第11章无穷级数课件

2023/6/91高等数学2023/6/92第十一章

第一节常数项级数的概念和性质

目录上页下页结束一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理2023/6/93问题：芝诺悖论——阿基里斯与乌龟如果让阿基里斯（achilles,古希腊神话中善跑的英雄）和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前面1000米开始.假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远追不上乌龟.

公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家芝诺（zeno）用他的无穷,连续以及部分和的知识,引发出一个著名的悖论：

目录上页下页结束2023/6/94芝诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍前于他100米,于是一个新的起点产生了,阿基里斯必须继续向前追,当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍前于他10米,阿基里斯只能再追向那10米.

目录上页下页结束1000m100m10m2023/6/95就这样,乌龟会制造出无穷个起点,他总能在起点和自己之间制造一个距离,不管这个距离有多小,但只要乌龟不停的奋力向前爬,阿基里斯就永远也追不上乌龟.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却是没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？相信学过本节内容之后,大家都能解释这个问题了.

目录上页下页结束2023/6/96

目录上页下页结束刘徽魏晋时期著名数学家“割之弥细,所弥失少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”引例.

用圆内接正多边形面积逼近圆面积.一、常数项级数的概念3世纪中期魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,由此求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值.这个数值是当时世界上圆周率计算的最精确的数据.“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”来无限逼近“圆面积”.刘徽形容他的“割圆术”说：2023/6/97

目录上页下页结束依次作圆内接正边形,

这个和逼近于圆的面积A.设a0

表示即内接正三角形面积,

ak

表示边数增加时增加的面积,

则圆内接正引例.

用圆内接正多边形面积逼近圆面积.2023/6/98定义1：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数,其中第

n

项叫做级数的一般项,级数的前

n

项和称为级数的部分和.次相加,简记为

目录上页下页结束2023/6/99构成一个数列，称为部分和数列.当n依次取1,2,3,···时根据这个数列有没有极限，引进级数的收敛与发散的概念.

目录上页下页结束2023/6/910定义2：如果级数的部分和数列有极限，如果没有极限，记为并称级数的和为，则称无穷级数收敛，即则称级数发散.当级数收敛时,称差值为级数的余项.显然

目录上页下页结束2023/6/9例1.

讨论等比级数(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为11

目录上页下页结束2023/6/92).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.12

目录上页下页结束2023/6/9下面解决一开始提出的芝诺悖论问题阿基里斯需要追赶的全部路程为这是一个公比的几何级数,它的和为如果赛程比这个距离短,则乌龟胜；如果赛程恰好等于这个距离,则双方平分秋色；否则,阿基里斯就要在距离起点处追上并超过乌龟.13

目录上页下页结束2023/6/9二、无穷级数的基本性质性质1.

若级数收敛于S,则各项乘以常数

c

所得级数也收敛,证:

令则这说明收敛,其和为cS.

说明:

级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.14

目录上页下页结束2023/6/9性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:

令则这说明级数也收敛,其和为说明:性质2表明收敛级数可逐项相加或相减.15

目录上页下页结束2023/6/9推论1:

若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.证:用反证.

设收敛,发散.若收敛,则也收敛,

发散相矛盾.这与级数例如:是发散的这是因为是发散的,是收敛的.16

目录上页下页结束2023/6/9若二级数都发散,不一定收敛,例如,定发散.也不一收敛,发散.17

目录上页下页结束2023/6/9性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数18

目录上页下页结束2023/6/9性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:

设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:

若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:

收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如,用反证法可证例如19

目录上页下页结束2023/6/9例3.判断级数的敛散性:解:

考虑加括号后的级数发散(后证),从而原级数发散.20

目录上页下页结束2023/6/9三、级数收敛的必要条件

设收敛级数则必有证:推论:

若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.21

目录上页下页结束2023/6/9注意:并非级数收敛的充分条件.例4.

调和级数虽然证明此级数发散.证:(反证法)

假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.22

目录上页下页结束2023/6/9证2:(几何证法)

123nn+10故23

目录上页下页结束2023/6/9例5.

