数学思想方法课件

专题六数学思想方法要点梳理

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略．数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分．数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中．要点梳理

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．要点梳理

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三．解题方法(1)整体思想：整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决．(2)转化思想：在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题．(3)分类讨论思想：体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．分类的原则：①分类中的每一部分是相互独立的；②一次分类按一个标准；③分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏．(4)方程思想：用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)．这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用．(5)函数思想：用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质．(6)数形结合思想：从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题(以数助形)．数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决．1．(2014·淄博)当x＝1时，代数式12ax3－3bx＋4的值是7，则当x＝－1时，这个代数式的值是(

)

A．7

B．3

C．1

D．－7

2．(2014·绥化)分式方程2x－5x－2＝32－x的解是(

)

A．x＝－2

B．x＝2

C．x＝1

D．x＝1或x＝2

CC3．(2014·山西)我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是(

)A．演绎B．数形结合C．抽象D．公理化B4．(2014·无锡)已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画(

)A．6条B．7条C．8条D．9条B5．(2014·绵阳)如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为____cm2.(结果保留π)整体思想【例1】

(2013·吉林)若a－2b＝3，则2a－4b－5＝____．【点评】本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式(a－2b)的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．11．(2014·盐城)已知x(x＋3)＝1，则代数式2x2＋6x－5的值为____．-3【例2】

(2013·东营)如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为____m．(容器厚度忽略不计)转化思想

1.3【点评】本题利用转化思想把立体问题转化为平面问题，从而使问题简单化、直观化．将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．2．(2014·枣庄)图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为

cm.分类讨论思想

【例3】

(2013·南平)在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF，FG，GB.设ABBC＝k.

(1)证明：△BGF是等腰三角形；(2)当k为何值时，△BGF是等边三角形？(3)我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立．利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的运用、等腰三角形的判定定理的运用、外角与内角的关系的运用、分类讨论思想在实际问题中的运用，解答时灵活运用直角三角形的性质及外角与内角的关系是关键．3．(2014·绥化)在一条笔直的公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A，B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村．设甲、乙两人到C村的距离y1，y2(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示，请回答下列问题：(1)A，C两村间的距离为

km，a＝

；1202(2)求出图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；解：(2)设y1＝k1x＋120，代入(2，0)解得y1＝－60x＋120，y2＝k2x＋90，代入(3，0)解得y2＝－30x＋90，由－60x＋120＝－30x＋90解得x＝1，则y1＝y2＝60，所以P(1，60)表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60km.(3)乙在行驶过程中，何时距甲10km?方程思想【例4】

(2014·淄博)为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：

档次

每户每月用电数(度)

执行电价(元/度)

第一档

小于等于200

0.55

第二档

大于200小于400

0.6

第三档

大于等于400

0.85

例如：一户居民7月份用电420度，则需缴电费420×0.85＝357(元)．

某户居民5，6月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于400度．问该户居民5，6月份各用电多少度？解：当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电(500－x)度，由题意，得0.55x＋0.6(500－x)＝290.5，解得：x＝190，∴6月份用电500－x＝310度．当5月份用电量为x度＞200度，六月份用电量为(500－x)度，由题意，得0.6x＋0.6(500－x)＝290.5，300＝290.5，原方程无解．∴5月份用电量为190度，6月份用电310度．【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题、方程思想的运用、分类讨论思想的运用，另外要注意：总价＝单价×数量．4．(2013·娄底)2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A，B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)

解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，则AD＝3CD＝3x，在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，则BD＝CD＝x，由题意得，3x－x＝4，解得：x＝43－1＝2(3＋1)≈5.5.答：生命所在点C的深度为5.5米．

函数思想【例5】

(2013·河池)华联超市欲购进A，B两种品牌的书包共400个，已知两种书包的进价和售价如下表所示，设购进A种书包x个，且所购进的两种书包能全部卖出，获得的总利润为w元．

品牌

进价(元/个)

售元(元/个)

