxds原式=L0102a22p=1+cos

ta

dt

=

2a

212

1

2提示：G

在柱面

x2

+

2

y2

=1上.

x

=

cos

t

G

:

y

=z

=sin

t，t

从0到2psin

t2p0cos2

t

sin

2

t

dt

1

原式==20cos2

t

(1-

cos2

t)

dt4

1

2

22

2p

2

2

4

2

2

162

1

p

-

3

1

p

=

2p=zox1

yx2

+y2

+z2

=1所得截痕，从z

轴正向看沿逆时针方向.11例

2

计算

G

x

yzdz，其中，G

是由平面

y

=

z

截球面解¶P

=

2x，

¶Q

=

2x¶y

¶x即，=

，积分与路径无关.¶y

¶x¶P

¶Q104102(1+

y

)dyx dx

+故，原式==

23

.15xyo11A2

2

4122L(x

+

2xy)dx

+(x

+

y

)dy例

3

计算

I

=，其中，L

为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线y

=sin

p

x.13解¶P

=

ex

cos

y

-

m，

¶Q

=

ex

cos

y.¶y

¶xxyoA(a,0)M

-

=

-

L+OA

OA

AMOA

OAI

=x

xL例

4

计算

I

=(e

-my)dx

+(e

cos

y

-m)dy，其中，L为由点(a,

0)

到点(0,

0)的上半圆周

x2

+

y2

=

ax，y

‡

0.DAMOA

¶Q

-

¶P¶x

¶y)dxdy=

(2m8Dpa

,dxdy

==

m

=

0

dx

+(exaOA

0-

m) 0

=

0AMOA

OA=

m

pa2

-

0

=

m

pa2

.8

8故，I

=

-

14yoz11x-

1解：利用两类曲面积分之间的关系

的法向量为

={1,-1,1},n

1

1

,

cos

b

=

-

1

,

cos

g

= .3

3

3\

cosa

=例5

计算

I

=

[

f

(x,

y,

z)

+

x]dydz

+[2

f

(x,

y,

z)

+

y]dzdx+[f

(x,y,z)+z]dxdy，其中，f

(x,y,z)为连续函数，为平面x

-y

+z

=1在第一卦限部分的上侧．3

3

3I

=

{

1

[

f

(x,

y,

z)

+

x]-

1

[2

f

(x,

y,

z)

+

y]

+

1

[

f

(x,

y,

z)

+

z]}dS=(x

-

y

+

z)dS

1

32

1

=xy3

D1 3dxdy

=

1

.15

z

=

y

-1

x

=

0解：y

-1

=z

2

+x

2，(1

£

y

£

3).(如下图)，(1

£

y

£

3)绕y

轴旋转面方程为xzo132*ySz

=

y

-1S

是由曲线x

=

0面，且它的法向量与y

轴正向的夹角恒大于p

.2例7

计算I

=

(8

y

+1)xdydz

+

2(1-

y2

)dzdx

-

4

yzdxdy，其中，，(1

£

y

£

3)绕y

轴旋转一周所成的曲xyzo132*¶x

¶y

¶z

=

(¶P

+

¶Q

+

¶R)dxdydzS+S*

W=

(8

y

+

1

-

4

y

-

4

y)dxdydzW2SS+S*

S*I

=

(8

y

+1)xdydz

+

2(1-

y

)dzdx

-

4

yzdxdy=

-

W=

dv

=Dxzdxdz31+z

+

x2

216dy

=002pdq2(2

-

r

2

)rdr

=

2p,

=

2

(1

-

32

)dzdx

=

-32p,S*

S*故，I

=2p

-(-32p

)=34p.3rr3

r3例6

I

=

x

dydz

+

y

dzdx

+

z

dxdy，r

=x2

+

y2

+

z2，

是球面x2

+

y2

+

z2

=

R2

的外侧.解:R3

I

=

1

xd

y

dz

+

y

dz

dx

+

z

dxdyWR3=

1

3dxdydz=

4pb2

c217x2

y2

z