判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.24

目录上页下页结束2023/6/9因为进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)25

目录上页下页结束2023/6/9

例6(课堂练习)判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为26

目录上页下页结束2023/6/9的充要条件是:*四、柯西审敛原理(略)定理.有证:设所给级数部分和数列为因为所以,利用数列的柯西审敛原理(第一章第六节)

即得本定理的结论.27

目录上页下页结束2023/6/9例6.解:有利用柯西审敛原理判别级数28

目录上页下页结束2023/6/9当n﹥N

时,都有由柯西审敛原理可知,级数29

目录上页下页结束2023/6/9一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质小结:1.常数项级数;2.级数收敛;3.余项.性质1.若级数收敛,则性质2.设级数收敛,则性质3.在级数前面加上或去掉有限项,

不会影响级数的敛散性.30

目录上页下页结束2023/6/9三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.设级数则必有收敛,的充要条件是:定理.有31

目录上页下页结束2023/6/932第十一章

第二节常数项级数的审敛法

目录上页下页结束一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛

2023/6/933

目录上页下页结束一、正项级数及其审敛法若定理1.

正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,

则收敛,因为

所以部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数

.单调递增,

收敛,也收敛.证:

“”“”称为基本定理.即有界.收敛2023/6/934(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数收敛,也收敛;发散,也发散.定理2(比较审敛法)设是两个正项级数,且

证明：设则(1)

目录上页下页结束(2)

发散,而2023/6/9即发散推论1设与为正项级数.且则(1)

若收敛收敛

(2)

若发散发散35

目录上页下页结束2023/6/936

目录上页下页结束例1.

讨论

级数(常数

)的敛散性.解:

(1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p

级数发散.发散,37

目录上页下页结束因为当故时,(2)

若2023/6/92023/6/938

目录上页下页结束故收敛收敛综上：例如：发散,收敛因而级数通常作为判别某一类级数敛散性的标准.(2)

若时,有2023/6/939

目录上页下页结束推论2设为正项级数(1)

若时,有

则收敛

则发散2023/6/940

目录上页下页结束证明级数发散.证:

因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散

.例2.(3)当

l=∞,且发散时,也发散.

证:

据极限定义,

对,存在,当时,(2)当

l=

0,且收敛时,也收敛;

2023/6/9定理3.(比较审敛法的极限形式)

设两正项级数则有两个级数同时收敛或发散;满足(1)当0<l<∞

时,41

目录上页下页结束2023/6/9由定理2

可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,

存在时,即由定理2可知,若发散,(1)当0<l<∞时,(2)当l=

0时,

利用由定理2

知收敛,

则也收敛;

若42

目录上页下页结束2023/6/9是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.发散收敛43

目录上页下页结束根据比较审敛法的极限形式知

收敛.2023/6/9的敛散性.～例3.

判别级数的敛散性.解:根据比较审敛法的极限形式知例4.

判别级数解:～44

目录上页下页结束2023/6/9例5.

已知收敛,证明:

证明：收敛,也收敛.(1)因为

,所以对当时,

故而收敛,故收敛.45

目录上页下页结束2023/6/9(2)因为而收敛,故收敛.故收敛.注意：收敛收敛.46

目录上页下页结束知存在,当时,(1)当

时,取使由2023/6/9定理4.比值审敛法

(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知

收敛.47

目录上页下页结束2023/6/9因此所以级数发散.时(2)当

或时,必存在当说明:

当时,

级数可能收敛也可能发散.例如,

P

–级数但级数收敛;级数发散.从而48

目录上页下页结束当时,级数发散;当时,级数收敛;2023/6/9例6.

讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:当时,级数

发散.49

目录上页下页结束2023/6/9

警告各位！对正项级数则当当时,级数收敛;或时,级数发散.若绝不能由推出级数收敛;能由推出级数发散的结论.因为此时级数通项不趋于零.例如:调和级数但级数发散.而50

目录上页下页结束存在当时,有2023/6/9对任意给定的正数定理5.

根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则证明提示:即分别利用上述不等式的左,

右部分,可推出结论正确.数,且(1)当(2)当时,级数发散.时,级数收敛;

51

目录上页下页结束2023/6/9时,级数可能收敛也可能发散.例如

,p–

级数说明:但级数收敛;级数发散.52

目录上页下页结束2023/6/9例7.

证明级数收敛于S,似代替和S

时所产生的误差.解:

由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn

近53

目录上页下页结束2023/6/9二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.