A

47

65

B

37

50

(1)求w关于x的函数关系式；(2)如果购进两种书包的总费用不超过18000元，那么该商场如何进货才能获得利润最大？并求出最大利润．(提示利润＝售价－进价)解：(1)由题意得：W＝(65－47)x＋(50－37)(400－x)＝2x＋5200.(2)由题意得：47x＋37(400－x)≤18000，解得x≤320.∵W＝2x＋5200，k＝2＞0，W随x增大而增大，∴当x＝320时，W最大＝5840，即A种书包购买320个，B种书包购买80个，才能获得最大利润，最大利润为5840元．【点评】本题考查了由销售问题的数量关系求函数的解析式的运用、列一元一次不等式解实际问题的运用、一次函数的性质的运用，解答时注意函数思想的应用．5．(2014·沈阳)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，每件的售价应为____元．25数形结合思想

【例6】

(2013·玉林)如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A(4，3)，P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有____个，写出其中一个点P的坐标是

．(5，0)8【点评】本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形的性质，利用数形结合的思想求解更简便．6．(2014·孝感)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D(－1，2)，与x轴的一个交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①b2－4ac＜0；②a＋b＋c＜0；③c－a＝2；④方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根．其中正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个C试题求出所有满足|ab|＋|a＋b|＝1的整数对(a，b)．错解根据绝对值的非负性和a，b均为整数，讨论|ab|＝0且|a＋b|＝1的情况，得到满足条件的整数对(a，b)共有(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)四对．剖析分类讨论时漏掉了|ab|＝1且|a＋b|＝0的情况，在研究此类问题的解法时，需认真审题，全面考虑，对可能存在的各种情况进行讨论，做到不重、不漏、条理清晰．正解

∵|ab|＋|a＋b|＝1，∴整数a，b满足：

①îïíïì|ab|＝0，|a＋b|＝1或②îïíïì|ab|＝1，|a＋b|＝0，解①得îïíïìa＝0，b＝1，îïíïìa＝0，b＝－1，îïíïìa＝1，b＝0，îïíïìa＝－1，b＝0，解②得îïíïìa＝1，b＝－1，îïíïìa＝－1，b＝1.故满足条件的整数对(a，b)共有(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)，

(1，－1)，(－1，1)六对．

专题跟踪突破六数学思想方法一、选择题(每小题6分，共30分)

1．(2014·湘潭)分式方程5x＋2＝3x的解为(

)

A．1

B．2

C．3

D．4

2．(2014·黔东南州)已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2014的值为(

)

A．2012

B．2013

C．2014

D．2015

C

D

3．(2013·达州)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是(

)A．2B．3C．4D．5B

4．(2013·齐齐哈尔)CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为点E，若AB＝10，CD＝8，则BE的长是(

)A．8B．2C．2或8D．3或7C

5．(2014·济宁)“如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n(m＜n)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，且a＜b，则a，b，m，n的大小关系是(

)A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜nD．m＜a＜n＜bA

二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2013·平凉)如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为____米．5

7．(2014·广州)若关于x的方程x2＋2mx＋m2＋3m－2＝0有两个实数根x1，x2，则x1(x2＋x1)＋x22的最小值为____．

8．(2013·广安)如图，如果从半径为5

cm的圆形纸片上剪去15圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高是____cm.

3

9．(2013·昆明)在平面直角坐标系xOy中，已知点

A(2，3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有____个．

8

10．(2014·枣庄)如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE＝23BE，则长AD与宽AB的比值是____．

三、解答题(共40分)11．(10分)(2013·齐齐哈尔)甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，甲车出发1小时后乙车出发，并以各自速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，如图所示是甲、乙两车之间的距离s(千米)与甲车出发时间t(小时)之间的函数图象，其中D点表示甲车到达B地，停止行驶．(1)A，B两地的距离

千米；乙车速度是

；a表示

；560

100

(2)乙车出发多长时间后两车相距330千米？12．(10分)(2014·遂宁)如图，反比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝x＋b的图象交于点A(1，4)，点B(－4，n)．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)求△OAB的面积；

(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．

解：(1)把A点(1，4)分别代入反比例函数y＝kx，一次函数

y＝x＋b，得k＝1×4，1＋b＝4，解得k＝4，b＝3，反比例函数的解析式是y＝4x，一次函数的解析式是y＝x＋3

(2)当x＝－4时，y＝－1，B(－4，－1)，当y＝0时，x＋3＝0，x＝－3，C(－3，0)，S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝

12×3×4＋12×3×1＝152

(3)∵B(－4，－1)，A(1，4)，∴根据图象可知：当x＞1或

－4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值

13．(10分)(2014·潍坊)如图，