(Leibnitz

判别法)

若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足54

目录上页下页结束2023/6/9证:

是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,

且

的余项：故55

目录上页下页结束2023/6/9例8.

判别交错级数敛散性解:

且满足

收敛,且和

56

目录上页下页结束2023/6/9用Leibnitz

判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛收敛收敛(1)(2)(3)(1)(2)(3)57

目录上页下页结束2023/6/9三、绝对收敛与条件收敛

定义:

对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛;则称原级数条件收敛

.58

目录上页下页结束2023/6/9定理7.

绝对收敛的级数一定收敛.证:

设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛.且收敛,令59

目录上页下页结束2023/6/9例9.

证明下列级数绝对收敛:证:

(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.60

目录上页下页结束2023/6/9(2)令因此收敛,绝对收敛.61

目录上页下页结束2023/6/9注：

(1)P-202页如果判断出发散时,不能得到

发散的结论,还需要重新判别的敛散性,若收敛,则条件收敛.(2)但是,如果用Cauchy根值判别法,或达朗贝尔判别法判定正项级数发散时,则可以断言,原级数也发散.62

目录上页下页结束2023/6/9这是因为利用柯西及达朗贝尔判别法来判别发散时,是根据来判定的,因此,对而言,也有,故发散.63

目录上页下页结束2023/6/9例10.判别下列级数的收敛性,若收敛,是条件收敛绝对收敛？解：（1）考虑因为应用根值法,知级数绝对收敛.64

目录上页下页结束2023/6/9（2）考虑绝对值级数由比较法知其发散.由原级数是交错级数,但非单减,故莱布尼兹法则失效.可用收敛级数的性质来判别:而收敛,发散,所以原级数发散.65

目录上页下页结束2023/6/9；（3）令因为所以原级数收敛;显然取绝对值的级数发散,所以原级数收敛（条件收敛）.66

目录上页下页结束2023/6/9内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法（解题程序）必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限67

目录上页下页结束2023/6/93.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛68

目录上页下页结束2023/6/9思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:因为级数由比较判敛法可知收敛.注意:有人这样做，对否？收敛,当n充分大时有因为正项级数收敛,所以由比值判敛法可知收敛.69

目录上页下页结束2023/6/970三、幂级数的运算二、幂级数及其收敛性第十一章

第三节幂级数一、函数项级数的概念

2023/6/971一、函数项级数的概念为区间I上的函数项级数.则称若级数由所有收敛点的全体构成的集合称为收敛域;若常数项级数给定区间I上的一列函数收敛,发散,由所有发散点的全体构成的集合称为发散域.为收敛点，

为发散点,目录上页下页结束，称则称固定2023/6/972称它为级数的和函数,并写成若用并令余项为则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数目录上页下页结束2023/6/973例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是又如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为和函数为目录上页下页结束2023/6/974二、幂级数及其收敛性

形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面主要讨论例如,幂级数为幂级数的系数.就是这种情形.的情形,即称目录上页下页结束2023/6/975定理1.(Abel定理)若幂级数则对满足不等式的一切x，幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:设收敛,则有于是存在常数M>0,使目录上页下页结束发散发散收敛收敛发散2023/6/976当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.收敛,反之,若当时该幂级数发散,拟用反证法:假设存在点满足不等式所以若当满足使得级数收敛,则由前面的结论可知级数在点故假设不真！的x,原幂级数也发散.

时幂级数发散,则对一切也应收敛，与题设矛盾，目录上页下页结束2023/6/977幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可知,中心的区间.若用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,则的收敛域是以原点为当R=0时,幂级数仅在x=0收敛;当R=时,幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为幂级数的收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间，发散发散收敛目录上页下页结束2023/6/978定理2.

若的系数满足证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,即时,则目录上页下页结束收敛半径的求法.2023/6/9792)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则除x=0以外的一切x原级数都发散,对任意x原级数因此因此的收敛半径为说明:因此级数的收敛半径目录上页下页结束2023/6/980对端点x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,交错级数收敛;级数发散；故收敛域为例1.求幂级数

目录上页下页结束2023/6/981例2.

求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1目录上页下页结束2023/6/982例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接用目录上页下页结束2023/6/983例4.的收敛域.解:令级数变为当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即目录上页下页结束2023/6/984三、幂级数的运算定理3.

设幂级数及的收敛半径分别为令则有:其中以上结论可用部分和的极限证明.目录上页下页结束2023/6/985注：两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是目录上页下页结束2023/6/986定理4若幂级数的收敛半径注：此性质称为幂级数的分析性质，证明见第六节(略).则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项积分,并且运算前后收敛半径相同:目录上页下页结束定理4的应用:

1)求和函数.2)求展开式.2023/6/987解:由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则故有故得的和函数.因此得设目录上页下页结束2023/6/988例6.

求级数的和函数解:易知幂级数的收敛半径为1,及收敛,目录上页下页结束书上例62023/6/989因此由和函数的连续性得:而及目录上页下页结束注：书214页倒数第二行有错！改为2023/6/990例7(

练习)的和函数解:易知幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散目录上页下页结束2023/6/991内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.目录上页下页结束2023/6/9922)幂级数的和函数在收敛域内连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和逐项求积分.思考与练习1.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散,故收敛半径为目录上页下页结束2023/6/9932.在幂级数中,n为奇数n为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答:

不能.

因为当时级数收敛,时级数发散,说明:可以证明比值判别法成立根值判别法成立目录上页下页结束2023/6/994备用题1

求极限其中解:令作幂级数设其和为易知其收敛半径为1,则目录上页下页结束2023/6/995备用题2解:

设则2023/6/996而故目录上页下页结束2023/6/997阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,目录上页下页结束2023/6/998

二、函数展开成幂级数第十一章

第四节函数展开成幂级数一、泰勒(Taylor)级数

2023/6/999由泰勒公式可知，若函数在点有任意阶导数，则对任意的可以写出泰勒公式：

如果当时，则有的邻域内具2023/6/9100

目录上页下页结束存在幂级数函数点能够展开成幂级数是指：使得在的某邻域内有

2023/6/9101一、泰勒(Taylor)级数

其中(

在

x

与x0

之间)称为拉格朗日余项.若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n

阶泰勒公式,则在该邻域内有:

目录上页下页结束2023/6/9102为f(x)

的泰勒级数.

则称特别:

当x0=0

时,泰勒级数又称为麦克劳林级数

.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?要解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,

目录上页下页结束2023/6/9103定理1.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明:令设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有

目录上页下页结束2023/6/9104定理2.若f(x)能展成

x

的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:

设f(x)所展成的幂级数为则结论显然成立.

目录上页下页结束2023/6/9105二、函数展开成幂级数1.直接展开法第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否有将f(x)展开为x幂级数的步骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式;间接展开法—利用已有展式结合幂级数的分析性质展开.

目录上页下页结束第四步若(－R,R)内有则2023/6/9106例1.

将函数展开成x

的幂级数.解:其收敛半径为利用带拉格朗日余项的麦克劳林公式可知故(在0与x之间)故得级数

目录上页下页结束2023/6/9107例2.

将展开成x

的幂级数.解:

得级数:易知利用带拉格朗日余项的麦克劳林公式

目录上页下页结束2023/6/9108类似可推出:(P220例3)

目录上页下页结束2023/6/9109例3.

将函数展开成x

的幂级数,其中m为任意常数.解:易知于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,

目录上页下页结束2023/6/9110推导略则为避免研究余项

,设此级数的和函数为

目录上页下页结束2023/6/9111称为二项展开式

.说明：(1)在x＝±1

处的收敛性与m

有关.(2)当m为正整数时,级数为x

的m

次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.由此得

目录上页下页结束2023/6/9112对应的二项展开式分别为

目录上页下页结束2023/6/91132.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的分析性质,例4.

将函数展开成x

的幂级数.解:

因为把x

换成,得将所给函数展开成幂级数.

目录上页下页结束2023/6/9114例5.

将函数展开成x

的幂级数.解:从0到x

积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x

＝1

收敛,所以展开式对x

＝1也是成立的,于是收敛

目录上页下页结束2023/6/9115例6.

将展成解:的幂级数.

目录上页下页结束2023/6/9116例7.

将展成x－1的幂级数.解:

目录上页下页结束2023/6/9117内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用已有展式结合幂级数的分析2.常用函数的幂级数展开式性质展开.

目录上页下页结束2023/6/9118当m=–1时

目录上页下页结束2023/6/9119思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:

后者必需证明前者无此要求.2.如何求的幂级数?提示:机动目录上页下页返回结束2023/6/9120例3附注（略）

目录上页下页结束2023/6/9121备用题1.将下列函数展开成x

的幂级数解:x＝±1时,此级数条件收敛,因此

目录上页下页结束2023/6/91222.

将在x=0处展为幂级数.解:因此

目录上页下页结束2023/6/9123

二、函数展开成傅里叶级数第十一章

第七节傅里叶级数一、三角级数及三角函数系的正交性

三、正弦级数和余弦级数2023/6/9124一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,φ为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.

目录上页下页结束2023/6/9125证:同理可证:正交

,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在

目录上页下页结束定理1.

三角级数的函数系2023/6/9126上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在

目录上页下页结束2023/6/9127二、函数展开成傅里叶级数定理2.

设f(x)是周期为2的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有证:

由定理条件,①②对①在逐项积分,得

目录上页下页结束2023/6/9128(利用正交性)类似地,

用sinkx

乘①式两边,再逐项积分可得

目录上页下页结束2023/6/9129叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;由公式②确定的①②以的傅里的傅里叶级数称为函数

目录上页下页结束(或由f导出的傅里叶级数).2023/6/9130定理3(收敛定理,展开定理)设

f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有

x

为间断点其中(证明略

)为f(x)

的傅里叶系数

.

x

为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.

目录上页下页结束2023/6/9131例1.

设

f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为解:

先求傅里叶系数将f(x)展成傅里叶级数.

目录上页下页结束2023/6/9132

目录上页下页结束2023/6/91331)

根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近说明:f(x)的情况见右图.

目录上页下页结束2023/6/9134例2.上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:设

f(x)是周期为2的周期函数,它在

目录上页下页结束2023/6/9135说明:

当时,级数收敛于

目录上页下页结束2023/6/9136周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–,]上的函数f(x)的傅氏级数展开方法:其它

目录上页下页结束2023/6/9137例3.

将函数级数.则解:

将f(x)延拓成以展成傅里叶2为周期的函数F(x),

目录上页下页结束2023/6/9138利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当x=0时,f(0)=0,得说明:

目录上页下页结束(略)2023/6/9139设已知又

目录上页下页结束(略)看书2023/6/9140三、正弦级数和余弦级数1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理4.

对周期为2的奇函数

f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为

目录上页下页结束2023/6/9141例4.

设的表达式为f(x)＝x,将f(x)展成傅里叶级数.是周期为2的周期函数,它在解:

若不计周期为2的奇函数,因此

目录上页下页结束2023/6/9142n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:级数的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情况见右图.n＝5

目录上页下页结束2023/6/9143例5.

将周期函数展成傅里叶级数,其中E为正常数.解:是周期为2的周期偶函数,因此

目录上页下页结束2023/6/91442.在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成

目录上页下页结束2023/6/9145例6.

将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:

先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,

目录上页下页结束2023/6/9146注意:在端点x=0,,级数的和为0,与给定函数因此得f(x)=x+1的值不同.

目录上页下页结束2023/6/9147再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,

目录上页下页结束2023/6/9148说明:

令

x=0

可得即

目录上页下页结束2023/6/9149内容小结1.周期为2的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:

若为间断点,则级数收敛于

目录上页下页结束2023/6/91502.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数

奇函数正弦级数

偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法

作奇周期延拓,展开为正弦级数

作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在[0,]上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答:

不唯一,延拓方式不同级数就不同.机动目录上页下页返回结束思考与练习2023/6/9151处收敛于2.则它的傅里叶级数在在处收敛于

.提示:设周期函数在一个周期内的表达式为

,

目录上页下页结束2023/6/9152备用题

1.叶级数展式为则其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)的傅里

目录上页下页结束2023/6/9153傅里叶(1768–1830)法国数学家.他的著作《热的解析理论》(1822)是数学史上一部经典性书中系统的运用了三角级数和三角积分,他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分.

最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的文献,他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展都产生了深远的影响.

目录上页下页结束2023/6/9154狄利克雷(1805–1859)德国数学家.对数论,数学分析和数学物理有突出的贡献,是解析数论他是最早提倡严格化方法的数学家.函数f(x)